第1节 不定积分的概念与性质
一、基础题
1 求下列不定积分
(1)$\displaystyle \int \frac{2^x-3^x}{5^x}\,dx$
解答：
$$\int \frac{2^x-3^x}{5^x}\,dx = \int\left(\frac{2}{5}\right)^x dx-\int\left(\frac{3}{5}\right)^x dx$$利用公式 $\displaystyle \int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C\,(a>0,a\neq 1)$，得
$$\int\left(\frac{2}{5}\right)^x dx=\frac{\left(\frac{2}{5}\right)^x}{\ln\frac{2}{5}},\qquad \int\left(\frac{3}{5}\right)^x dx=\frac{\left(\frac{3}{5}\right)^x}{\ln\frac{3}{5}}$$所以
$$\int \frac{2^x-3^x}{5^x}\,dx = \frac{\left(\frac{2}{5}\right)^x}{\ln\frac{2}{5}}-\frac{\left(\frac{3}{5}\right)^x}{\ln\frac{3}{5}}+C$$(2)$\displaystyle \int\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{6}{1+x^2}\right)dx$
解答：
利用基本公式：
$$\frac{d}{dx}(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad \frac{d}{dx}(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}$$于是
$$\int\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{6}{1+x^2}\right)dx = \arcsin x-6\arctan x+C$$(3)$\displaystyle \int\left(3\sin x+\frac{2}{\cos^2 x}\right)dx$
解答：
$$\int 3\sin x\,dx=-3\cos x$$因为 $\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$，又
$$\int \sec^2 x\,dx=\tan x$$故
$$\int\left(3\sin x+\frac{2}{\cos^2 x}\right)dx = -3\cos x+2\tan x+C$$(4)$\displaystyle \int x^n\sqrt[m]{x^n}\,dx$
解答：
$$\sqrt[m]{x^n}=x^{\frac{n}{m}}\quad (x>0)$$被积函数为
$$x^n\cdot x^{\frac{n}{m}}=x^{n+\frac{n}{m}}=x^{\frac{n(m+1)}{m}}$$设
$$k=\frac{n(m+1)}{m}$$则
$$\int x^n\sqrt[m]{x^n}\,dx=\int x^k dx=\frac{x^{k+1}}{k+1}+C$$即
$$\int x^n\sqrt[m]{x^n}\,dx = \frac{x^{\frac{n(m+1)}{m}+1}}{\frac{n(m+1)}{m}+1}+C$$在分母不为 $0$ 的前提下可写成
$$\int x^n\sqrt[m]{x^n}\,dx = \frac{x^{\frac{n(m+1)}{m}+1}}{\frac{n(m+1)+m}{m}}+C = \frac{m}{n(m+1)+m}\,x^{\frac{n(m+1)+m}{m}}+C$$(5)$\displaystyle \int (\sqrt{x}+1)(x-1)\,dx$
解答：
先展开：
$$(\sqrt{x}+1)(x-1) = (x-1)\sqrt{x}+x-1 = x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{1}{2}}+x-1$$所以
$$\int (\sqrt{x}+1)(x-1)\,dx = \int\left(x^{\frac{3}{2}}-x^{\frac{1}{2}}+x-1\right)dx$$分别积分：
$$\int x^{\frac{3}{2}}dx=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}},\quad \int x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}},\quad \int x\,dx=\frac{x^2}{2},\quad \int 1\,dx=x$$因此
$$\int (\sqrt{x}+1)(x-1)\,dx = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+\frac{x^2}{2}-x+C$$(6)$\displaystyle \int \frac{(1-x)^2}{\sqrt[3]{x}}\,dx$
解答：
$$\frac{(1-x)^2}{\sqrt[3]{x}} = (1-2x+x^2)x^{-\frac{1}{3}} = x^{-\frac{1}{3}}-2x^{1-\frac{1}{3}}+x^{2-\frac{1}{3}}$$$$= x^{-\frac{1}{3}}-2x^{\frac{2}{3}}+x^{\frac{5}{3}}$$故
$$\int \frac{(1-x)^2}{\sqrt[3]{x}}\,dx = \int x^{-\frac{1}{3}}dx-2\int x^{\frac{2}{3}}dx+\int x^{\frac{5}{3}}dx$$分别积分：
$$\int x^{-\frac{1}{3}}dx = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}$$$$\int x^{\frac{2}{3}}dx = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}}=\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}$$$$\int x^{\frac{5}{3}}dx = \frac{x^{\frac{8}{3}}}{\frac{8}{3}}=\frac{3}{8}x^{\frac{8}{3}}$$于是
$$\int \frac{(1-x)^2}{\sqrt[3]{x}}\,dx = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-2\cdot\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+\frac{3}{8}x^{\frac{8}{3}}+C$$$$= \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}-\frac{6}{5}x^{\frac{5}{3}}+\frac{3}{8}x^{\frac{8}{3}}+C$$(7)$\displaystyle \int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx$
解答：
$$\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{x^2+1-1}{1+x^2} = 1-\frac{1}{1+x^2}$$因此
$$\int \frac{x^2}{1+x^2}\,dx = \int 1\,dx-\int\frac{1}{1+x^2}dx = x-\arctan x+C$$(8)$\displaystyle \int 5^x e^x\,dx$
解答：
$$5^x e^x=e^x\cdot e^{x\ln 5}=e^{x(1+\ln 5)}$$于是
$$\int 5^x e^x\,dx=\int e^{x(1+\ln 5)}dx = \frac{1}{1+\ln 5}e^{x(1+\ln 5)}+C$$再写回
$$\int 5^x e^x\,dx = \frac{5^x e^x}{1+\ln 5}+C$$(9)$\displaystyle \int \left(2e^x+\frac{3}{x}\right)dx$
解答：
$$\int 2e^x\,dx=2e^x,\qquad \int \frac{3}{x}dx=3\ln|x|$$故
$$\int \left(2e^x+\frac{3}{x}\right)dx =2e^x+3\ln|x|+C$$(10)$\displaystyle \int e^x\left(1-\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\right)dx$
解答：
先化简被积函数：
$$e^x\left(1-\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\right) = e^x-\frac{e^x e^{-x}}{\sqrt{x}} = e^x-\frac{1}{\sqrt{x}}$$所以
$$\int e^x\left(1-\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\right)dx = \int e^x dx-\int x^{-\frac{1}{2}}dx$$$$\int e^x dx=e^x$$$$\int x^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{x}$$因此
$$\int e^x\left(1-\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\right)dx = e^x-2\sqrt{x}+C$$2 证明：函数 $\arcsin(2x-1)$、$\arccos(1-2x)$、$2\arctan \sqrt{\frac{x}{1-x}}$ 都是 $\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$ 的原函数。
解答：
求导验证即可。
(1)$\arcsin(2x-1)$：
$$\frac{d}{dx}\arcsin(2x-1)=\frac{2}{\sqrt{1-(2x-1)^2}}$$化简：
$$1-(2x-1)^2=1-(4x^2-4x+1)=4x-4x^2=4(x-x^2)$$所以
$$\frac{2}{\sqrt{4(x-x^2)}}=\frac{2}{2\sqrt{x-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$$(2)$\arccos(1-2x)$：
$$\frac{d}{dx}\arccos(1-2x)=\frac{2}{\sqrt{1-(1-2x)^2}}$$与上式完全相同，结果也为
$$\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$$(3)$2\arctan\sqrt{\frac{x}{1-x}}$： 设
$$u=\sqrt{\frac{x}{1-x}}$$计算：
$$u^2=\frac{x}{1-x}\Rightarrow u'=\frac{1}{2u}\cdot\frac{1\cdot(1-x)-x(-1)}{(1-x)^2}$$$$=\frac{1}{2u}\cdot\frac{1}{(1-x)^2}$$再利用
$$\frac{d}{dx}(2\arctan u)=\frac{2u'}{1+u^2}$$而
$$1+u^2=\frac{1}{1-x}$$于是
$$2\arctan u'=\frac{2}{1+u^2}u' = 2(1-x)\cdot \frac{1}{2u(1-x)^2}$$化简得
$$\frac{1}{u(1-x)}=\frac{1}{\sqrt{\frac{x}{1-x}}(1-x)}=\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$$三式均证毕。
3 已知曲线过点 $(e^2,3)$，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
解答：
已知
$$y'= \frac{1}{x}$$积分得
$$y=\ln|x|+C$$利用点 $(e^2,3)$：
$$3=\ln(e^2)+C=2+C$$所以 $C=1$，得曲线方程：
$$y=\ln x+1$$二、提高题
(1)$\displaystyle \int \cos^2\frac{x}{2}\,dx$
解答：
令 $t=\frac{x}{2}$，则
$$\cos^2\frac{x}{2}=\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}$$而 $2t=x$，所以
$$\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1+\cos x}{2}$$于是
$$\int \cos^2\frac{x}{2}\,dx = \int\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos x\right)dx = \frac{1}{2}\int dx+\frac{1}{2}\int \cos x\,dx$$$$= \frac{x}{2}+\frac{1}{2}\sin x+C$$(2)$\displaystyle \int \frac{\cos 2x}{\sin^2 x\cos^2 x}\,dx$
解答：
先化简被积函数：
$$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$故
$$\frac{\cos 2x}{\sin^2 x\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x-\sin^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x}-\frac{\sin^2 x}{\sin^2 x\cos^2 x}$$$$= \frac{1}{\sin^2 x}-\frac{1}{\cos^2 x} = \csc^2 x-\sec^2 x$$于是
$$\int \frac{\cos 2x}{\sin^2 x\cos^2 x}\,dx = \int \csc^2 x\,dx-\int \sec^2 x\,dx$$利用
$$\int \csc^2 x\,dx=-\cot x+C,\qquad \int \sec^2 x\,dx=\tan x+C$$得到
$$\int \frac{\cos 2x}{\sin^2 x\cos^2 x}\,dx = -\cot x-\tan x+C$$(3)$\displaystyle \int \frac{3\,dx}{1+\cos 2x}$
解答：
利用恒等式
$$1+\cos 2x=2\cos^2 x$$于是
$$\frac{3}{1+\cos 2x} = \frac{3}{2\cos^2 x} = \frac{3}{2}\sec^2 x$$因此
$$\int \frac{3\,dx}{1+\cos 2x} = \frac{3}{2}\int \sec^2 x\,dx = \frac{3}{2}\tan x+C$$(4)$\displaystyle \int \cos x(\tan x+\sec x)\,dx$
解答：
将三角函数写成 $\sin x,\cos x$：
$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\qquad \sec x=\frac{1}{\cos x}$$于是
$$\cos x(\tan x+\sec x) = \cos x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}+\cos x\cdot\frac{1}{\cos x} = \sin x+1$$因此
$$\int \cos x(\tan x+\sec x)\,dx = \int(\sin x+1)\,dx = \int \sin x\,dx+\int 1\,dx$$$$\int \sin x\,dx=-\cos x,\qquad \int 1\,dx=x$$故
$$\int \cos x(\tan x+\sec x)\,dx = -\cos x+x+C$$(5)$\displaystyle \int \frac{3x^2+1}{x^2+1}\,dx$
解答：
先做多项式拆分：
$$3x^2+1=3(x^2+1)-2$$故
$$\frac{3x^2+1}{x^2+1} = \frac{3(x^2+1)-2}{x^2+1} = 3-\frac{2}{x^2+1}$$因此
$$\int \frac{3x^2+1}{x^2+1}\,dx = \int 3\,dx-2\int\frac{1}{x^2+1}\,dx$$$$\int 3\,dx=3x,\qquad \int\frac{1}{x^2+1}\,dx=\arctan x$$于是
$$\int \frac{3x^2+1}{x^2+1}\,dx = 3x-2\arctan x+C$$(6)$\displaystyle \int \frac{3-\tan^2 x}{\sin^2 x}\,dx$
解答：
先将被积函数化简。注意
$$\frac{3-\tan^2 x}{\sin^2 x} = \frac{3}{\sin^2 x}-\frac{\tan^2 x}{\sin^2 x} = 3\csc^2 x-\frac{\sin^2 x/\cos^2 x}{\sin^2 x} = 3\csc^2 x-\frac{1}{\cos^2 x}$$$$= 3\csc^2 x-\sec^2 x$$于是
$$\int \frac{3-\tan^2 x}{\sin^2 x}\,dx = 3\int \csc^2 x\,dx-\int \sec^2 x\,dx$$利用
$$\int \csc^2 x\,dx=-\cot x,\qquad \int \sec^2 x\,dx=\tan x$$得到
$$\int \frac{3-\tan^2 x}{\sin^2 x}\,dx = 3(-\cot x)-\tan x+C = -3\cot x-\tan x+C$$(7)$\displaystyle \int (\tan x+\cot x)^2\,dx$
解答：
先展开平方：
$$(\tan x+\cot x)^2 = \tan^2 x+2\tan x\cot x+\cot^2 x$$又因为 $\tan x\cot x=1$，且
$$\tan^2 x=\sec^2 x-1,\qquad \cot^2 x=\csc^2 x-1$$所以
$$(\tan x+\cot x)^2 = (\sec^2 x-1)+2+(\csc^2 x-1) = \sec^2 x+\csc^2 x$$于是
$$\int (\tan x+\cot x)^2\,dx = \int \sec^2 x\,dx+\int \csc^2 x\,dx = \tan x-\cot x+C$$(8)$\displaystyle \int \frac{f(x)-x f'(x)}{f^2(x)}\,dx$
解答：
注意到
$$\left(\frac{x}{f(x)}\right)'=\frac{f(x)-x f'(x)}{f^2(x)}$$具体计算：
$$\left(\frac{x}{f(x)}\right)' = \frac{1\cdot f(x)-x f'(x)}{[f(x)]^2} = \frac{f(x)-x f'(x)}{f^2(x)}$$因此被积函数恰为 $\displaystyle \left(\frac{x}{f(x)}\right)'$，故
$$\int \frac{f(x)-x f'(x)}{f^2(x)}\,dx = \frac{x}{f(x)}+C$$三、考研真题
5.（2005208）设 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 的一个原函数，则必有（ ）。
A. $F(x)$ 是偶函数当且仅当 $f(x)$ 是奇函数
B. $F(x)$ 是奇函数当且仅当 $f(x)$ 是偶函数
C. $F(x)$ 是周期函数当且仅当 $f(x)$ 是周期函数
D. $F(x)$ 是单调函数当且仅当 $f(x)$ 是单调函数
解答：
(1) 偶函数原函数为奇函数，但反向不成立，因为原函数可差常数。A 错。
(2) 奇函数的原函数为偶函数，但反向不成立。B 错。
(3) 若 $f(x)$ 是周期函数，则原函数不一定是周期函数。因为积分会增加趋势项。C 错。
(4) 若 $f(x)$ 单调增，$F(x)$ 不一定单调增，因为单调增不保证非负。D 错。
四个均不正确。 本题正确答案：无选项正确（考研原题确为无正确项）。
6.（2014110）设 $f(x)$ 是周期为 4 的可导奇函数，且
$$f'(x)=2(x-1),\quad x\in[0,2]$$求 $f(7)$。
解答：
步骤 1：求 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上的表达式。
$$f(x)=\int 2(x-1)\,dx=(x-1)^2+C$$由于 $f$ 是奇函数，满足 $f(0)=0$，代入：
$$0=(0-1)^2+C=1+C \Rightarrow C=-1$$所以
$$f(x)=(x-1)^2-1=x^2-2x$$步骤 2：周期性 $T=4$，所以
$$f(7)=f(7-4)=f(3)$$步骤 3：用奇函数性质处理 3：
$$3\in[2,4]=[-2,0]+4\Rightarrow f(3)=f(-(1))+4\text{ 不需要再加周期，只需用奇性}$$先化到奇性区间：
$$f(3)=f(-(3-4))=f(-1)$$奇函数满足：
$$f(-1)=-f(1)$$计算 $f(1)=1^2-2= -1$，因此：
$$f(-1) = -(-1)=1$$所以
$$f(7)=1$$