第4节 几种特殊函数的不定积分
一、基础题
1 求下列不定积分
(1) $\displaystyle \int \frac{2x+1}{x^2+3x-4}\,dx$
解答：
$$x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$$部分分式：
$$\frac{2x+1}{(x+4)(x-1)}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x-1}$$$$2x+1=A(x-1)+B(x+4)$$配系数得：
$$A+B=2,\quad -A+4B=1$$解得 $A=\frac{7}{5}, B=\frac{3}{5}$。
$$\int \frac{2x+1}{x^2+3x-4}\,dx=\frac{7}{5}\ln|x+4|+\frac{3}{5}\ln|x-1|+C$$(2) $\displaystyle \int \frac{2x+5}{x^2+4x+5}\,dx$
解答：
$$x^2+4x+5=(x+2)^2+1,\quad 2x+5=2(x+2)+1$$$$\int\frac{2(x+2)}{(x+2)^2+1}\,dx+\int\frac{1}{(x+2)^2+1}\,dx$$$$=\ln\left((x+2)^2+1\right)+\arctan(x+2)+C$$(3) $\displaystyle \int \frac{x^2+x-1}{x^3-x}\,dx$
解答：
$$x^3-x=x(x-1)(x+1)$$拆分：
$$\frac{x^2+x-1}{x(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+1}$$求得：
$$A=-1,\quad B=\frac{3}{2},\quad C=\frac{1}{2}$$积分：
$$\int\frac{x^2+x-1}{x^3-x}dx=-\ln|x|+\frac{3}{2}\ln|x-1|+\frac{1}{2}\ln|x+1|+C$$(4) $\displaystyle \int \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\,dx$
解答：
令 $t=\sqrt{x+1}$，则 $x=t^2-1$，$dx=2t\,dt$。 原式：
$$\int \frac{t-1}{t+1}2t\,dt$$$$\frac{t-1}{t+1}=1-\frac{2}{t+1}$$$$\int 2t\left(1-\frac{2}{t+1}\right)dt=\int (2t)\,dt -\int\frac{4t}{t+1}dt$$$$\frac{4}{t+1}=4-\frac{4}{t+1}$$最终积分：
$$t^2-4t+4\ln|t+1|+C$$代回 $t=\sqrt{x+1}$ 即可。
(5) $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}$
解答：
令 $t=\sqrt[4]{x}$，则 $x=t^4,\ dx=4t^3dt$，$\sqrt{x}=t^2$。 原式变为：
$$\int \frac{4t^3}{t^2+t}\,dt=\int \frac{4t^3}{t(t+1)}\,dt=4\int \frac{t^2}{t+1}\,dt$$长除：
$$\frac{t^2}{t+1}=t-1+\frac{1}{t+1}$$积分：
$$4\left(\frac{t^2}{2}-t+\ln|t+1|\right)+C$$代回 $t=x^{1/4}$。
(6) $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1+e^x}}$
解答：
令 $t=\sqrt{1+e^x}$，则 $t^2=1+e^x$，$e^x= t^2-1$， 微分：$e^x dx=2t\,dt$，故
$$dx=\frac{2t}{t^2-1}dt$$原式：
$$\int \frac{1}{t}\cdot \frac{2t}{t^2-1}dt=\int \frac{2}{t^2-1}dt$$$$=\int\left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t+1}\right)dt$$$$=\ln|t-1|-\ln|t+1|+C$$代回 $t=\sqrt{1+e^x}$。
(7) $\displaystyle \int \frac{dx}{3+\cos x}$
解答：
采用万能代换 $t=\tan\frac{x}{2}$，
$$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad dx=\frac{2}{1+t^2}dt$$代入：
$$\int \frac{2}{1+t^2}\cdot \frac{1+t^2}{3(1+t^2)+1-t^2}\,dt$$$$=\int\frac{2}{2t^2+4}\,dt=\int\frac{1}{t^2+2}\,dt$$$$=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{t}{\sqrt{2}}+C$$代回 $t=\tan(x/2)$。
(8) $\displaystyle \int \frac{1+\sin x}{\sin x(1+\cos x)}\,dx$
解答：
拆分：
$$\frac{1+\sin x}{\sin x(1+\cos x)}=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\sin x(1+\cos x)}$$使用：
$$\frac{1}{\sin x(1+\cos x)}=\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan(x/2)}$$最终积分：
$$\int (\csc x)\,dx +\int\left(\csc x-\frac{1}{\tan(x/2)}\right)dx$$$$=-\ln|\csc x+\cot x|-\ln|\csc x+\cot x|+2\ln|\sin(x/2)|+C$$可化简为任意等价形式。
二、提高题
2 求下列不定积分
(1) $\displaystyle \int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+x)}$
解答：
部分分式分解：
$$\frac{1}{(x^2+1)(x^2+x)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$$求得：
$$A=-1,\ B=1,\ C=0,\ D=1$$积分结果：
$$-\ln|x|+\ln|x+1|+\arctan x +C$$(2) $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}\,dx$
解答：
部分分式：
$$\frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}$$求得：
$$A=\frac12,\ B=\frac12,\ C=-1$$积分：
$$\frac12\ln|x-1|+\frac12\ln|x+1|+\frac{1}{x+1}+C$$(3) $\displaystyle \int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx$
解答：
分子分母均除以 $\cos x$：
$$\frac{\tan x}{\tan x+1}$$设 $t=\tan x$，$dt=(1+t^2)dx$，转化为有理分式：
$$\int \frac{t}{1+t} \cdot \frac{1}{1+t^2} dt$$积分后得：
$$\ln(\sin x+\cos x)+C$$(4) $\displaystyle \int \frac{\cos x}{2\sin x+3\cos x}\,dx$
解答：
令 $u=2\sin x+3\cos x$，
$$du=(2\cos x-3\sin x)dx$$将 $\cos x dx$ 表示成 $du$ 的线性组合，得结果：
$$\int \frac{\cos x}{u}dx=\frac{1}{13}(2\ln|u|+3x)+C$$代回 $u=2\sin x+3\cos x$。
(5) $\displaystyle \int \frac{e^x-1}{e^x+1}\,dx$
解答：
拆分：
$$\frac{e^x-1}{e^x+1}=1-\frac{2}{e^x+1}$$$$\int 1\,dx -2\int\frac{1}{e^x+1}dx$$利用：
$$\frac{1}{e^x+1}=\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$$设 $t=e^{-x}$ 即可完成积分，最终：
$$x-2\ln(1+e^{-x})+C$$(6) $\displaystyle \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\,dx$
解答：
令 $x=\cos\theta$，
$$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}=\tan\frac{\theta}{2}$$利用和差化积，最终积分得到：
$$\sqrt{1-x^2}-\arcsin x +C$$三、考研真题
3 (2009216) 求 $\displaystyle \int \ln\left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right)\,dx\ (x>0)$
解答：
令：
$$t=\sqrt{\frac{1+x}{x}}=\sqrt{1+\frac{1}{x}}$$可化为对 $t$ 的代换积分。 最终答案（可与任意等价形式一致）：
$$x\ln\left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right)-\sqrt{x(x+1)}+C$$