第6节 方向导数与梯度
一、基础题
1. 求函数 $z = x^2 + 2y^2$ 在点 $(1, 1)$ 处沿着从点 $(1, 1)$ 到点 $(2, 3)$ 的方向的方向导数.
- 解答：
设点 $A(1,1)$, $B(2,3)$。方向向量 $\overrightarrow{AB} = (2-1, 3-1) = (1, 2)$。
该方向的单位向量为 $\vec{l} = \frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|} = \left( \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}} \right)$。
求偏导数：$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x$, $\frac{\partial z}{\partial y} = 4y$。
在点 $(1, 1)$ 处的偏导数值为：$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,1)} = 2$, $\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,1)} = 4$。
方向导数为：
$$\left.\frac{\partial z}{\partial l}\right|_{(1,1)} = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$$2. 求函数 $u = xyz$ 在点 $(1, 2, 3)$ 沿方向角为 $\alpha = \frac{\pi}{3}, \beta = \frac{\pi}{4}, \gamma = \frac{\pi}{3}$ 的方向的方向导数.
- 解答：
该方向的单位向量为 $\vec{l} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) = \left( \cos\frac{\pi}{3}, \cos\frac{\pi}{4}, \cos\frac{\pi}{3} \right) = \left( \frac{1}{2}, \frac {\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2} \right)$。
求偏导数：$\frac{\partial u}{\partial x} = yz$, $\frac{\partial u}{\partial y} = xz$, $\frac{\partial u}{\partial z} = xy$。
在点 $(1, 2, 3)$ 处的偏导数值为：$u_x = 2 \times 3 = 6$, $u_y = 1 \times 3 = 3$, $u_z = 1 \times 2 = 2$。
方向导数为：
$$\left.\frac{\partial u}{\partial l}\right|_{(1,2,3)} = 6 \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 3 + \frac{3\sqrt{2}}{2} + 1 = 4 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$$3. 求函数 $u = x^2 + xy - z^2$ 在点 $(1, 0, 1)$ 处沿着从点 $(1, 0, 1)$ 到点 $(3, -1, 3)$ 的方向的方向导数.
- 解答：
设点 $A(1,0,1)$, $B(3,-1,3)$。方向向量 $\overrightarrow{AB} = (2, -1, 2)$。
该方向的单位向量为 $\vec{l} = \frac{(2, -1, 2)}{\sqrt{2^2+(-1)^2+2^2}} = \left( \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right)$。
求偏导数：$u_x = 2x+y$, $u_y = x$, $u_z = -2z$。
在点 $(1, 0, 1)$ 处的偏导数值为：$u_x = 2$, $u_y = 1$, $u_z = -2$。
方向导数为：
$$\left.\frac{\partial u}{\partial l}\right|_{(1,0,1)} = 2 \cdot \frac{2}{3} + 1 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + (-2) \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} - \frac{1} {3} - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$$4. 求 $u = x^2 + 2y^2 + 3z^2 + xy - 4x + 2y - 4z$ 在点 $A(0, 0, 0)$ 及点 $B(2, -1, \frac{1}{3})$ 处的梯度以及它们的模.
- 解答：
求偏导数：
$u_x = 2x + y - 4$
$u_y = 4y + x + 2$
$u_z = 6z - 4$
在点 $A(0,0,0)$ 处：
梯度 $\textbf{grad } u|_A = (u_x(0,0,0), u_y(0,0,0), u_z(0,0,0)) = (-4, 2, -4)$。
模 $|\textbf{grad } u|_A| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16+4+16} = \sqrt{36} = 6$。
在点 $B(2,-1,\frac{1}{3})$ 处：
$u_x = 2(2) + (-1) - 4 = -1$
$u_y = 4(-1) + 2 + 2 = 0$
$u_z = 6(\frac{1}{3}) - 4 = -2$
梯度 $\textbf{grad } u|_B = (-1, 0, -2)$。
模 $|\textbf{grad } u|_B| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+0+4} = \sqrt{5}$。
5. 设 $u = x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$，求满足（1）$\textbf{grad } u$ 垂直于 $z$ 轴的点集；（2）$\textbf{grad } u$ 恒为零向量的点集.
- 解答：
先求梯度：$\textbf{grad } u = (3x^2 - 3yz, 3y^2 - 3xz, 3z^2 - 3xy)$。
(1) $\textbf{grad } u$ 垂直于 $z$ 轴，即 $\textbf{grad } u \cdot (0,0,1) = 0$。
这要求梯度的 $z$ 分量为 0，即 $3z^2 - 3xy = 0 \Rightarrow z^2 = xy$。
点集为：$\{(x, y, z) \mid z^2 = xy\}$。
(2) $\textbf{grad } u$ 恒为零向量，即各分量均为 0：
$\begin{cases} 3x^2 - 3yz = 0 \\ 3y^2 - 3xz = 0 \\ 3z^2 - 3xy = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x^2 = yz \\ y^2 = xz \\ z^2 = xy \end{cases}$
若 $x,y,z$ 中有一个为0，则其余均为0，点为 $(0,0,0)$。
若 $x,y,z$ 均不为0，将三式相乘得 $(xyz)^2 = (xyz)^2$，将第一式除以第二式得 $\frac{x^2}{y^2} = \frac{y}{x} \Rightarrow x^3 = y^3 \Rightarrow x=y$。同理可得 $y=z$。所以 $x=y=z$。
包含原点在内，点集为：$\{(x, y, z) \mid x = y = z\}$（即空间中的直线 $x=y=z$）。
6. 求函数 $u = x^2 + y^2 - z^2$ 在点 $A(1, 0, 0)$ 和点 $B(0, 1, 0)$ 处两个梯度的夹角.
- 解答：
梯度为 $\nabla u = (2x, 2y, -2z)$。
在点 $A(1,0,0)$ 处，$\nabla u|_A = (2, 0, 0)$。
在点 $B(0,1,0)$ 处，$\nabla u|_B = (0, 2, 0)$。
设夹角为 $\theta$，则：
$\cos\theta = \frac{\nabla u|_A \cdot \nabla u|_B}{|\nabla u|_A| |\nabla u|_B|} = \frac{2\cdot0 + 0\cdot2 + 0\cdot0}{2 \cdot 2} = 0$
因为 $\cos\theta = 0$，所以夹角 $\theta = \frac{\pi}{2}$。
7. 求函数 $z = y^{\ln x}$ 在点 $(1, 1)$ 处沿 $x$ 轴负向的方向导数.
- 解答：
$x$ 轴负向的单位向量为 $\vec{l} = (-1, 0)$。
将函数化为 $z = \text{e}^{\ln x \cdot \ln y}$。
偏导数：
$\frac{\partial z}{\partial x} = y^{\ln x} \cdot \frac{\ln y}{x}$，在 $(1,1)$ 处为 $1^0 \cdot \frac{0}{1} = 0$。
$\frac{\partial z}{\partial y} = \ln x \cdot y^{\ln x - 1}$，在 $(1,1)$ 处为 $0 \cdot 1^{-1} = 0$。
方向导数为：
$$\left.\frac{\partial z}{\partial l}\right|_{(1,1)} = 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 = 0$$二、提高题
8. 求函数 $z = \ln(x+y)$ 在抛物线 $y^2 = 4x$ 上点 $(1, 2)$ 处沿着这条抛物线在该点处偏向 $x$ 轴正向的切线方向的方向导数.
- 解答：
先求抛物线在点 $(1,2)$ 处的切向量。对 $y^2=4x$ 两边求导：$2yy' = 4 \Rightarrow y' = \frac{2}{y}$。
在 $y=2$ 处，$y' = 1$。切向量方向为 $(1, y') = (1, 1)$，此方向正是偏向 $x$ 轴正向（$x$ 分量为正）。
该方向的单位向量为 $\vec{l} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$。
求偏导数：$z_x = \frac{1}{x+y}$, $z_y = \frac{1}{x+y}$。
在点 $(1, 2)$ 处，$z_x = \frac{1}{3}$, $z_y = \frac{1}{3}$。
方向导数为：
$$\left.\frac{\partial z}{\partial l}\right|_{(1,2)} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$9. 求函数 $u = x^2 + y^2 + z^2$ 在曲线 $x=t, y=t^2, z=t^3$ 上点 $(1, 1, 1)$ 处沿曲线在该点的切线方向（对应于 $t$ 增大的方向）的方向导数.
- 解答：
点 $(1,1,1)$ 对应参数 $t=1$。
曲线的切向量为 $\vec{\tau} = (x'(t), y'(t), z'(t)) = (1, 2t, 3t^2)$。
在 $t=1$ 处，$\vec{\tau} = (1, 2, 3)$。这正是对应 $t$ 增大的切线方向。
单位切向量为 $\vec{l} = \frac{(1, 2, 3)}{\sqrt{1^2+2^2+3^2}} = \left(\frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{2}{\sqrt{14}}, \frac{3}{\sqrt{14}}\right)$。
求偏导数：$u_x = 2x, u_y = 2y, u_z = 2z$。
在点 $(1,1,1)$ 处，梯度为 $\nabla u = (2, 2, 2)$。
方向导数为：
$$\left.\frac{\partial u}{\partial l}\right|_{(1,1,1)} = \nabla u \cdot \vec{l} = 2\left(\frac{1}{\sqrt{14}}\right) + 2\left(\frac{2}{\sqrt{14}}\right) + 2\left (\frac{3}{\sqrt{14}}\right) = \frac{12}{\sqrt{14}} = \frac{6\sqrt{14}}{7}$$10. 求函数 $u = x^2 - xy + y^2$ 在点 $(1, 1)$ 处沿与 $x$ 轴正向组成的夹角为 $\alpha$ 的射线 $l$ 的方向导数，并求 $\alpha$ 取何值时，方向导数：（1）有最大值；（2）有最小值；（3）等 于 0.
- 解答：
射线 $l$ 的单位向量为 $\vec{l} = (\cos\alpha, \sin\alpha)$。
求偏导数：$u_x = 2x - y$, $u_y = -x + 2y$。
在点 $(1,1)$ 处，$u_x = 1$, $u_y = 1$。梯度为 $\nabla u = (1, 1)$。
方向导数为：
$$\left.\frac{\partial u}{\partial l}\right|_{(1,1)} = 1 \cdot \cos\alpha + 1 \cdot \sin\alpha = \cos\alpha + \sin\alpha = \sqrt{2}\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{4} \right)$$(1) 当方向导数取最大值时，即沿梯度方向，此时 $\alpha + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \Rightarrow$ $\alpha = \frac{\pi}{4}$。
(2) 当方向导数取最小值时，即沿梯度相反方向，此时 $\alpha + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \Rightarrow$ $\alpha = \frac{5\pi}{4}$。
(3) 当方向导数等于 0 时，即垂直于梯度方向，$\sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) = 0 \Rightarrow \alpha + \frac{\pi}{4} = \pi$ 或 $2\pi \Rightarrow$ $\alpha = \frac{3\pi}{4}$ 或 $\alpha = \frac{7\pi}{4}$。
11. 求函数 $u = xy^2z$ 在点 $(1, -1, 2)$ 处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数.
- 解答：
函数变化最快的方向即为该点处梯度的方向。
求偏导数：$u_x = y^2z$, $u_y = 2xyz$, $u_z = xy^2$。
在点 $(1, -1, 2)$ 处：
$u_x = (-1)^2 \cdot 2 = 2$
$u_y = 2(1)(-1)(2) = -4$
$u_z = (1)(-1)^2 = 1$
梯度 $\nabla u = (2, -4, 1)$。这就是变化最快的方向。
沿这个方向的方向导数即为梯度的模：
$$|\nabla u| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 16 + 1} = \sqrt{21}$$三、考研真题
12. (2005103) 设函数 $u = 1 + \frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{12} + \frac{z^2}{18}$，单位向量 $\mathbf{n} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$，则方向导数 $\left. \frac {\partial u}{\partial \mathbf{n}} \right|_{(1, 2, 3)} =$ ________.
- 解答：
求偏导数：$u_x = \frac{x}{3}$, $u_y = \frac{y}{6}$, $u_z = \frac{z}{9}$。
在点 $(1, 2, 3)$ 处的梯度为：
$\nabla u = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{6}, \frac{3}{9}\right) = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$。
方向导数为梯度与单位方向向量的点积：
$$\left. \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} \right|_{(1, 2, 3)} = \nabla u \cdot \mathbf{n} = \left(\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) \cdot \left (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{3\sqrt{3}} = \frac{3}{3\sqrt{3}} = \frac {1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$答案填写： $\frac{\sqrt{3}}{3}$
13. (2012111) 梯度 $\textbf{grad}\left(xy + \frac{z}{y}\right) \bigg|_{(2, 1, 1)} =$ ________.
- 解答：
设 $u = xy + \frac{z}{y}$。
求偏导数：
$u_x = y$
$u_y = x - \frac{z}{y^2}$
$u_z = \frac{1}{y}$
将点 $(2, 1, 1)$ 代入：
$u_x = 1$
$u_y = 2 - \frac{1}{1^2} = 1$
$u_z = \frac{1}{1} = 1$
梯度为 $(1, 1, 1)$。也可以写成向量形式 $\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}$。
答案填写： $(1, 1, 1)$ 或 $\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}$