第1节 ⼆重积分的概念与性质
一、 基础题
1. 利用二重积分的几何意义证明下列等式成立，其中区域 $D$ 为 $x^2 + y^2 \leqslant R^2$.
(1) $\iint_D \sqrt{R^2 - x^2 - y^2} \text{d}x\text{d}y = \frac{2}{3}\pi R^3$
被积函数 $z = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}$ 在几何上表示球心在原点、半径为 $R$ 的上半球面。
二重积分 $\iint_D \sqrt{R^2 - x^2 - y^2} \text{d}x\text{d}y$ 表示以区域 $D$（即 $xOy$ 面上以原点为圆心、半径为 $R$ 的圆盘）为底、以上述上 半球面为顶的曲顶柱体的体积。
该几何体恰好是一个半径为 $R$ 的半球体。由立体几何知识可知，半径为 $R$ 的球体体积为 $\frac{4}{3}\pi R^3$，因此半球体的体积为 $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3$。
所以该等式成立。
(2) $\iint_D y\sqrt{R^2 - x^2 - y^2} \text{d}x\text{d}y = 0$
积分区域 $D = \{(x,y) \mid x^2 + y^2 \leqslant R^2\}$ 关于 $x$ 轴是对称的。
被积函数 $f(x,y) = y\sqrt{R^2 - x^2 - y^2}$ 满足 $f(x,-y) = -y\sqrt{R^2 - x^2 - (-y)^2} = -f(x,y)$，即它是关于 $y$ 的奇函数。
根据二重积分的对称性质：若积分区域关于 $x$ 轴对称，且被积函数是关于 $y$ 的奇函数，则该二重积分的值为 $0$。
所以该等式成立。
2. 利用二重积分的性质比较下列二重积分的大小.
(1) $I_1 = \iint_D (x+y)^3 \text{d}x\text{d}y$ 与 $I_2 = \iint_D (x+y)^2 \text{d}x\text{d}y$，其中 $D$ 为由 $x$ 轴、$y$ 轴与直线 $x+y=1$ 所围成的闭区域.
积分区域 $D$ 位于第一象限，即在区域 $D$ 内，始终有 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$，且被直线 $x+y=1$ 限制，故对于 $D$ 内的所有点均满足 $0 \leqslant x+y \leqslant 1$。
对于介于 $0$ 和 $1$ 之间的数，其三次方小于或等于其平方，即 $(x+y)^3 \leqslant (x+y)^2$（在区域内部是严格小于）。
根据二重积分的比较性质，被积函数在积分区域上满足不等式，其积分值也满足相同方向的不等式。
因此，$I_1 < I_2$。
(2) $I_1 = \iint_D \ln(x+y) \text{d}x\text{d}y$ 与 $I_2 = \iint_D [\ln(x+y)]^2 \text{d}x\text{d}y$，其中 $D = \{(x,y) \mid 3\leqslant x \leqslant 5, 0 \leqslant y \leqslant 1\}$.
在积分区域 $D$ 内，$x$ 最小为 $3$，$y$ 最小为 $0$，因此恒有 $x+y \geqslant 3$。
由于自然常数 $\text{e} \approx 2.718$，有 $x+y \geqslant 3 > \text{e}$。
根据对数函数的单调性，这意味着在该区域内恒有 $\ln(x+y) > \ln \text{e} = 1$。
对于严格大于 $1$ 的数，它的平方大于它本身，即 $[\ln(x+y)]^2 > \ln(x+y)$。
根据二重积分的比较性质可知，$I_1 < I_2$。
(3) $I_1 = \iint_D (x+y)^3 \text{d}x\text{d}y$ 与 $I_2 = \iint_D (x+y)^2 \text{d}x\text{d}y$，其中 $D = \{(x,y) \mid (x-2)^2+ (y-1)^2 \leqslant 2\}$.
积分区域 $D$ 是以 $(2,1)$ 为圆心、$\sqrt{2}$ 为半径的圆盘。我们需要确定目标函数 $f(x,y) = x+y$ 在该区域内的取值范围。
考查圆盘内任意一点到直线 $x+y=c$ 的距离问题。圆心 $(2,1)$ 到该直线的距离不能超过半径，即：
$$d = \frac{|2+1-c|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|3-c|}{\sqrt{2}} \leqslant \sqrt{2}$$由此解得 $|3-c| \leqslant 2 \Rightarrow 1 \leqslant c \leqslant 5$。
所以，在区域 $D$ 内，所有的点都满足 $x+y \geqslant 1$。
对于大于等于 $1$ 的数，其三次方大于或等于其平方，即 $(x+y)^3 \geqslant (x+y)^2$（且在圆域内部为严格大于）。
因此，$I_1 > I_2$。
二、 提高题
3. 已知 $I = \iint_D (\cos y^2 + \sin x^2) \text{d}x\text{d}y$，积分区域 $D$ 为 $0 \leqslant x \leqslant 1, 0 \leqslant y \leqslant 1$，则 ________.
利用积分的线性性质，原积分可拆分为：
$$I = \iint_D \cos y^2 \text{d}x\text{d}y + \iint_D \sin x^2 \text{d}x\text{d}y$$由于积分区域是矩形 $[0,1] \times [0,1]$，上述积分可化为累次积分：
$$I = \int_0^1 \cos y^2 \text{d}y \int_0^1 \text{d}x + \int_0^1 \sin x^2 \text{d}x \int_0^1 \text{d}y = \int_0^1 \cos y^2\text{d}y + \int_0^1 \sin x^2 \text{d}x$$替换积分变量符号，可以将它们合并成一个定积分：
$$I = \int_0^1 (\cos x^2 + \sin x^2) \text{d}x$$利用三角辅助角公式，被积函数为 $\cos x^2 + \sin x^2 = \sqrt{2}\sin\left(x^2 + \frac{\pi}{4}\right)$。
当 $x \in [0, 1]$ 时，$x^2 \in [0, 1]$。由于 $1 < \frac{\pi}{2}$，此时角度 $x^2 + \frac{\pi}{4} \in \left[\frac{\pi}{4}, 1+\frac{\pi}{4}\right]$。
在该区间内，正弦函数的最小值在起始点取得：$\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$。
最大值在角度取 $\frac{\pi}{2}$ 处取得（因为 $\frac{\pi}{2}$ 落在该区间内），此时值为 $\sqrt{2} \times 1 = \sqrt{2}$。
所以对于所有的 $x \in [0,1]$，恒有 $1 \leqslant \cos x^2 + \sin x^2 \leqslant \sqrt{2}$。
对该不等式在区间 $[0,1]$ 上进行积分，得到：$1 \leqslant I \leqslant \sqrt{2}$。
正确选项是 B.
4. 设区域 $D$ 为圆 $x^2 + y^2 \leqslant r^2$，求极限 $\lim_{r \to 0} \frac{\iint_D \text{e}^{x^2-y^2}\cos(x+y) \text{d}x\text{d}y}{\pi r^2}$.
设被积函数为 $f(x,y) = \text{e}^{x^2-y^2}\cos(x+y)$，此函数在其定义域内处处连续，特别是在原点附近也是连续的。
对于圆域 $D$，根据二重积分的积分中值定理，在闭区域 $D$ 内至少存在一点 $(\xi, \eta)$，使得：
$$\iint_D f(x,y) \text{d}x\text{d}y = f(\xi, \eta) \cdot S_D$$其中 $S_D$ 是积分区域的面积，这里 $S_D = \pi r^2$。将其代入所求的极限式：
$$\lim_{r \to 0} \frac{f(\xi, \eta) \cdot \pi r^2}{\pi r^2} = \lim_{r \to 0} f(\xi, \eta)$$当半径 $r \to 0$ 时，整个圆域 $D$ 逐渐收缩并退化至原点 $(0,0)$。由于点 $(\xi, \eta)$ 始终被包围在区域 $D$ 内，因此必定有 $(\xi, \eta) \to (0,0)$。
因为函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处是连续的，所以极限值就等于函数在该点的函数值：
$$\lim_{(\xi, \eta) \to (0,0)} \text{e}^{\xi^2-\eta^2}\cos(\xi+\eta) = \text{e}^{0^2-0^2}\cos(0+0) = \text{e}^0 \cdot 1 = 1$$极限值为 $1$.
5. 设函数 $f(x,y)$、$g(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，且 $g(x,y) > 0$，证明在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi, \eta)$ 使得 $\iint_D f(x,y)g (x,y) \text{d}x\text{d}y = f(\xi, \eta) \iint_D g(x,y) \text{d}x\text{d}y$.
因为 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，根据连续函数的最值定理，它在 $D$ 上必定能取得最小值 $m$ 和最大值 $M$，即对所有 $(x,y) \in D$，有：
$$m \leqslant f(x,y) \leqslant M$$已知条件给定 $g(x,y) > 0$，用它同乘上述不等式各边，不等号方向不发生改变：
$$m \cdot g(x,y) \leqslant f(x,y)g(x,y) \leqslant M \cdot g(x,y)$$根据二重积分的保号性（比较性质），在区域 $D$ 上对上述不等式求二重积分得：
$$m \iint_D g(x,y) \text{d}x\text{d}y \leqslant \iint_D f(x,y)g(x,y) \text{d}x\text{d}y \leqslant M \iint_D g(x,y) \text{d} x\text{d}y$$由于 $g(x,y) > 0$ 且连续，其在区域 $D$ 上的积分 $\iint_D g(x,y) \text{d}x\text{d}y > 0$。可将不等式各边同时除以该积分：
$$m \leqslant \frac{\iint_D f(x,y)g(x,y) \text{d}x\text{d}y}{\iint_D g(x,y) \text{d}x\text{d}y} \leqslant M$$这说明上述比值是一个介于函数最小值 $m$ 和最大值 $M$ 之间的某个常数。
又因为 $f(x,y)$ 在有界闭连通区域 $D$ 上连续，根据介值定理，在 $D$ 内至少存在一点 $(\xi, \eta)$，使得该点的函数值正好等于这个中间常数：
$$f(\xi, \eta) = \frac{\iint_D f(x,y)g(x,y) \text{d}x\text{d}y}{\iint_D g(x,y) \text{d}x\text{d}y}$$移项即可得出待证结论：
$$\iint_D f(x,y)g(x,y) \text{d}x\text{d}y = f(\xi, \eta) \iint_D g(x,y) \text{d}x\text{d}y$$三、 考研真题
6. (1991109) 设 $D$ 是 $xOy$ 面上以 $(1,1)$、$(-1,1)$ 和 $(-1,-1)$ 为顶点的三角形区域，区域 $D_1$ 为区域 $D$ 在第一象限的部分，则 $\iint_D (xy + \cos x \sin y) \text{d}x\text{d}y$ 等于 ________.
根据给定的顶点，可以判断积分区域 $D$ 是一块位于直线 $y=1$（上边界）、$x=-1$（左边界）以及穿过 $(-1,-1)$ 和 $(1,1)$ 的直线 $y=x$（下斜边界）之 间的直角三角形区域。用不等式可表示为 $D = \{(x,y) \mid -1 \leqslant x \leqslant y \leqslant 1\}$。
利用积分的线性性质，把积分拆分为前后两部分：
$$I = \iint_D xy \text{d}x\text{d}y + \iint_D \cos x \sin y \text{d}x\text{d}y$$分别计算：
第一部分 $\iint_D xy \text{d}x\text{d}y = \int_{-1}^1 \text{d}y \int_{-1}^y xy \text{d}x = \int_{-1}^1 y \left[\frac{1}{2} x^2\right]_{-1}^y \text{d}y = \frac{1}{2}\int_{-1}^1 y(y^2-1) \text{d}y$。由于被积函数 $y(y^2-1)$ 是奇函数，其在对称区间 $[-1, 1]$ 上的积分为 $0$。
第二部分 $\iint_D \cos x \sin y \text{d}x\text{d}y = \int_{-1}^1 \text{d}y \int_{-1}^y \cos x \sin y \text{d}x = \int_{-1}^1 \sin y [\sin x]_{-1}^y \text{d}y$
$$= \int_{-1}^1 \sin y (\sin y - \sin(-1)) \text{d}y = \int_{-1}^1 (\sin^2 y + \sin 1 \cdot \sin y) \text{d}y$$拆分该一元积分，后项 $\sin 1 \cdot \sin y$ 为奇函数，积分为 $0$；前项 $\sin^2 y$ 为偶函数，所以积分等于 $2\int_0^1 \sin^2 y \text{d}y$。
再来考查第一象限区域 $D_1$，此时 $x$ 和 $y$ 均为非负数，$D_1 = \{(x,y) \mid 0 \leqslant x \leqslant y \leqslant 1\}$。
计算原积分后半项在 $D_1$ 上的二重积分：
$$\iint_{D_1} \cos x \sin y \text{d}x\text{d}y = \int_0^1 \text{d}y \int_0^y \cos x \sin y \text{d}x = \int_0^1 \sin y [\sin x]_0^y \text{d}y = \int_0^1 \sin^2 y \text{d}y$$对比可以看出，总积分 $\iint_D (xy + \cos x \sin y) \text{d}x\text{d}y$ 的结果恰好等于 $2 \iint_{D_1} \cos x \sin y \text{d}x\text {d}y$。
正确选项是 A.