第2节 函数的求导法则
一、基础题
1 求下列函数的导数
(1) $y=\left(\arccos \frac{x}{2}\right)^3$
解答：
$$y' = 3\left(\arccos \frac{x}{2}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1-(x/2)^2}} \cdot \frac12\right)$$$$y' = -\frac{3}{2}\frac{\left(\arccos \frac{x}{2}\right)^2}{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}$$(2) $y=\ln\left(\tan \frac{x^3}{3}\right)$
解答：
$$y'=\frac{1}{\tan (x^3/3)}\cdot \sec^2(x^3/3)\cdot x^2$$$$y'=x^2\cdot \frac{\sec^2(x^3/3)}{\tan(x^3/3)}$$(3) $y=\sqrt{1+\ln^2 x}$
解答：
$$y'=\frac{1}{2\sqrt{1+\ln^2 x}}\cdot 2\ln x\cdot \frac{1}{x}$$$$y'=\frac{\ln x}{x\sqrt{1+\ln^2 x}}$$(4) $y=\arctan\frac{x+1}{x-1}$
解答：
$$y'=\frac{1}{1+\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2}\cdot \frac{(x-1)- (x+1)}{(x-1)^2}$$$$y'=\frac{-2}{(x-1)^2+\,(x+1)^2}$$$$y'=-\frac{1}{x^2-1}$$(5) $y=\arccos\sqrt{1-x^2}$
解答：
设 $u=\sqrt{1-x^2}$，则
$$y'=-\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}},\qquad u'=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$$$$y'=-\frac{-x/\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{x^2}}$$$$y'=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}\,|x|}$$(6) $y=\ln[\ln(\ln x)]$
解答：
$$y'=\frac{1}{\ln(\ln x)}\cdot \frac{1}{\ln x}\cdot \frac{1}{x}$$$$y'=\frac{1}{x\ln x\ln (\ln x)}$$2 求下列函数在指定点处的导数
(1) $y=\sin x+\cos x$，求 $y'|_{x=\pi/3},\,y'|_{x=3\pi/4}$
解答：
$$y'=\cos x-\sin x$$$$y'(\pi/3)=\frac12-\frac{\sqrt3}{2}=-\frac{\sqrt3-1}{2}$$$$y'(3\pi/4)=-\frac{\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}=-\sqrt2$$(2) $y=x\cos x+\frac12\sin x$，求 $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=\pi/2}$
解答：
$$y'=\cos x-x\sin x+\frac12\cos x=\frac32\cos x-x\sin x$$$$y'(\pi/2)=\frac32\cdot 0-\frac{\pi}{2}\cdot 1=-\frac{\pi}{2}$$(3) $f(x)=\frac{3}{5-x}+\frac{x^2}{5}$，求 $f'(0)$ 及 $f'(2)$
解答：
$$f'(x)=\frac{3}{(5-x)^2}+\frac{2x}{5}$$$$f'(0)=\frac{3}{25}$$$$f'(2)=\frac{3}{9}+\frac{4}{5}=\frac13+\frac45=\frac{17}{15}$$3 以初速度 $v_0$ 竖直上抛的物体，其上升高度 $h$ 与时间 $t$ 的关系为
$$h=v_0 t-\frac12 g t^2$$(1) 该物体的瞬时速度 $v(t)$ 解答：
$$v(t)=h'(t)=v_0-g t$$(2) 该物体到达最高点的时刻 $T$ 解答： 最高点速度为零：
$$v_0-gT=0 \Rightarrow T=\frac{v_0}{g}$$二、提高题
4 设函数 $f(x)$ 可导，求下列复合函数的导数 $\frac{dy}{dx}$
(1) $y=f(1-x^2)$
解答：
$$y' = f'(1-x^2)\cdot (-2x)$$(2) $y=f\left(\sin^2\frac1x\right)$
解答：
$$y'=f'(\sin^2(1/x))\cdot 2\sin(1/x)\cos(1/x)\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)$$(3) $y=\arctan f(x)$
解答：
$$y'=\frac{f'(x)}{1+[f(x)]^2}$$(4) $y=f(\sin^2 x)+f(\cos^2 x)$
解答：
$$y'=f'(\sin^2 x)\cdot 2\sin x\cos x+f'(\cos^2 x)\cdot (-2\sin x\cos x)$$5 设 $x=g(y)$ 与 $y=f(x)$ 互为反函数，且 $g(2)=1,\ f'(1)=3$，求 $g'(2)$
解答：
反函数求导关系：
$$g'(y)=\frac{1}{f'(x)}$$由 $g(2)=1$ 得 $x=1$，故
$$g'(2)=\frac{1}{f'(1)}=\frac13$$6 求函数 $y=x^{a^a}+a^{a^x}\ (a>0)$ 的导数
解答：
$$y'=a^a x^{a^a-1}+a^{a^x}\ln a\cdot a^x\ln a$$$$y'=a^a x^{a^a-1}+a^{a^x}a^x(\ln a)^2$$三、考研真题
7 $(2012102)$ 设函数
$$f(x)=(e^x-1)(e^{2x}-2)\cdots (e^{nx}-n)$$其中 $n$ 为正整数，求 $f'(0)$。
解答：
$$f(0)=(-1)(-2)\cdots(-n)=(-1)^n n!$$在 $x=0$ 时仅有一项导数不为零，设为第 $k$ 项，则
$$f'(0)=\sum_{k=1}^n \left(e^{kx}k\prod_{j\neq k}(e^{jx}-j)\right)\Big|_{x=0}$$仅当 $j\neq k$ 时取 $-j$，故：
$$f'(0)=\sum_{k=1}^n k \cdot (-1)^{n-1}\frac{n!}{k}$$$$f'(0)=(-1)^{\,n-1}(n!)$$答案为：
$$(-1)^{n-1}n!$$对应选项 C