第4节 函数的单调性、极值和最值

一、基础题

1 求下列函数的单调区间

(1)y＝$x^{3}-3x^{2}-9x+14$

解答过程：

$$y'=3x^{2}-6x-9=3(x^{2}-2x-3)=3(x-3)(x+1)$$

由此得临界点为 $-1$ 与 $3$。 讨论符号：

当 $x<-1$ 时，$(x-3)<0,(x+1)<0\Rightarrow y'>0$，函数单调递增；

当 $-10\Rightarrow y'<0$，函数单调递减；

当 $x>3$ 时，$(x-3)>0,(x+1)>0\Rightarrow y'>0$，函数单调递增。

故单调区间为：

$$(-\infty,-1),\ (3,+\infty)\text{上递增},\qquad (-1,3)\text{上递减}.$$

(2)y＝$x+\frac{1}{x}$

解答过程：

定义域为 $x\neq0$。

$$y'=1-\frac{1}{x^{2}}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}$$

临界点为 $x=\pm1$。 讨论符号：

当 $|x|>1$ 时，$x^{2}-1>0\Rightarrow y'>0$；

当 $|x|<1$ 时，$x^{2}-1<0\Rightarrow y'<0$。

故单调区间：

$$(-\infty,-1),\ (1,+\infty)\text{上递增},\qquad (-1,0),\ (0,1)\text{上递减}.$$

(3)y＝$x-e^{x}$

解答过程：

$$y'=1-e^{x}$$

令 $y'=0$，得 $e^{x}=1\Rightarrow x=0$。 讨论符号：

当 $x<0$ 时 $e^{x}<1\Rightarrow y'>0$，函数递增；

当 $x>0$ 时 $e^{x}>1\Rightarrow y'<0$，函数递减。

故单调区间：

$$(-\infty,0)\text{上递增},\qquad (0,+\infty)\text{上递减}.$$

(4)y＝$2x^{2}-\ln x$

解答过程：

定义域为 $x>0$。

$$y'=4x-\frac{1}{x}=\frac{4x^{2}-1}{x}$$

令 $4x^{2}-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$。 讨论符号：

当 $0

当 $x>\frac12$ 时 $4x^{2}-1>0\Rightarrow y'>0$，递增。

故单调区间：

$$(0,\tfrac12)\text{上递减},\qquad (\tfrac12,+\infty)\text{上递增}.$$

2 证明下列不等式

(1) 当 $x>0$ 时，$x< e^{x}-1 < xe^{x}$

解答过程：

证明左侧： 设 $f(x)=e^{x}-1-x$，

$$f'(x)=e^{x}-1,\ f'(0)=0,\ f''(x)=e^{x}>0$$

故 $f'(x)>0(x>0)\Rightarrow f(x)>0\Rightarrow e^{x}-1>x$。 证明右侧： 需证 $e^{x}-1 $$g'(x)=1-e^{-x}>0(x>0)\Rightarrow g(x)>g(0)=0$$

故不等式成立。

(2) 当 $02x$

解答过程：

写成

$$\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}>2x$$

设

$$h(x)=\sin x+\tan x-2x$$

$$h'(x)=\cos x+\sec^{2}x-2$$

因 $01$， 故

$$h'(x)=\cos x+\sec^{2}x-2>0$$

且 $h(0)=0$，故 $h(x)>0$。

(3) 当 $x>0$ 时，$\ln(1+x)>\frac{\arctan x}{1+x}$

解答过程：

设

$$p(x)=\ln(1+x)-\frac{\arctan x}{1+x}$$

求导：

$$p'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{(1+x)\cdot \frac{1}{1+x^{2}}-\arctan x}{(1+x)^{2}}$$

化简：

$$p'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{\arctan x}{(1+x)^{2}}$$

由于 $x>0$ 时

$$\frac{1}{1+x}>\frac{1}{1+x^{2}},\qquad \arctan x>0$$

故 $p'(x)>0$，又 $p(0)=0$，故 $p(x)>0$。

3 求下列函数的极值

(1)f(x)=$2x^{3}-6x^{2}-18x+7$

解答过程：

$$f'=6x^{2}-12x-18=6(x^{2}-2x-3)=6(x-3)(x+1)$$

临界点：$x=-1,3$。

$$f''=12x-12$$

$f''(-1)=-24<0\Rightarrow x=-1$ 为极大值点：

$$f(-1)=2(-1)^{3}-6(-1)^{2}-18(-1)+7=-2-6+18+7=17$$

$f''(3)=24>0\Rightarrow x=3$ 为极小值点：

$$f(3)=54-54-54+7=-47$$

(2)f(x)=$\frac{(x-2)(3-x)}{x^{2}}$ 解答过程略写求导：

$$f=\frac{-x^{2}+5x-6}{x^{2}}=-1+\frac{5}{x}-\frac{6}{x^{2}}$$

$$f'=-\frac{5}{x^{2}}+\frac{12}{x^{3}}=\frac{-5x+12}{x^{3}}$$

临界点：$x=\frac{12}{5}$。

$$f''=\frac{15x-36}{x^{4}}$$

代入 $x=\frac{12}{5}$ 得 $f''>0$，为极小值点：

$$f(\tfrac{12}{5})=-1+\frac{25}{12}-\frac{25}{12}=-1$$

(3)f(x)=$x-\ln(x+1)$

解答过程：

$$f'=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}$$

临界点：$x=0$，但 $f'>0(x>-1,x\neq0)$，故无极值。

(4)f(x)=$x^{\frac{1}{x}}$

解答过程：

令

$$y=x^{\frac1x},\ \ln y=\frac{\ln x}{x}$$

$$(\ln y)'=\frac{x\cdot\frac1x-\ln x}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$$

临界点：$\ln x=1\Rightarrow x=e$。 极值：

$$y(e)=e^{\frac1e}$$

4 设函数 $f(x)=a\ln x+b x^{2}+x$ 在 $x_{1}=1,x_{2}=2$ 取得极值，求 $a,b$ 的值，并判断极大极小

解答过程：

$$f'=a\frac1x+2bx+1$$

$$f'(1)=a+2b+1=0$$

$$f'(2)=\frac{a}{2}+4b+1=0$$

解方程： 由第一式 $a=-2b-1$，代入第二式：

$$\frac{-2b-1}{2}+4b+1=0$$

$$- b -\tfrac12+4b+1=0\Rightarrow 3b+\tfrac12=0\Rightarrow b=-\tfrac16$$

$$a=-2b-1=\tfrac13-1=-\tfrac23$$

再判断极值性质：

$$f''=-\frac{a}{x^{2}}+2b=\frac{2/3}{x^{2}}-\frac13$$

$x=1$: $f''(1)=\frac23-\frac13=\frac13>0$，极小值；

$x=2$: $f''(2)=\frac{2/3}{4}-\frac13=\frac{1}{6}-\frac13=-\frac16<0$，极大值。

5 求下列函数在指定区间上的最大值和最小值

(1)$f(x)=2x^{3}-3x^{2},[-1,4]$

解答过程：

$$f'=6x^{2}-6x=6x(x-1)$$

临界点：$x=0,1$。 计算：

$$f(-1)=-2-3=-5$$

$$f(0)=0$$

$$f(1)=-1$$

$$f(4)=2\cdot64-3\cdot16=128-48=80$$

最大值为 80，最小值为 -5。

(2)$f(x)=x+\sqrt{1-x},[-5,1]$

解答过程：

定义域要求 $x\le1$。

$$f'=1-\frac1{2\sqrt{1-x}}$$

令 $f'=0\Rightarrow 2\sqrt{1-x}=1\Rightarrow 1-x=\tfrac14\Rightarrow x=\tfrac34$。 计算三点：

$$f(-5)=-5+\sqrt6$$

$$f(\tfrac34)=\tfrac34+\tfrac12=\tfrac54$$

$$f(1)=1$$

最大值为 $\tfrac54$，最小值为 $-5+\sqrt6$。

(3)$f(x)=x e^{x}-e^{x},[-1,2]$

解答过程：

$$f=e^{x}(x-1)$$

$$f'=e^{x}(x-1)+e^{x}=(x)e^{x}$$

临界点：$x=0$。 求值：

$$f(-1)=e^{-1}(-2)=-\frac{2}{e}$$

$$f(0)=-1$$

$$f(2)=e^{2}(1)=e^{2}$$

最大值为 $e^{2}$，最小值为 $-\frac2e$。

(4)$f(x)=\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{1-x},\ [\tfrac12,1)$

解答过程：

$$f'=-\frac{a^{2}}{x^{2}}+\frac{b^{2}}{(1-x)^{2}}$$

令 $f'=0\Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{1-x}\Rightarrow ax=b x/(1-x)$ 得：

$$ax=b(x/(1-x))\Rightarrow a(1-x)=b x\Rightarrow x=\frac{a}{a+b}$$

需满足 $x\in[\tfrac12,1)$。 此点为极小值点： 代入：

$$f=\frac{a^{2}}{a/(a+b)}+\frac{b^{2}}{b/(a+b)}=a(a+b)+b(a+b)=(a+b)^{2}$$

最大值在端点：

$$f(\tfrac12)=2a^{2}+2b^{2}$$

6 在底半径为 R、高为 H 的圆锥内嵌入一个圆柱体，求圆柱体的最大体积

解答过程：

设圆柱底半径为 $r$，高为 $h$。 由相似三角形：

$$\frac{R-r}{h}=\frac{R}{H}\Rightarrow h=H(1-\frac{r}{R})$$

体积：

$$V=\pi r^{2}h=\pi r^{2}H(1-\frac{r}{R})$$

$$V=\pi H(r^{2}-\frac{r^{3}}{R})$$

求导：

$$V'=2\pi Hr-\frac{3\pi H r^{2}}{R}$$

令 $V'=0$：

$$2R=3r\Rightarrow r=\frac{2R}{3}$$

$$h=H(1-\frac23)=\frac{H}{3}$$

最大体积：

$$V_{\max}=\pi\frac{4R^{2}}{9}\cdot\frac{H}{3}=\frac{4\pi R^{2} H}{27}$$

二、考研真题

7.(2013220) 设函数 $f(x)=\ln x+\frac1x$

(1) 求 $f(x)$ 的最小值。

解答过程：

$$f'=\frac1x-\frac1{x^{2}}=\frac{x-1}{x^{2}}$$

令 $x=1$ 得极值点。

$$f''=\frac{x^{2}-2x}{x^{4}}$$

在 $x=1$ 有 $f''(1)=-1<0$，故为极大值。 端点向无穷方向考虑：当 $x\to\infty$，$\ln x\to\infty$；当 $x\to0^{+}$，$1/x\to\infty$。 此函数无最小值。

(2) 设数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $\ln x_{n}+\frac1{x_{n+1}}<1$，证明 $\lim x_{n}$ 存在，并求其极限。

解答过程：

由不等式取极限 $x_{n}\to L$：

$$\ln L+\frac1L\le1$$

又由递推性质（略，单调收敛可证），极限应满足等号：

$$\ln L+\frac1L=1$$

解方程试 $L=1$：

$$\ln1+\frac1{1}=1$$

故极限为：

$$L=1$$

8.(2017117) 设函数 $y=f(x)$ 由方程 $x^{3}-y^{2}-3x+3y-2=0$ 确定，求 $f(x)$ 的极值

解答过程：

由隐函数求导：

$$3x^{2}-3+( -2y+3)y'=0$$

$$y'=\frac{3-3x^{2}}{3-2y}$$

极值需 $y'=0\Rightarrow 3-3x^{2}=0\Rightarrow x=\pm1$。 代入原方程求 $y$：

(1) $x=1$：

$$1-y^{2}-3+3y-2=0\Rightarrow -y^{2}+3y-4=0$$

$$y^{2}-3y+4=0$$

判别式 $9-16<0$，无实根，故无极值点。

(2) $x=-1$：

$$-1-y^{2}+3+3y-2=0\Rightarrow -y^{2}+3y=0$$

$$y(y-3)=0$$

得两点：$(x,y)=(-1,0)$，$(-1,3)$。 再判断： 计算导数分母 $3-2y$：

若 $y=0$，$3-0>0$，导数分子变号由 $x=-1$ 附近可判得为极值点；

若 $y=3$，$3-6<0$，类似可判，但需二阶导进一步验证。可算得两者均为极值点。

最终极值点为：

$$(-1,0),\quad (-1,3)$$

对应函数值即极值。

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