第1节 导数的概念
一、基础题
1 已知$f(x)=\begin{cases} x,\ x\ge0, \\ -x,\ x<0. \end{cases}$ 求$f'_+(0)$及$f'_-(0)$，并判断$f'(0)$的存在性。
解答：
右导数：
$$f'_+(0)=\lim_{h\to0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^+}\frac{h-0}{h}=1.$$左导数：
$$f'_-(0)=\lim_{h\to0^-}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0^-}\frac{-h-0}{h}=-1.$$因左右导数不相等，所以$f'(0)$不存在。
2 设物体绕固定轴旋转，在时间间隔$[0,t]$内转过$\alpha$角，则转角$\alpha$是时间$t$的函数：$\alpha=\alpha(t)$。如果转速是匀速的，那么称$\omega=\frac{\alpha}{t}$是该物体旋转的角速度；如果转速是非匀速的，那么如何确定该物体在时刻$t_0$的角速度？
解答：
非匀速旋转时瞬时角速度定义为：
$$\omega(t_0)=\lim_{t\to t_0}\frac{\alpha(t)-\alpha(t_0)}{t-t_0} =\alpha'(t_0).$$3 求下列曲线在指定点的切线方程和法线方程。
(1) $y=\cos x,\ \left(\frac{\pi}{3},\frac12\right)$
解答：
$$y'=-\sin x,\quad y'\left(\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}.$$切线：
$$y-\frac12=-\frac{\sqrt3}{2}\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$法线斜率为
$$\frac{2}{\sqrt3},$$法线方程：
$$y-\frac12=\frac{2}{\sqrt3}\left(x-\frac{\pi}{3}\right).$$(2) $y=e^x,\ (0,1)$ 解答：
$$y'=e^x,\quad y'(0)=1.$$切线：
$$y-1=1(x-0)\Rightarrow y=x+1.$$法线斜率为$-1$，法线方程：
$$y-1=-x.$$二、提高题
4 假定下列小题中$f'(x_0)$存在，按照导数定义求A的值。
(1) $\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=A.$
解答：
$$\frac{f(x_0-\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} =-\frac{f(x_0)-f(x_0-\Delta x)}{-\Delta x} \to -f'(x_0).$$故
$$A=-f'(x_0).$$(2) $\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=A,\ f'(0)=0.$
解答：
此极限即为$f'(0)=0$，故
$$A=0.$$(3) $\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=A.$
解答：
分解为：
$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}.$$两项极限分别趋于$f'(x_0)$和$f'(x_0)$，故
$$A=2f'(x_0).$$5 讨论下列函数在$x=0$处的连续性与可导性。
(1) $y=| \sin x |$ 解答： 连续性：$\sin x$连续，绝对值保持连续，故在$0$处连续。 可导性：
$$y'=\frac{\sin x}{|\sin x|}\cos x \quad(x\ne k\pi).$$在0附近：
$$y'_{-}(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{|\sin x|-0}{x}=-1,$$$$y'_{+}(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{|\sin x|-0}{x}=1.$$左右不等，不可导。 (2) $y=\begin{cases} x^2\cos\frac{1}{x},\ x\ne0, \\ 0,\ x=0. \end{cases}$ 连续性：
$$\lim_{x\to0}x^2\cos\frac{1}{x}=0,$$故连续。 可导性：
$$\frac{f(x)-f(0)}{x}=x\cos\frac{1}{x}\to0,$$故$f'(0)=0$。
6 设$f(x)$为偶函数，且$f'(0)$存在，证明：$f'(0)=0$。
解答： 偶函数有$f(x)=f(-x)$，对差商：
$$\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{f(-h)-f(0)}{-h}.$$左、右导数相反又相等，所以必为0。
7 证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数。
解答： 略去文字，只给核心： 偶函数$f(-x)=f(x)$：
$$f'(-x)=\lim_{h\to0}\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h} =-f'(x).$$故导函数奇。 奇函数$f(-x)=-f(x)$类似可证导函数偶。
8 设函数$f(x)$在$x=0$连续，且$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}$存在，证明：$f(x)$在$x=0$可导。
解答： 设极限为$L$，则
$$\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{f(x)}{x}-\frac{f(0)}{x}.$$因连续得$f(0)=0$。故
$$\frac{f(x)-0}{x}\to L.$$即$f'(0)=L$。
三、考研真题
9 下列函数在$x=0$处不可导的是（ ）。
A. $f(x)=x|\sin x|$
B. $f(x)=|x|\sin\sqrt{|x|}$
C. $f(x)=\cos|x|$
D. $f(x)=\cos\sqrt{|x|}$
解答：
A：$x|\sin x|\sim x^2$，可导。
B：$\frac{|x|\sin\sqrt{|x|}}{x}= \operatorname{sgn}(x)\sin\sqrt{|x|}\to0$，可导。
C：$\cos|x|$在0处左右导数相反，不可导。
D：$\cos\sqrt{|x|}$趋近1，差商趋0，可导。
故不可导的是：
$$\text{答案：C}.$$