第5节 函数的微分
一、基础题
1 求下列函数的微分
(1) $y=\dfrac1x-2\sqrt x;$
(2) $y=x\cos2x;$
(3) $y=\dfrac1{\sqrt{1+x^2}};$
(4) $y=x^2\mathrm e^{-2x}.$
解答：
(1)
$$y=\dfrac1x-2\sqrt x=\dfrac1x-2x^{1/2}.$$$$y'=-\dfrac1{x^2}-2\cdot\dfrac12x^{-1/2} =-\dfrac1{x^2}-\dfrac1{\sqrt x}.$$故微分
$$\mathrm dy=\left(-\dfrac1{x^2}-\dfrac1{\sqrt x}\right)\mathrm dx.$$(2)
$$y=x\cos2x.$$用乘积法则：
$$y'=\cos2x+x(-2\sin2x)=\cos2x-2x\sin2x.$$故
$$\mathrm dy=(\cos2x-2x\sin2x)\mathrm dx.$$(3)
$$y=(1+x^2)^{-1/2}.$$$$y'=-\dfrac12(1+x^2)^{-3/2}\cdot2x=-\dfrac{x}{(1+x^2)^{3/2}}.$$故
$$\mathrm dy=-\dfrac{x}{(1+x^2)^{3/2}}\mathrm dx.$$(4)
$$y=x^2\mathrm e^{-2x}.$$$$y'=2x\mathrm e^{-2x}+x^2(-2)\mathrm e^{-2x} =2x(1-x)\mathrm e^{-2x}.$$故
$$\mathrm dy=2x(1-x)\mathrm e^{-2x}\mathrm dx.$$2 设 $y=y(x)$ 由方程 $x=y^y$ 确定，求 $\mathrm dy$.
解答：
方程两边取对数：
$$\ln x=y\ln y.$$两边对 $x$ 求导：
$$\dfrac1x=y'\ln y+y\cdot\dfrac1y y'=y'(\ln y+1).$$故
$$y'=\dfrac1{x(\ln y+1)},\quad \mathrm dy=\dfrac1{x(\ln y+1)}\,\mathrm dx.$$3 有一批半径为 $1\mathrm{cm}$ 的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度为 $0.01\mathrm{cm}$，请估计每个球需要用多少克铜(铜的密度是 $8.9\mathrm{g/cm^3}$)。
解答：
球体积 $V=\dfrac43\pi r^3$。微分近似增量
$$\mathrm dV=4\pi r^2\mathrm dr.$$取 $r=1$, $\mathrm dr=0.01$：
$$\mathrm dV=4\pi\cdot1^2\cdot0.01=0.04\pi\ \mathrm{cm}^3.$$所需铜的质量
$$m=\rho\,\mathrm dV=8.9\times0.04\pi\approx1.12\ \mathrm g.$$4 (2002201) 设函数 $y=f(u)$ 可导，$y=f(x^2)$ 的自变量 $x$ 在 $x=-1$ 处取得增量 $\Delta x=-0.1$ 时，相应的函数增量 $\Delta y$ 的线性主部为 $0.1$，则 $f'(1)=(\quad)$。
A. $-1$
B. $0.1$
C. $1$
D. $0.5$
解答：
$$y=f(x^2),\quad \dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}=2x f'(x^2).$$在 $x=-1$ 处：
$$\left.\dfrac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\right|_{x=-1}=2(-1)f'(1)=-2f'(1).$$线性主部
$$\Delta y\approx y'(-1)\Delta x=-2f'(1)\cdot(-0.1)=0.2f'(1).$$题给线性主部为 $0.1$，故 $0.2f'(1)=0.1$，得
$$f'(1)=0.5.$$应选 D。
二、提高题
5 计算下列函数的近似值：
(1) $\cos29^\circ$；
(2) $\tan136^\circ$；
(3) $\arcsin0.5002$；
(4) $\sqrt[3]{996}$。
解答：
(1) 以 $x_0=30^\circ=\dfrac\pi6$ 为展开点，$\Delta x=-1^\circ=-\dfrac\pi{180}$。函数 $y=\cos x$，
$$y'\big|_{x_0}=-\sin\dfrac\pi6=-\dfrac12.$$线性近似：
$$\cos29^\circ\approx\cos\dfrac\pi6+y'\big|_{x_0}\Delta x =\dfrac{\sqrt3}2-\dfrac12\left(-\dfrac\pi{180}\right) =\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac\pi{360}\approx0.875.$$(2) 取 $x_0=135^\circ=\dfrac{3\pi}4$，$\Delta x=1^\circ=\dfrac\pi{180}$。
$y=\tan x$，
$$y'\big|_{x_0}=\sec^2\dfrac{3\pi}4=1+\tan^2\dfrac{3\pi}4=2.$$故
$$\tan136^\circ\approx\tan\dfrac{3\pi}4+y'\big|_{x_0}\Delta x =-1+2\cdot\dfrac\pi{180}=-1+\dfrac\pi{90}\approx-0.965.$$(3) 取 $x_0=0.5$，$\Delta x=0.0002$。 $y=\arcsin x$，
$$y'\big|_{x_0}=\dfrac1{\sqrt{1-x_0^2}}=\dfrac1{\sqrt{1-0.25}}=\dfrac2{\sqrt3}.$$又 $\arcsin0.5=\dfrac\pi6$，故
$$\arcsin0.5002\approx\dfrac\pi6+\dfrac2{\sqrt3}\cdot0.0002 \approx0.5238.$$(4) 设 $y=\sqrt[3]x$，在 $x_0=1000$ 处线性近似，$\Delta x=-4$。
$$y_0=\sqrt[3]{1000}=10,\quad y'=\dfrac13x^{-2/3}, \quad y'(1000)=\dfrac1{3\cdot100}=\dfrac1{300}.$$故
$$\sqrt[3]{996}\approx10+\dfrac1{300}(-4) =10-\dfrac4{300}=10-\dfrac1{75}\approx9.987.$$