第1节 定积分的概念与性质
一、基础题
1 不计算积分，比较下列各值的大小
(1) $\int_0^1 x\,dx$ 与 $\int_0^1 x^2\,dx$
解答：
在区间 $[0,1]$ 上，恒有 $x \ge x^2$，且不恒相等，因此
$$\int_0^1 x\,dx > \int_0^1 x^2\,dx.$$(2) $\int_1^2 \ln x\,dx$ 与 $\int_1^2 (\ln x)^2\,dx$
解答：
在区间 $[1,2]$ 上，$\ln x \ge 0$，且当 $x>1$ 时有 $(\ln x)^2 < \ln x$，因此
$$\int_1^2 \ln x\,dx > \int_1^2 (\ln x)^2\,dx.$$2 利用定积分的几何意义，指出下列积分的值
(1) $\int_1^2 2x\,dx$
解答：
$$\int_1^2 2x\,dx = [x^2]_1^2 = 4-1 = 3.$$(2) $\int_0^a \sqrt{a^2-x^2}\,dx \ (a>0)$
解答：
这是四分之一圆面积，半径为 $a$，面积为
$$\frac14 \pi a^2.$$(3) $\int_0^\pi \cos x\,dx$
解答：
$$\int_0^\pi \cos x\,dx = [\sin x]_0^\pi = 0.$$3 $\displaystyle \int_{1/2}^2 |\ln x|\,dx =（\ \ ）.$
解答：
$\ln x$ 在 $(0,1)$ 为负，在 $(1,\infty)$ 为正，因此
$$\int_{1/2}^2 |\ln x|\,dx = -\int_{1/2}^1 \ln x\,dx + \int_1^2 \ln x\,dx.$$选项对应 C。
二、提高题
4 证明：$\displaystyle \pi \le \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (1+\sin^2 x)\,dx \le 2\pi$
解答：
首先
$$1 \le 1+\sin^2 x \le 2.$$在区间 $[\pi/4,5\pi/4]$ 上长度为
$$5\pi/4 - \pi/4 = \pi.$$因此
$$\int_{\pi/4}^{5\pi/4} 1\,dx = \pi, \qquad \int_{\pi/4}^{5\pi/4} 2\,dx = 2\pi.$$由积分不等式可得
$$\pi \le \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (1+\sin^2 x)\,dx \le 2\pi.$$5 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且
$$3\int_0^{1/4} f(x)\,dx = \int_{1/4}^1 f(x)\,dx.$$证明：存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f'(\xi)=0$。
解答：
定义
$$F(t)=3\int_0^t f(x)\,dx - \int_t^1 f(x)\,dx.$$给定条件表明
$$F(1/4)=0.$$对 $F(t)$ 求导得
$$F'(t)=3 f(t) -(-f(t))=4f(t).$$又
$$F(0)= -\int_0^1 f(x)\,dx,\quad F(1)=3\int_0^1 f(x)\,dx.$$显然 $F(0)$ 与 $F(1)$ 异号，因此由零点存在性得存在 $\eta\in(0,1)$，使
$$F(\eta)=0.$$现在 $F(\eta)=0$ 与 $F(1/4)=0$，由 Rolle 定理得存在 $\xi\in(\eta,1/4)\subset (0,1)$，使得
$$F'(\xi)=0.$$即
$$4f(\xi)=0 \Rightarrow f'(\xi)=0.$$三、考研真题
6 (2021104) 设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，则 $\displaystyle \int_0^1 f(x)\,dx =（\ \ ）.$
(对应选项为 Riemann 和式)
解答：
标准 Riemann 和式为
$$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n f\left(\frac{2k-1}{2n}\right)\frac{1}{n}.$$匹配选项得选 D。
7 (2011104) 设
$$I=\int_0^{\pi/4} \ln(\sin x)\,dx,\quad J=\int_0^{\pi/4} \ln(\cot x)\,dx,\quad K=\int_0^{\pi/4} \ln(\cos x)\,dx.$$比较 $I,J,K$ 的大小。
解答：
注意
$$\ln(\cot x)=\ln(\cos x)-\ln(\sin x).$$且在 $(0,\pi/4)$ 上：
$$\sin x < \cos x \Rightarrow \ln(\sin x)< \ln(\cos x) <0.$$积分后保持不等号，所以
$$I < K < 0.$$又
$$J = K - I,$$其中 $K<0$, $I<0$ 且 $|I|>|K|$，所以
$$J = K-I >0.$$因此
$$I < K < J.$$对应选项 B。