第4节 广义积分及其审敛法
一、基础题
1 判断下列广义积分的敛散性，如果收敛，请计算广义积分的值
(1)
$$\int_0^1 \frac{dx}{1-x^2}.$$解答：
$$\frac{1}{1-x^2}=\frac12\left(\frac1{1-x}+\frac1{1+x}\right),$$在 $x=1$ 处有无穷间断，检查
$$\int_0^1 \frac{dx}{1-x} \sim \int_0^1 \frac{dx}{1-x}=\infty,$$故该积分发散。 (2)
$$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{(x+1)(x+2)}.$$解答：
部分分式
$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}.$$故
$$\int_1^{+\infty}\left(\frac1{x+1}-\frac1{x+2}\right)dx =\lim_{b\to\infty}\left[\ln\frac{x+1}{x+2}\right]_1^b =\ln\frac{2}{3}.$$(3)
$$\int_1^e \frac{dx}{x\sqrt{1-(\ln x)^2}}.$$解答：
令 $t=\ln x$，则 $dt=\frac{dx}{x}$，积分变为
$$\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}=\left[\arcsin t\right]_0^1=\frac{\pi}{2}.$$(4)
$$\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{x-1}}.$$解答：
令 $u=\sqrt{x-1}$，则 $x=u^2+1,\ dx=2u\,du$，
$$\int_0^{+\infty}\frac{2u}{(u^2+1)u}du=\int_0^{+\infty}\frac{2}{u^2+1}du =2\left[\arctan u\right]_0^\infty=\pi.$$(5)
$$\int_0^1 \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx.$$解答：
令 $x=\sin t$，$t\in[0,\frac{\pi}{2}]$，则
$$dx=\cos t\,dt,\quad \sqrt{1-x^2}=\cos t,$$积分变为
$$\int_0^{\pi/2} t\,dt=\frac{\pi^2}{8}.$$(6)
$$\int_0^1 \sqrt{x}\ln x\,dx.$$解答：
利用
$$\int_0^1 x^a\ln x\,dx = -\frac{1}{(a+1)^2},$$此处 $a=\frac12$，故
$$\int_0^1 \sqrt{x}\ln x\,dx=-\frac{1}{(3/2)^2}=-\frac{4}{9}.$$二、提高题
2 判断下列广义积分的敛散性。
(1)
$$\int_0^1 \frac{\cos^2 x}{\sqrt{x}+1}\,dx.$$解答：
被积函数在 $x=0$ 附近
$$\frac{\cos^2 x}{\sqrt{x}+1}\sim 1,$$无奇异，整体连续可积，故积分收敛。
(2)
$$\int_1^{+\infty} \arcsin\frac{1}{x^2}\,dx.$$解答：
对大 $x$，
$$\arcsin\frac{1}{x^2}\sim\frac{1}{x^2},$$而
$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^2}<\infty,$$故积分收敛。
(3)
$$\int_0^{+\infty} \frac{dx}{x(|\sin x|+1)}.$$解答：
对 $x\to 0$，
$$\frac{1}{x(|\sin x|+1)}\sim\frac1x,$$$$\int_0 \frac{dx}{x} \text{ 发散},$$故积分发散。
(4)
$$\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^2}dx.$$解答：
$\arctan x \to \frac{\pi}{2}$，故
$$\frac{\arctan x}{x^2}\sim\frac{1}{x^2},$$且
$$\int_1^\infty \frac{dx}{x^2}<\infty,$$敛。
(5)
$$\int_1^2 \frac{2}{(\ln x)^2}dx.$$解答：
在 $x\to 1^+$ 时
$$\ln x \sim x-1,\quad \frac2{(\ln x)^2}\sim \frac{2}{(x-1)^2},$$$$\int_1 \frac{dx}{(x-1)^2}\text{ 发散},$$故该积分发散。
(6)
$$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^3}}.$$解答：
在 $x\to1^-$，
$$1-x^3\sim 3(1-x),\quad \frac{1}{\sqrt{1-x^3}}\sim \frac{C}{\sqrt{1-x}},$$而
$$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x}}<\infty,$$故积分收敛。
3 当 $k$ 为何值时，广义积分
$$\int_2^{+\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^k}$$收敛？当 $k$为何值时
$$\int_e^{+\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^k}$$发散？
解答：
利用判别法：
$$\int_a^\infty \frac{dx}{x(\ln x)^k}$$当且仅当 $k>1$ 收敛，若 $k\le1$ 发散。
4 设广义积分
$$\int_1^{+\infty} f^2(x)\,dx$$收敛，证明
$$\int_1^{+\infty} \frac{f(x)}{x}dx$$绝对收敛。
解答：
用 Cauchy-Schwarz 不等式：
$$\int_1^\infty \left|\frac{f(x)}{x}\right|dx \le \left(\int_1^\infty f^2(x)dx\right)^{1/2} \left(\int_1^\infty \frac{dx}{x^2}\right)^{1/2}<\infty.$$证毕。
三、考研真题
5.（2021111）
$$\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^2+2x+2}.$$解答：
$$x^2+2x+2=(x+1)^2+1,$$故
$$\int_0^\infty \frac{dx}{(x+1)^2+1} =\left[\arctan(x+1)\right]_0^\infty =\frac{\pi}{2}-\arctan 1 =\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{4}.$$6.（2021211）
$$\int_0^\infty 3^{-x^2}|x|\,dx.$$解答：
区间对称，且 $x\ge0$，
$$\int_0^\infty 3^{-x^2}x\,dx.$$令 $u=x^2$，$du=2x\,dx$，
$$\int_0^\infty 3^{-x^2}x\,dx =\frac12\int_0^\infty 3^{-u}du =\frac12\cdot\frac1{\ln 3} =\frac1{2\ln 3}.$$7.（2020203）
$$\int_0^1 \frac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}dx.$$解答：
令 $x=\sin^2 t$，$t\in[0,\frac{\pi}{2}]$，
$$dx=2\sin t\cos t\,dt,\quad \sqrt{x(1-x)}=\sin t\cos t,$$且
$$\arcsin\sqrt{x}=\arcsin(\sin t)=t.$$代入得
$$\int_0^{\pi/2} \frac{t}{\sin t\cos t}\cdot 2\sin t\cos t\,dt =\int_0^{\pi/2} 2t\,dt =\left[t^2\right]_0^{\pi/2} =\frac{\pi^2}{4}.$$故正确答案为
$$\frac{\pi^2}{4}.$$（即选 A）