第6节 函数图形的描绘
一、基础题
1 描绘下列函数的图形：
(1) $y=2x^3-4x^2$
解答：
令
$$y=2x^3-4x^2=2x^2(x-2)$$一阶导数
$$y'=6x^2-8x=2x(3x-4)$$令 $y'=0$，得
$$x=0,\quad x=\frac{4}{3}$$二阶导数
$$y''=12x-8$$在 $x=0$，
$$y''(0)=-8<0$$故 $x=0$ 为极大点，
$$y(0)=0$$在 $x=\frac{4}{3}$，
$$y''\left(\frac{4}{3}\right)=12\cdot\frac{4}{3}-8=8>0$$故 $x=\frac{4}{3}$ 为极小点，
$$y\left(\frac{4}{3}\right)=2\left(\frac{64}{27}\right)-4\left(\frac{16}{9}\right)=-\frac{64}{27}$$函数为三次多项式，左右端行为
$$x\to -\infty,\ y\to -\infty;\quad x\to +\infty,\ y\to +\infty$$(2) $y=x^4-6x^2+x+5$
解答：
$$y'=4x^3-12x+1$$令 $y'=0$，方程
$$4x^3-12x+1=0$$为三次方程，可确定存在三个实根（符号变化判定），分别对应极值点。进一步：
$$y''=12x^2-12$$当 $x=\pm1$ 附近改变符号，得两个转折点。 函数为四次多项式，两端
$$x\to \pm \infty,\ y\to +\infty$$图形呈典型 W 形。
(3) $y=\frac{2x}{1+x^2}$
解答：
$$y'=\frac{2(1+x^2)-2x(2x)}{(1+x^2)^2}=\frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}$$令 $y'=0$，得
$$x=\pm1$$$$y(1)=1,\quad y(-1)=-1$$二阶导数
$$y''=\frac{-4x(1+x^2)^2-(2-2x^2)4x(1+x^2)}{(1+x^2)^4}$$符号分析得 $x=-1$ 极小，$x=1$ 极大。 当 $|x|\to\infty$，
$$y\sim \frac{2}{x}\to 0$$故水平渐近线 $y=0$。
(4) $y=x^2 e^{-x}$
解答：
$$y'=2xe^{-x}-x^2 e^{-x}=e^{-x}(2x-x^2)=x e^{-x}(2-x)$$令 $y'=0$：
$$x=0,\quad x=2$$$$y''=e^{-x}(x^2-4x+2)$$在 $x=0$，
$$y''(0)=2>0$$故为极小点，$y(0)=0$ 在 $x=2$，
$$y''(2)=e^{-2}(-2)<0$$故为极大点，$y(2)=4e^{-2}$ 当 $x\to\infty$，$y\to 0$。 当 $x\to -\infty$，$e^{-x}\to \infty$，$y\to \infty$。 图形左上开口，右趋于 0。
二、考研真题
2 (2012101) 曲线 $y=\frac{x^2+x}{x^2-1}$ 的渐近线的条数为 ( )
解答：
垂直渐近线：分母为 0
$$x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$$故有两条垂直渐近线。 斜渐近线：做分式长除
$$\frac{x^2+x}{x^2-1}=1+\frac{x+1}{x^2-1}$$余项次数小于分母，故无斜渐近线，亦无水平渐近线（分子分母次数相等但商为 1，不是水平渐近线）。 总条数为2 答案：C
3 (2014101) 下列曲线中有渐近线的是 ( )
A. $y=x+\sin x$
B. $y=x^2+\sin x$
C. $y=x+\sin\frac1x$
D. $y=x^2+\sin\frac1x$
解答：
分析无穷远： A: $y=x+\sin x$，$\sin x$ 不趋于常数，无法存在渐近线。 B: 二次多项式占主导，$\sin x$ 振荡，无法得到线性渐近线。 C:
$$y-x=\sin\frac1x\to 0\quad (x\to\infty)$$故直线 $y=x$ 为渐近线。 D:
$$y-x^2=\sin \frac1x$$但渐近线若为 $y=ax+b$，需
$$y - ax - b \to 0$$此处主项 $x^2$ 无法被线性函数逼近，因此无渐近线。 答案：C
4 (2021218) 已知
$$f(x)=\frac{x|x|}{1+x}$$求 $f(x)$ 的凸性及渐近线。
解答：
分段表示： 若 $x\ge 0$，$|x|=x$，
$$f(x)=\frac{x^2}{1+x}$$若 $x<0$，$|x|=-x$，
$$f(x)=\frac{-x^2}{1+x}$$注意定义域：$x\ne -1$。
(1) $x\ge0$：
$$f(x)=\frac{x^2}{1+x}$$求导：
$$f'=\frac{2x(1+x)-x^2}{(1+x)^2}=\frac{x(x+2)}{(1+x)^2}$$二阶导：
$$f''=\frac{2(1+x)^2-x(x+2)2(1+x)}{(1+x)^4}=\frac{2(1+x)-2x(x+2)}{(1+x)^3}$$化简得
$$f''=\frac{2-2x}{(1+x)^3}$$故当
$$x<1,\ f''>0\quad (凸) $$$$x>1,\ f''<0\quad (凹)$$(2) $x<0$：
$$f(x)=\frac{-x^2}{1+x}$$$$f'=\frac{-2x(1+x)+x^2}{(1+x)^2}=\frac{-x(x+2)}{(1+x)^2}$$二阶导： 同理可得
$$f''=\frac{-2(1+x)+2x(x+2)}{(1+x)^3}$$化简得
$$f''=\frac{2x-2}{(1+x)^3}$$注意 $x<0\Rightarrow 1+x>0$ 仅在 $x>-1$ 成立，若 $x<-1$，分母为负需考虑符号。
最终结论：
(i) 区间 $(-1,0)$：
$$f''=\frac{2x-2}{(1+x)^3}, \quad 1+x>0$$$$f''<0 \Rightarrow \text{凹}$$(ii) 区间 $(-\infty,-1)$： 此时 $1+x<0$，分母负
$$f''>0 \Rightarrow \text{凸}$$(3) 渐近线分析： 当 $x\to -1$，分母趋于 0，存在垂直渐近线
$$x=-1$$当 $x\to +\infty$：
$$f(x)=\frac{x^2}{1+x}=x-1+\frac{1}{1+x} \to x-1$$故斜渐近线
$$y=x-1$$当 $x\to -\infty$：
$$f(x)=\frac{-x^2}{1+x}= -x-1+\frac{1}{1+x}\to -x-1$$故斜渐近线
$$y=-x-1$$综上： 凸性区间：
$$(-\infty,-1),\quad (0,1)$$凹性区间：
$$(-1,0),\quad (1,\infty)$$渐近线：
$$x=-1,\quad y=x-1,\quad y=-x-1$$