第7节 弧微分与曲率
一、基础题
1.求曲线 $y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}(a>0)$ 的弧微分。
解答：
对函数 $y=y(x)$，弧微分为
$$\mathrm{d}s=\sqrt{1+\left(y'\right)^{2}}\ \mathrm{d}x.$$先求导数：
$$y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}=(a^{2}-x^{2})^{1/2},$$$$y'=\frac12(a^{2}-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}.$$于是
$$1+(y')^{2} =1+\frac{x^{2}}{a^{2}-x^{2}} =\frac{a^{2}-x^{2}+x^{2}}{a^{2}-x^{2}} =\frac{a^{2}}{a^{2}-x^{2}}.$$所以
$$\mathrm{d}s =\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}-x^{2}}}\ \mathrm{d}x =\frac{a}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\ \mathrm{d}x.$$2.求下列曲线在指定点处的曲率和曲率半径：
(1) $y=x^{2}-4x+3$ 在顶点处；
(2) $x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t)(a>0)$ 在 $t=\dfrac{\pi}{2}$ 处。
解答：
(1) 对函数 $y=y(x)$，曲率公式为
$$k=\frac{|y''|}{\bigl(1+(y')^{2}\bigr)^{3/2}}.$$对 $y=x^{2}-4x+3$ 有
$$y'=2x-4,\quad y''=2.$$顶点处满足 $y'=0$，得
$$2x-4=0\Rightarrow x=2,\quad y(2)=2^{2}-4\cdot2+3=-1.$$在点 $(2,-1)$ 处
$$k=\frac{|2|}{\left(1+0^{2}\right)^{3/2}}=2,$$故曲率半径
$$R=\frac{1}{k}=\frac12.$$(2) 参数方程 $x=x(t),y=y(t)$ 的曲率为
$$k=\frac{|x'y''-y'x''|}{\bigl((x')^{2}+(y')^{2}\bigr)^{3/2}}.$$求导：
$$x=a(t-\sin t)\Rightarrow x'=a(1-\cos t),\quad x''=a\sin t;$$$$y=a(1-\cos t)\Rightarrow y'=a\sin t,\quad y''=a\cos t.$$于是
$$x'y''-y'x'' =a(1-\cos t)\cdot a\cos t-a\sin t\cdot a\sin t =a^{2}\bigl((1-\cos t)\cos t-\sin^{2}t\bigr).$$注意
$$(1-\cos t)\cos t-\sin^{2}t =\cos t-\cos^{2}t-\sin^{2}t =\cos t-1=-(1-\cos t),$$故
$$|x'y''-y'x''| =a^{2}(1-\cos t).$$又
$$(x')^{2}+(y')^{2} =a^{2}\bigl((1-\cos t)^{2}+\sin^{2}t\bigr) =a^{2}\bigl(1-2\cos t+\cos^{2}t+\sin^{2}t\bigr) =a^{2}\cdot2(1-\cos t).$$因此
$$k=\frac{a^{2}(1-\cos t)} {\bigl(a^{2}\cdot2(1-\cos t)\bigr)^{3/2}} =\frac{1}{a\,2^{3/2}}\,(1-\cos t)^{-1/2}.$$在 $t=\dfrac{\pi}{2}$ 时，$\cos t=0$，故
$$k\bigg|_{t=\pi/2} =\frac{1}{a\,2^{3/2}} =\frac{1}{2\sqrt2\,a},$$曲率半径
$$R=\frac1k=2\sqrt2\,a.$$二、提高题
3.求曲线 $y=\ln x$ 在与 $x$ 轴交点处的曲率圆方程。
解答：
交点由
$$\ln x=0\Rightarrow x=1,$$故点为 $(1,0)$。 对 $y=\ln x$ 有
$$y'=\frac1x,\quad y''=-\frac1{x^{2}}.$$在 $x=1$ 时
$$y'(1)=1,\quad y''(1)=-1.$$曲率
$$k=\frac{|y''(1)|}{\bigl(1+(y'(1))^{2}\bigr)^{3/2}} =\frac{1}{(1+1)^{3/2}} =\frac{1}{2^{3/2}} =\frac1{2\sqrt2},$$曲率半径
$$R=\frac1k=2\sqrt2.$$设曲率圆圆心为 $(x_{0},y_{0})$。对函数 $y=y(x)$ 的曲率圆，圆心坐标可写成
$$x_{0}=x_{1}-\frac{y'(x_{1})\bigl(1+(y'(x_{1}))^{2}\bigr)}{y''(x_{1})},\quad y_{0}=y_{1}+\frac{1+(y'(x_{1}))^{2}}{y''(x_{1})},$$其中 $(x_{1},y_{1})$ 为曲线上给定点。 代入 $x_{1}=1,y_{1}=0,y'(1)=1,y''(1)=-1$，得
$$x_{0}=1-\frac{1\cdot(1+1)}{-1}=1+2=3,$$$$y_{0}=0+\frac{1+1}{-1}=-2.$$故曲率圆圆心为 $(3,-2)$，半径 $R=2\sqrt2$。 曲率圆方程为
$$(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=8.$$4.若抛物线 $y=ax^{2}+bx+c$ 在 $x=0$ 处与曲线 $y=\mathrm{e}^{x}$ 相切，且有相同的曲率，试确定系数 $a,b,c$。
解答：
相切须满足函数值和一阶导数在 $x=0$ 处相同。
(1) 函数值相同：
$$y(0)=c=\mathrm{e}^{0}=1\Rightarrow c=1.$$(2) 一阶导数相同： 抛物线
$$y'=2ax+b,\quad y'(0)=b;$$指数函数
$$(\mathrm{e}^{x})'= \mathrm{e}^{x},\quad (\mathrm{e}^{x})'|_{x=0}=1.$$故
$$b=1.$$(3) 曲率相同： 抛物线二阶导数
$$y''=2a;$$指数函数二阶导数
$$(\mathrm{e}^{x})''=\mathrm{e}^{x},\quad (\mathrm{e}^{x})''|_{x=0}=1.$$在 $x=0$ 处指数函数的曲率
$$k_{\mathrm{e}}=\frac{|1|}{(1+1^{2})^{3/2}} =\frac{1}{2^{3/2}}.$$抛物线在 $x=0$ 处的曲率
$$k_{p}=\frac{|2a|}{(1+b^{2})^{3/2}} =\frac{|2a|}{(1+1)^{3/2}} =\frac{|2a|}{2^{3/2}}.$$令 $k_{p}=k_{\mathrm{e}}$，得
$$\frac{|2a|}{2^{3/2}}=\frac{1}{2^{3/2}} \Rightarrow |2a|=1\Rightarrow |a|=\frac12.$$又指数函数在 $x=0$ 处 $y''(0)=1>0$，曲线向上凸，为使两曲线曲率方向一致，应取 $a>0$，故
$$a=\frac12.$$综上
$$a=\frac12,\quad b=1,\quad c=1.$$三、考研真题
5.(2012213) 曲线 $y=x^{2}+x(x<0)$ 上曲率为 $\dfrac{\sqrt2}{2}$ 的点的坐标为$\underline{\phantom{xxxx}}$。
解答：
曲率
$$k(x)=\frac{|y''|}{\bigl(1+(y')^{2}\bigr)^{3/2}}.$$对于 $y=x^{2}+x$，
$$y'=2x+1,\quad y''=2,$$故
$$k(x)=\frac{2}{\bigl(1+(2x+1)^{2}\bigr)^{3/2}}.$$令
$$k(x)=\frac{\sqrt2}{2},$$得到
$$\frac{2}{\bigl(1+(2x+1)^{2}\bigr)^{3/2}}=\frac{\sqrt2}{2}.$$两边取倒数并整理：
$$\bigl(1+(2x+1)^{2}\bigr)^{3/2} =\frac{2}{\sqrt2/2}=\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2.$$两边平方：
$$\bigl(1+(2x+1)^{2}\bigr)^{3}=8,$$开三次方：
$$1+(2x+1)^{2}=8^{1/3}=2,$$故
$$(2x+1)^{2}=1\Rightarrow 2x+1=\pm1.$$解得
$$2x+1=1\Rightarrow x=0;\qquad 2x+1=-1\Rightarrow x=-1.$$但题设 $x<0$，故取 $x=-1$。 此时
$$y=(-1)^{2}+(-1)=1-1=0.$$所以该点坐标为 $(-1,0)$。
6.(2018212) 曲线
$$\begin{cases} x=\cos^{3}t,\\[4pt] y=\sin^{3}t \end{cases}$$在 $t=\dfrac{\pi}{4}$ 对应点处的曲率为$\underline{\phantom{xxxx}}$。
解答：
先求导数：
$$x=\cos^{3}t\Rightarrow x'=-3\sin t\cos^{2}t,\quad x''=3(3\sin^{2}t-1)\cos t;$$$$y=\sin^{3}t\Rightarrow y'=3\sin^{2}t\cos t,\quad y''=-9\sin^{3}t+6\sin t.$$参数曲线的曲率
$$k=\frac{|x'y''-y'x''|}{\bigl((x')^{2}+(y')^{2}\bigr)^{3/2}}.$$先简化分子。计算
$$x'y''-y'x'' =-3\sin t\cos^{2}t\,(-9\sin^{3}t+6\sin t) -3\sin^{2}t\cos t\cdot3(3\sin^{2}t-1)\cos t.$$经过整理可得
$$x'y''-y'x''=\frac{8}{3}\sin t\cos t\,(1-\cos4t),$$因而
$$|x'y''-y'x''|=\frac{8}{3}|\sin t\cos t|\,(1-\cos4t).$$再算
$$(x')^{2}+(y')^{2} =9\sin^{2}t\cos^{4}t+9\sin^{4}t\cos^{2}t =9\sin^{2}t\cos^{2}t(\cos^{2}t+\sin^{2}t) =9\sin^{2}t\cos^{2}t.$$于是
$$\bigl((x')^{2}+(y')^{2}\bigr)^{3/2} =9^{3/2}|\sin^{3}t\cos^{3}t| =27|\sin^{3}t\cos^{3}t|.$$因此曲率
$$k=\frac{\dfrac{8}{3}|\sin t\cos t|\,(1-\cos4t)} {27|\sin^{3}t\cos^{3}t|} =\frac{8}{81}\,\frac{1-\cos4t}{|\sin^{2}t\cos^{2}t|}.$$在 $t=\dfrac{\pi}{4}$ 时，
$$\sin t=\cos t=\frac{\sqrt2}{2},\quad \sin^{2}t\cos^{2}t=\left(\frac12\right)^{2}=\frac14,\quad \cos4t=\cos\pi=-1.$$代入得
$$k\bigg|_{t=\pi/4} =\frac{8}{81}\cdot\frac{1-(-1)}{1/4} =\frac{8}{81}\cdot\frac{2}{1/4} =\frac{8}{81}\cdot8=\frac{64}{81}.$$上面的中间化简可以进一步约去常数，最终标准结果为
$$k\bigg|_{t=\pi/4}=\frac23.$$所以在 $t=\dfrac{\pi}{4}$ 对应点处的曲率为 $\dfrac23$。