第3节 分部积分法
一、基础题
1 求下列不定积分
（1）$\displaystyle \int x\cos\frac{x}{2}\,dx$
解答：
令$\displaystyle u=x,\; dv=\cos\frac{x}{2}dx$。 则$\displaystyle du=dx,\; v=2\sin\frac{x}{2}$。
$$\int x\cos\frac{x}{2}dx=x\cdot2\sin\frac{x}{2}-\int 2\sin\frac{x}{2}dx$$$$=2x\sin\frac{x}{2}+4\cos\frac{x}{2}+C.$$（2）$\displaystyle \int 2xe^{-2x}\,dx$
解答：
设$\displaystyle u=2x,\; dv=e^{-2x}dx$。 则$\displaystyle du=2dx,\; v=-\frac12 e^{-2x}$。
$$\int 2xe^{-2x}dx=-x e^{-2x}+\int e^{-2x}dx$$$$=-xe^{-2x}-\frac12 e^{-2x}+C$$$$=-(x+\tfrac12)e^{-2x}+C.$$（3）$\displaystyle \int \ln x\,dx$
解答：
$$\int\ln x\,dx=x\ln x-x+C.$$（4）$\displaystyle \int x^{2}\ln 2x\,dx$
解答：
$\ln 2x=\ln 2+\ln x$，故
$$\int x^{2}\ln 2x\,dx=\ln2\int x^{2}dx+\int x^{2}\ln x\,dx.$$对后者分部积分： 设 $u=\ln x,\; dv=x^{2}dx$，则
$$\int x^{2}\ln x\,dx=\frac{x^{3}}{3}\ln x-\int\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac1x dx$$$$=\frac{x^{3}}{3}\ln x-\frac13\int x^{2}dx$$$$=\frac{x^{3}}{3}\ln x-\frac{x^{3}}{9}.$$故
$$\int x^{2}\ln 2x\,dx=\frac{\ln2}{3}x^{3}+\frac{x^{3}}{3}\ln x-\frac{x^{3}}{9}+C.$$（5）$\displaystyle \int \ln(1+x^{2})\,dx$
解答：
分部积分：$u=\ln(1+x^{2}), dv=dx$。
$$\int \ln(1+x^{2})dx=x\ln(1+x^{2})-\int x\cdot\frac{2x}{1+x^{2}}dx$$$$=x\ln(1+x^{2})-2\int \frac{x^{2}}{1+x^{2}}dx.$$$$\frac{x^{2}}{1+x^{2}}=1-\frac1{1+x^{2}}.$$$$= x\ln(1+x^{2})-2\left( x-\arctan x\right)+C.$$（6）$\displaystyle \int \sec^{3}x\,dx$
解答：
$$\int \sec^{3}x dx=\frac12\sec x\tan x+\frac12\ln|\sec x+\tan x|+C.$$（7）$\displaystyle \int x^{2}\arctan x\,dx$
解答：
分部积分：$u=\arctan x,\; dv=x^{2}dx$。
$$\int x^{2}\arctan x dx=\frac{x^{3}}{3}\arctan x-\int\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac1{1+x^{2}}dx.$$$$\frac{x^{3}}{1+x^{2}}=x-\frac{x}{1+x^{2}}.$$故：
$$=\frac{x^{3}}{3}\arctan x-\frac13\int x dx+\frac13 \int \frac{x}{1+x^{2}}dx$$$$=\frac{x^{3}}{3}\arctan x-\frac{x^{2}}{6}+\frac{1}{6}\ln(1+x^{2})+C.$$（8）$\displaystyle \int \frac{\arctan x}{x^{3}}\,dx$
解答：
分部积分：$u=\arctan x,\; dv=x^{-3}dx$。
$$v=-\frac12 x^{-2}$$$$\int \frac{\arctan x}{x^{3}}dx=-\frac12 \frac{\arctan x}{x^{2}}+\frac12\int \frac{1}{x^{2}(1+x^{2})}dx.$$部分分式：
$$\frac{1}{x^{2}(1+x^{2})}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{1+x^{2}}.$$故
$$=\;-\frac12\frac{\arctan x}{x^{2}}+\frac12\left(-\frac1x-\arctan x\right)+C.$$（9）$\displaystyle \int \cos(\ln x)\,dx$
解答：
令 $t=\ln x$，则 $dx=e^{t}dt=x dt$。
$$\int \cos(\ln x)dx=\int e^{t}\cos t\,dt$$$$=\frac12 e^{t}(\sin t+\cos t)+C$$$$=\frac{x}{2}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x))+C.$$（10）$\displaystyle \int e^{\sqrt{2x+3}}\,dx$
解答：
令 $u=\sqrt{2x+3}$，则 $u^{2}=2x+3$，$x=\frac{u^{2}-3}{2}$，且
$$dx=u du.$$$$\int e^{u} u\, du =u e^{u}-e^{u}+C=e^{u}(u-1)+C.$$$$=e^{\sqrt{2x+3}}\left(\sqrt{2x+3}-1\right)+C.$$二、提高题
2 求下列不定积分
（1）$\displaystyle \int (\ln x)^{2}dx$
解答：
$$\int (\ln x)^{2}dx=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x+C.$$（2）$\displaystyle \int \frac{\ln^{3} x}{x^{2}}dx$
解答：
令 $u=\ln x$，$dx=x du$，写成：
$$\int \frac{u^{3}}{x}dx=\int u^{3}du=\frac{u^{4}}{4}+C=\frac{(\ln x)^{4}}{4}+C.$$（3）$\displaystyle \int x^{2}\cos^{2}\frac{x}{2}\,dx$
解答：
$$\cos^{2}\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$$$$=\frac12\int x^{2}dx+\frac12 \int x^{2}\cos x dx.$$对第二项分部两次，得最终结果：
$$=\frac{x^{3}}{6}+\frac12\left(x^{2}\sin x+2x\cos x-2\sin x\right)+C.$$（4）$\displaystyle \int (\arcsin x)^{2}dx$
解答：
设 $u=(\arcsin x)^{2}, dv=dx$。
$$\int (\arcsin x)^{2}dx=x(\arcsin x)^{2}-2\int x\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx.$$令 $t=1-x^{2}$，可化为：
$$=x(\arcsin x)^{2}+\arcsin x\sqrt{1-x^{2}}-x+C.$$（5）$\displaystyle \int \ln(x+\sqrt{1+x^{2}})\,dx$
解答：
$$\int \ln(x+\sqrt{1+x^{2}})dx= x\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})-\sqrt{1+x^{2}}+C.$$（6）$\displaystyle \int e^{x}\sin^{2}x\,dx$
解答：
$$\sin^{2}x=\frac{1-\cos2x}{2}$$$$=\frac12\int e^{x}dx-\frac12\int e^{x}\cos2x\,dx.$$第二项用待定系数法求出：
$$\int e^{x}\cos2x dx=\frac{e^{x}}{5}(\cos2x+2\sin2x).$$故：
$$\int e^{x}\sin^{2}x dx=\frac12 e^{x}-\frac{e^{x}}{10}(\cos2x+2\sin2x)+C.$$（7）$\displaystyle \int \frac{\ln(1+e^{x})}{e^{x}}dx$
解答：
令 $t=e^{x}$，$dt=e^{x}dx$。
$$\int \frac{\ln(1+t)}{t}\,dt$$积分结果：
$$=\frac12\ln^{2}(1+t)+C=\frac12\ln^{2}(1+e^{x})+C.$$（8）$\displaystyle \int e^{2x}( \tan x+1)^{2} dx$
解答：
展开：
$$(\tan x+1)^{2}=\tan^{2}x+2\tan x+1=\sec^{2}x+2\tan x.$$$$\int e^{2x}(\sec^{2}x+2\tan x)dx.$$设 $u=\tan x$，得：
$$=e^{2x}\tan x -\int 2e^{2x}\tan x dx +2\int e^{2x}\tan x dx.$$化简得：
$$=e^{2x}\tan x+C.$$3 已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $\dfrac{\sin x}{x}$，求 $\displaystyle \int x f'(x)\,dx$
解答： 已知
$$F(x)=\frac{\sin x}{x}$$是 $f(x)$ 的一个原函数，因此
$$F'(x)=f(x).$$要求
$$\int x f'(x) dx.$$对被积函数作分部积分，令
$$u=x,\quad dv=f'(x)\,dx,$$则
$$du=dx,\quad v=f(x).$$因此
$$\int x f'(x) dx= x f(x)-\int f(x)dx.$$又因为
$$\int f(x)dx = F(x)=\frac{\sin x}{x}.$$代入得
$$\int x f'(x) dx = x f(x)-\frac{\sin x}{x} + C.$$而
$$f(x)=F'(x)=\left(\frac{\sin x}{x}\right)'=\frac{x\cos x-\sin x}{x^{2}}.$$因此
$$x f(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x}.$$最终：
$$\int x f'(x) dx=\frac{x\cos x-\sin x}{x}-\frac{\sin x}{x}+C$$$$=\frac{x\cos x-2\sin x}{x}+C.$$4 证明：若
$$I_n =\int \tan^{n} x\, dx\quad (n=2,3,\ldots),$$则
$$I_n=\frac{1}{n-1}\tan^{\,n-1}x - I_{n-2}.$$解答： 从
$$I_n=\int \tan^{n}x\, dx$$开始，将被积函数拆出一项 $\tan^{n-2}x \tan^{2}x$：
$$I_n=\int \tan^{n-2}x \tan^{2}x\,dx.$$利用恒等式
$$\tan^{2}x=\sec^{2}x -1,$$得
$$I_n=\int \tan^{n-2}x (\sec^{2}x-1)\,dx$$$$=\int \tan^{n-2}x \sec^{2}x\,dx - \int \tan^{n-2}x\,dx$$$$=\int \tan^{n-2}x \sec^{2}x\,dx - I_{n-2}.$$对第一项作变量代换： 令
$$u=\tan x,\quad du=\sec^{2}x\,dx,$$则
$$\int \tan^{n-2}x \sec^{2}x\,dx=\int u^{\,n-2}\,du=\frac{u^{\,n-1}}{n-1}+C.$$写回原变量：
$$\int \tan^{n-2}x \sec^{2}x\,dx=\frac{\tan^{\,n-1}x}{n-1}.$$因此
$$I_n=\frac{1}{n-1}\tan^{\,n-1}x - I_{n-2} + C.$$证毕。
三、考研真题
5 （2006216）$\displaystyle \int\frac{\arcsin(e^{x})}{e^{x}}dx$
解答：
令 $t=e^{x}$，则
$$\int\frac{\arcsin t}{t}dt.$$分部积分：
$$=\arcsin t\ln t-\int\ln t\frac{1}{\sqrt{1-t^{2}}}dt.$$进一步代换 $u=t^{2}$ 得：
$$=\arcsin(e^{x})\,x-\frac12\ln(1-e^{2x})+C.$$6 （2003215）$\displaystyle \int \frac{x e^{\arctan x}}{(1+x^{2})^{3/2}}dx$
解答：
令 $u=\arctan x$，则 $du=\frac1{1+x^{2}}dx$，且$\sqrt{1+x^{2}}=\sec u$。 化简可得：
$$\int e^{u}\sin u\,du$$$$=\frac12 e^{u}(\sin u-\cos u)+C.$$写回 $x$：
$$=\frac12 e^{\arctan x}\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}-\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)+C.$$7 （2011317）$\displaystyle \int \frac{\arcsin\sqrt{x}+\ln x}{\sqrt{x}}dx$
解答：
拆成两项：
$$\int \frac{\arcsin\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx+\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx.$$第一项令 $u=\sqrt{x}$：
$$=2\int \frac{\arcsin u}{u}du=2(\arcsin u\ln u -\ln(u+\sqrt{1-u^{2}}))+C.$$第二项：
$$\int x^{-1/2}\ln x dx=2\sqrt{x}\ln x-4\sqrt{x}.$$合并即可得到最终表达式。
8 （2016102）函数
$$f(x)= \begin{cases} 2(x-1), & x<1,\\ \ln x, & x\ge 1 \end{cases}$$的一个原函数是（ ）
解答：
对 $x<1$:
$$F(x)=\int 2(x-1)dx=(x-1)^{2}+C_{1}.$$对 $x\ge 1$:
$$F(x)=\int \ln x dx= x\ln x-x+C_{2}.$$在 $x=1$ 处连续：
$$C_{1}=C_{2}.$$匹配四个选项，可得正确形式为：
$$F(x)= \begin{cases} (x-1)^{2}, & x<1,\\ x(\ln x-1), & x\ge 1 \end{cases}$$对应选项 A。