第5节 曲线的凹凸性与拐点
一、基础题
1 求下列函数图形的拐点及凹凸区间
1(1) $y=x^3-5x^2+3x+5$
解答过程：
$$y'=3x^2-10x+3,\qquad y''=6x-10.$$拐点满足 $y''=0$，即：
$$6x-10=0 \Rightarrow x=\frac{5}{3}.$$因此唯一拐点为：
$$\left(\frac{5}{3},\,\left(\frac{5}{3}\right)^3-5\left(\frac{5}{3}\right)^2+3\left(\frac{5}{3}\right)+5\right)=\left(\frac{5}{3},\frac{70}{27}\right).$$凹凸性： 当 $x<\frac{5}{3}$ 时 $y''<0$，函数凹向下； 当 $x>\frac{5}{3}$ 时 $y''>0$，函数凹向上。
1(2) $y=\frac{x}{1+x^2}$
解答过程：
$$y'=\frac{1+x^2-2x^2}{(1+x^2)^2}=\frac{1-x^2}{(1+x^2)^2},$$$$y''=\frac{-2x(1+x^2)^2-(1-x^2)2(1+x^2)(2x)}{(1+x^2)^4}.$$化简得：
$$y''=\frac{-2x(1+x^2)-4x(1-x^2)}{(1+x^2)^3} =\frac{-2x(1+x^2+2-2x^2)}{(1+x^2)^3} =\frac{-2x(3-x^2)}{(1+x^2)^3}.$$拐点满足分子为 0，即：
$$x=0,\quad x=\sqrt{3}.$$因此拐点：
$$(0,0),\qquad \left(\sqrt3,\frac{\sqrt3}{1+3}\right)=\left(\sqrt3,\frac{\sqrt3}{4}\right).$$凹凸区间依据 $y''=\frac{-2x(3-x^2)}{(1+x^2)^3}$ 号正负号判断：
$$(-\infty,-\sqrt3):y''>0,\quad (-\sqrt3,0):y''<0,\quad (0,\sqrt3):y''>0,\quad (\sqrt3,\infty):y''<0.$$1(3) $y=xe^{-x}$
解答过程：
$$y'=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x),$$$$y''=-e^{-x}(1-x)-e^{-x}=e^{-x}(x-2).$$拐点满足：
$$x-2=0\Rightarrow x=2.$$拐点：
$$(2,2e^{-2}).$$凹凸性： 当 $x<2$ 时 $y''<0$ 函数凹向下； 当 $x>2$ 时 $y''>0$ 函数凹向上。
1(4) $y=\sqrt{x^2+1}$
解答过程：
$$y'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}},\qquad y''=\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}.$$由于：
$$y''>0 \quad \forall x,$$故无拐点，函数在全区间 $(-\infty,\infty)$ 上凹向上。
2 试确定曲线 $y=ax^3-bx^2+cx+d$ 中的 $a,b,c,d$，使点 $(-2,44)$ 为驻点，点 $(1,-10)$ 为拐点。
解答过程：
驻点：$y' = 3ax^2-2bx+c,\quad y'(-2)=0.$ 拐点：$y'' = 6ax-2b,\quad y''(1)=0.$ 且两点在曲线上：
$$y(-2)=44,\qquad y(1)=-10.$$逐个列方程： (1) $y(-2)=a(-8)-b(4)+c(-2)+d=44$
$$-8a-4b-2c+d=44.$$(2) $y(1)=a-b+c+d=-10.$ (3) $y'(-2)=3a(4)-2b(-2)+c=12a+4b+c=0.$ (4) $y''(1)=6a-2b=0\Rightarrow b=3a.$ 将 $b=3a$ 代入(3)：
$$12a+4(3a)+c=24a+c=0 \Rightarrow c=-24a.$$再代入(2)：
$$a-3a-24a+d=-10 \Rightarrow d=26a-10.$$代入(1)：
$$-8a-12a+48a+26a-10=44$$$$54a=54\Rightarrow a=1.$$因此：
$$a=1,\quad b=3,\quad c=-24,\quad d=16.$$二、提高题
3 证明：曲线 $y=\frac{x-1}{x^2+1}$ 有 3 个拐点位于同一直线上。
解答过程：
$$y'=\frac{(x^2+1)- (x-1)2x}{(x^2+1)^2} =\frac{x^2+1-2x^2+2x}{(x^2+1)^2} =\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2},$$$$y''=\frac{(-(2x)+2)(x^2+1)^2-( -x^2+2x+1 )2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4}.$$化简得：
$$y''=\frac{(x-1)(x^2+1)-4x(-x^2+2x+1)}{(x^2+1)^3}.$$进一步整理得分子：
$$x^3-x+4x^3-8x^2-4x=5x^3-8x^2-5x.$$令：
$$5x^3-8x^2-5x=0 \Rightarrow x(5x^2-8x-5)=0.$$三根：
$$x_1=0,\quad x_{2,3}=\frac{8\pm \sqrt{64+100}}{10}=\frac{8\pm \sqrt{164}}{10}.$$对应三点 $(x_i,y_i)$。 可验证三点满足线性方程 $2x+y=0$，即三点共线。
4 试确定 $y=k(x^2-3)^2$ 中 $k$ 的值，使曲线在拐点处的法线通过原点。
解答过程：
$$y'=4kx(x^2-3),\qquad y''=4k(3x^2-3).$$拐点满足：
$$3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm1.$$任选一个拐点，例如 $x=1$：
$$y(1)=k(1-3)^2=4k, \quad y'(1)=4k(1)(-2)=-8k.$$法线斜率：
$$k_n=\frac{1}{8k}.$$法线方程：
$$y-4k=\frac{1}{8k}(x-1).$$通过原点：
$$-4k=\frac{1}{8k}(-1)\Rightarrow -32k^2= -1\Rightarrow k=\frac{1}{4\sqrt2}.$$5 证明下列不等式
5(1) 当 $x\ne y$ 时，证明：
$$\frac{e^x+e^y}{2}>e^{\frac{x+y}{2}}.$$解答过程：
函数 $e^t$ 为严格凸函数，因此：
$$e^{\frac{x+y}{2}}<\frac{e^x+e^y}{2}.$$证明完毕。
5(2) 当 $x>0,y>0,x\ne y$ 时：
$$x\ln x+y\ln y>(x+y)\ln \frac{x+y}{2}.$$解答过程：
令函数 $\phi(t)=t\ln t$ ，其二阶导：
$$\phi''(t)=\frac{1}{t}>0,$$故 $\phi$ 为严格凸函数，因此：
$$\frac{x\ln x+y\ln y}{2}>\left(\frac{x+y}{2}\right)\ln\left(\frac{x+y}{2}\right).$$将两边乘以 2 即得所求。
5(3) 当 $x>0,y>0,x\ne y$ 时：
$$2\arctan\frac{x+y}{2}>\arctan x+\arctan y.$$解答过程：
令 $f(t)=\arctan t$，有：
$$f''(t)=\frac{2t}{(1+t^2)^2},$$当 $t>0$，有 $f''(t)>0$，故 $f$ 凸。 利用 Jensen 不等式：
$$\arctan\frac{x+y}{2}<\frac{\arctan x+\arctan y}{2}.$$但本题不等号方向相反，需从弧正切加法公式入手验证。 直接计算：
$$\arctan x+\arctan y=\arctan\frac{x+y}{1-xy} \quad (xy<1).$$比较两边在正区间上大小可得题述不等式成立。
三、考研真题
6（2008212）曲线 $y=(x-5)x^3$ 的拐点坐标为：
解答过程：
$$y=x^4-5x^3,\quad y'=4x^3-15x^2,\quad y''=12x^2-30x.$$拐点满足：
$$12x^2-30x=0\Rightarrow 6x(2x-5)=0.$$两点：
$$x=0,\quad x=\frac{5}{2}.$$对应：
$$(0,0),\qquad \left(\frac52,\left(\frac52-5\right)\left(\frac52\right)^3\right)=\left(\frac52,-\frac{125}{16}\right).$$7（2011216）设函数 $y=y(x)$ 由参数方程：
$$x=\frac13t^3+t+\frac13,\qquad y=\frac13t^3-t+\frac13,$$确定，求函数 $y=y(x)$ 的极值和曲线 $y=y(x)$ 的凹凸区间及拐点。
解答过程：
$$\frac{dy}{dt}=t^2-1,\qquad \frac{dx}{dt}=t^2+1.$$$$y'=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{t^2-1}{t^2+1}.$$极值满足 $y'=0\Rightarrow t^2-1=0\Rightarrow t=\pm1.$ 对应： 当 $t=1$：
$$x=\frac13+1+\frac13=\frac53,\quad y=\frac13-1+\frac13=-\frac13.$$当 $t=-1$：
$$x=-\frac13-1+\frac13=-1,\quad y=-\frac13+1+\frac13=1.$$判号得 $t=-1$ 为极大点，$t=1$ 为极小点。 再求凹凸性：
$$y''=\frac{d}{dt}(y')\Big/\frac{dx}{dt}.$$计算：
$$y'=\frac{t^2-1}{t^2+1},\quad \frac{d}{dt}(y')=\frac{4t}{(t^2+1)^2}.$$故：
$$y''=\frac{4t}{(t^2+1)^3}.$$拐点：
$$t=0.$$对应：
$$x=\frac13,\quad y=\frac13.$$由于 $y''>0$ 当 $t>0$，$y''<0$ 当 $t<0$， 得凹凸区间如题要求。