第3节 泰勒中值定理及麦克劳林公式
一、基础题
1. 当 $x_{0}=1$ 时，求函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 的 $n$ 阶泰勒公式
解答过程：
函数在 $x=1$ 的展开式为
$$f(x)=\frac{1}{x}=\frac{1}{1+(x-1)}.$$利用等比级数展开
$$\frac{1}{1+t}=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k t^k +(-1)^{n+1}\frac{t^{n+1}}{1+\theta t},\quad t=x-1.$$因此
$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k (x-1)^k + (-1)^{n+1}\frac{(x-1)^{n+1}}{1+\theta(x-1)},\quad 0<\theta<1.$$2. 求函数 $y=\sqrt{x}$ 的按 $x=4$ 的幂展开的带佩亚诺余项的 3 阶泰勒公式
解答过程：
设 $x=4+h$，
$$\sqrt{x}=\sqrt{4+h}=2\sqrt{1+\frac{h}{4}}.$$对 $\sqrt{1+u}$ 展开：
$$\sqrt{1+u}=1+\frac{1}{2}u-\frac{1}{8}u^2+\frac{1}{16}u^3+o(u^3).$$代入 $u=\frac{h}{4}$：
$$\sqrt{x}=2\left(1+\frac{h}{8}-\frac{h^2}{128}+\frac{h^3}{1024}+o(h^3)\right).$$整理得
$$\sqrt{x}=2+\frac{1}{4}(x-4)-\frac{1}{64}(x-4)^2+\frac{1}{512}(x-4)^3+o\big((x-4)^3\big).$$3. 求函数 $f(x)=\tan x$ 的带佩亚诺余项的 3 阶麦克劳林公式
解答过程：
计算各阶导：
$$f(0)=0,\quad f'(0)=1,\quad f''(0)=0,\quad f'''(0)=2.$$因此
$$\tan x = x + \frac{1}{3}x^{3}+o(x^3).$$4. 求函数 $f(x)=x e^{x}$ 的 $n$ 阶麦克劳林公式
解答过程：
利用 $e^{x}=\sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}+R_{n}(x)$，得
$$x e^{x}=x\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}+xR_{n}(x) =\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k+1}}{k!}+xR_{n}(x).$$写成
$$x e^{x}=\sum_{m=1}^{n+1}\frac{x^{m}}{(m-1)!}+R_{n}^{*}(x).$$二、提高题
5. 应用三阶泰勒公式求下列函数的近似值，并估计误差。
(1) $\sqrt[3]{30}$
解答过程：
以 $x=27$ 展开 $f(x)=x^{1/3}$。 计算：
$$f(27)=3,\quad f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3},\quad f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-5/3},\quad f'''(x)=\frac{10}{27}x^{-8/3}.$$代入 $x=27$，并令 $h=3$。 三阶展开得
$$f(30)=3+\frac{1}{27}\cdot 3-\frac{2}{9\cdot 27^{5/3}}\frac{3^2}{2}+\frac{10}{27\cdot27^{8/3}}\frac{3^3}{6}+R,$$可化简近似为
$$\sqrt[3]{30}\approx 3.107.$$余项为四阶量，满足 $|R|<10^{-4}$。
(2) $\sin 18^{\circ}$
解答过程：
$18^\circ=\frac{\pi}{10}$。 麦克劳林 3 阶：
$$\sin x = x-\frac{x^{3}}{6}+R.$$代入 $x=\frac{\pi}{10}$：
$$\sin 18^\circ \approx \frac{\pi}{10}-\frac{1}{6}\left(\frac{\pi}{10}\right)^3\approx 0.309.$$误差满足 $|R|<\frac{x^{5}}{120}<10^{-4}$。
6. 设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有三阶导数，$f'(a)=f'(b)=0$，证明：至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使
$$|f''(\xi)|\ge \frac{4}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|.$$解答过程：
设
$$\phi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{(b-a)^2}(x-a)(x-b).$$则 $\phi(a)=\phi(b)=0$。 并计算
$$\phi'(a)=f'(a)=0,\quad \phi'(b)=f'(b)=0.$$由四次零点定理得存在 $\xi\in(a,b)$ 使
$$\phi''(\xi)=0.$$即
$$f''(\xi)=\frac{2(f(b)-f(a))}{(b-a)^2}(2\xi-a-b).$$取绝对值并利用 $|2\xi-a-b|\le b-a$，得
$$|f''(\xi)|\ge \frac{4}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|.$$7. 利用泰勒公式求极限：
(1)
$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x^2}{3x\sin x}$$解答过程：
展开：
$$1-\cos x^2=\frac{x^4}{2}+o(x^4),\quad \sin x=x+o(x).$$代入：
$$\frac{\frac{x^4}{2}+o(x^4)}{3x(x+o(x))}=\frac{x^4/2}{3x^{2}}+o(1)=\frac{x^2}{6}+o(1)\to 0.$$(2)
$$\lim_{x\to0}\frac{\cos x-e^{x^{2}/2}}{x^{2}[x+\ln(1-x)]}$$解答过程：
展开分子：
$$\cos x=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+o(x^{4}),$$$$e^{x^{2}/2}=1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{8}+o(x^{4}).$$分子
$$\cos x-e^{x^{2}/2}=-x^{2}+\left(\frac{1}{24}-\frac{1}{8}\right)x^{4}+o(x^{4})=-x^{2}-\frac{x^{4}}{12}+o(x^{4}).$$分母：
$$x+\ln(1-x)=x-(x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3}))=-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3}).$$得到
$$x^{2}[x+\ln(1-x)]=- \frac{x^{4}}{2}+o(x^{4}).$$极限为
$$\frac{-x^{2}-\frac{x^{4}}{12}}{-x^{4}/2}\to \frac{2}{x^{2}}\to \infty.$$三、考研真题
8. 利用泰勒公式求解下列小题。
(1) (2021) 设函数
$$f(x)=\frac{\sin x}{1+x^{2}}$$在 $x=0$ 处的 3 次泰勒多项式为 $ax+bx^{2}+cx^{3}$，则（）
解答过程：
计算：
$$f(0)=0,$$$$f'(x)=\frac{(1+x^{2})\cos x-2x\sin x}{(1+x^{2})^{2}},\quad f'(0)=1.$$$$f''(0)=0.$$$$f'''(0)=\frac{7}{3}.$$三次项为
$$\frac{f'''(0)}{6}x^{3}=\frac{7}{18}x^{3}.$$对应选项
$$a=1,\ b=0,\ c=\frac{7}{6}.$$答案为 C。
(2) (2015) 设函数 $f(x)=x+a\ln(1+x)+bx\sin x$，$g(x)=kx^{3}$，且 $f(x)=g(x)$ 在 $x=0$ 处是等价无穷小，求 $a,b,k$ 的值。
解答过程：
展开：
$$x+a(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3}))+b(x^{2}-\frac{x^{4}}{6}+o(x^{4}))=kx^{3}.$$按幂比较： 一次项：
$$1+a=0\Rightarrow a=-1.$$二次项：
$$-b-\frac{a}{2}=0\Rightarrow -b-\frac{-1}{2}=0\Rightarrow b=\frac{1}{2}.$$三次项：
$$\frac{a}{3}=k \Rightarrow k=-\frac{1}{3}.$$(3) (2023) 当 $x\to0$ 时，函数
$$f(x)=ax+bx^{2}+\ln(1+x)$$与
$$g(x)=e^{x^{2}}-\cos x$$是等价无穷小，求 $ab$ 的值。
解答过程：
展开
$$f(x)=ax+bx^{2}+x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3})$$$$g(x)=(1+x^{2}+\frac{x^{4}}{2}+o(x^{4}))-(1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+o(x^{4}))$$$$g(x)=\frac{3}{2}x^{2}+o(x^{2}).$$等价无穷小意味着一次项为 0：
$$a+1=0\Rightarrow a=-1.$$二次项匹配：
$$b-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow b=2.$$故
$$ab=-2.$$