第7节 多元函数的极值

5 待校验

一、基础题

1. 求函数 $f(x,y) = x^2 + y^2 - 4x + 4y + 1$ 的极值.

• 解答：

求解一阶偏导数并令其为 0 以寻找驻点：

$f_x = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$

$f_y = 2y + 4 = 0 \Rightarrow y = -2$

得到唯一驻点 $P(2, -2)$。

求解二阶偏导数：$A = f_{xx} = 2$，$B = f_{xy} = 0$，$C = f_{yy} = 2$。

在点 $P(2, -2)$ 处，$AC - B^2 = 2 \times 2 - 0 = 4 > 0$，且 $A = 2 > 0$。

因此，函数在点 $(2, -2)$ 处取得极小值。

极小值为：$f(2, -2) = 2^2 + (-2)^2 - 4(2) + 4(-2) + 1 = 4 + 4 - 8 - 8 + 1 =$ $-7$。

(注：也可通过配方化简 $f(x,y) = (x-2)^2 + (y+2)^2 - 7 \ge -7$，显见极小值为 $-7$)

2. 求函数 $f(x,y) = (2ax - x^2)(2by - y^2)$ 的极值，其中 $a, b \neq 0$.

• 解答：

求一阶偏导数并找驻点：

$f_x = (2a - 2x)(2by - y^2) = 2(a - x)y(2b - y) = 0$

$f_y = (2ax - x^2)(2b - 2y) = 2x(2a - x)(b - y) = 0$

解此方程组。由于要求极值，若 $y=0, y=2b, x=0, x=2a$，函数值均为0，考察其余情况：

当 $x = a$ 且 $y = b$ 时方程组成立，得到一个内部驻点 $P(a, b)$。

求二阶偏导数：

$f_{xx} = -2(2by - y^2)$

$f_{xy} = 4(a - x)(b - y)$

$f_{yy} = -2(2ax - x^2)$

在驻点 $P(a, b)$ 处：

$A = f_{xx}(a,b) = -2(2b^2 - b^2) = -2b^2$

$B = f_{xy}(a,b) = 0$

$C = f_{yy}(a,b) = -2(2a^2 - a^2) = -2a^2$

判定判别式：$AC - B^2 = (-2b^2)(-2a^2) - 0 = 4a^2b^2 > 0$（因 $a, b \neq 0$）。

又因为 $A = -2b^2 < 0$，所以函数在点 $(a, b)$ 处取得极大值。

极大值为：$f(a, b) = (2a^2 - a^2)(2b^2 - b^2) =$ $a^2b^2$。

3. 求函数 $f(x,y) = \text{e}^{2y}(x^2 + 2x + y)$ 的极值.

• 解答：

求一阶偏导数：

$f_x = \text{e}^{2y}(2x + 2) = 0 \Rightarrow x = -1$

$f_y = 2\text{e}^{2y}(x^2 + 2x + y) + \text{e}^{2y}(1) = \text{e}^{2y}(2x^2 + 4x + 2y + 1) = 0$

将 $x = -1$ 代入 $f_y = 0$ 中，得 $\text{e}^{2y}(2(-1)^2 + 4(-1) + 2y + 1) = 0 \Rightarrow 2 - 4 + 2y + 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$。

得到唯一驻点 $P\left(-1, \frac{1}{2}\right)$。

求二阶偏导数：

$f_{xx} = 2\text{e}^{2y}$

$f_{xy} = 2\text{e}^{2y}(2x + 2)$

$f_{yy} = 2\text{e}^{2y}(2x^2 + 4x + 2y + 1) + 2\text{e}^{2y} = 2\text{e}^{2y}(2x^2 + 4x + 2y + 2)$

在驻点 $P\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ 处：

$A = 2\text{e}^1 = 2\text{e}$

$B = 2\text{e}^1(0) = 0$

$C = 2\text{e}^1(2 - 4 + 1 + 2) = 2\text{e}(1) = 2\text{e}$

$AC - B^2 = 4\text{e}^2 > 0$，且 $A > 0$，因此在 $\left(-1, \frac{1}{2}\right)$ 处取得极小值。

极小值为：$f\left(-1, \frac{1}{2}\right) = \text{e}^1 (1 - 2 + 0.5) =$ $-\frac{\text{e}}{2}$。

4. 求函数 $z = x^2 + y^2 + 1$ 在条件 $x+y-3=0$ 下的极小值.

• 解答：

利用拉格朗日乘数法，构造辅助函数 $L(x,y,\lambda) = x^2 + y^2 + 1 + \lambda(x + y - 3)$。

令偏导数为 0：

$L_x = 2x + \lambda = 0 \Rightarrow x = -\frac{\lambda}{2}$

$L_y = 2y + \lambda = 0 \Rightarrow y = -\frac{\lambda}{2}$

代入约束条件：$-\frac{\lambda}{2} - \frac{\lambda}{2} - 3 = 0 \Rightarrow -\lambda = 3 \Rightarrow \lambda = -3$。

解得驻点 $x = \frac{3}{2}, y = \frac{3}{2}$。

代入原函数求得极小值：$z_{min} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 1 = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} + 1 =$ $\frac{11}{2}$。

5. 在 $xOy$ 面上求一点，它到直线 $x=2$、$y=1$ 及 $x+2y-5=0$ 的距离平方和最小.

• 解答：

设所求点为 $(x,y)$，则它到三条直线的距离平方和函数为：

$f(x,y) = (x-2)^2 + (y-1)^2 + \frac{(x+2y-5)^2}{1^2+2^2} = (x-2)^2 + (y-1)^2 + \frac{1}{5}(x+2y-5)^2$

求偏导并令为 0 找驻点：

$f_x = 2(x-2) + \frac{2}{5}(x+2y-5) = 0 \Rightarrow 5(x-2) + x+2y-5 = 0 \Rightarrow 6x + 2y = 15$

$f_y = 2(y-1) + \frac{4}{5}(x+2y-5) = 0 \Rightarrow 5(y-1) + 2x+4y-10 = 0 \Rightarrow 2x + 9y = 15$

联立方程组：$\begin{cases} 6x + 2y = 15 \\ 2x + 9y = 15 \end{cases}$

将下式乘3减去上式：$(6x + 27y) - (6x + 2y) = 45 - 15 \Rightarrow 25y = 30 \Rightarrow y = \frac{6}{5} = 1.2$。

代回求 $x$：$2x + 9(1.2) = 15 \Rightarrow 2x = 4.2 \Rightarrow x = 2.1$。

由于该问题具有明显的物理/几何下界，唯一驻点即为最小值点。

所求点坐标为：$(2.1, 1.2)$（或写为 $(\frac{21}{10}, \frac{6}{5})$）。

6. 求函数 $z = x^2 + 12xy + 2y^2$ 在区域 $4x^2 + y^2 \le 25$ 上的最值.

• 解答：

步骤1：求内部极值点。

$z_x = 2x + 12y = 0$；$z_y = 12x + 4y = 0$。解得内部唯一驻点为 $(0,0)$，此时 $z = 0$。

步骤2：求边界 $4x^2 + y^2 = 25$ 上的条件极值。

利用拉格朗日乘数法，设 $L = x^2 + 12xy + 2y^2 + \lambda(4x^2 + y^2 - 25)$。

$\begin{cases} L_x = 2x + 12y + 8\lambda x = 0 \Rightarrow (1+4\lambda)x + 6y = 0 \\ L_y = 12x + 4y + 2\lambda y = 0 \Rightarrow 6x + (2+\lambda)y = 0 \end{cases}$

要使 $x,y$ 有非零解，系数行列式必须为 0：

$(1+4\lambda)(2+\lambda) - 36 = 0 \Rightarrow 4\lambda^2 + 9\lambda - 34 = 0 \Rightarrow (4\lambda + 17)(\lambda - 2) = 0$。

情形①：$\lambda = 2$。代入得 $9x + 6y = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}x$。

代入边界条件：$4x^2 + (-\frac{3}{2}x)^2 = 25 \Rightarrow \frac{25}{4}x^2 = 25 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$。

得到点 $(2, -3)$ 和 $(-2, 3)$。此时函数值 $z = 4 + 12(-6) + 2(9) = -50$。

情形②：$\lambda = -\frac{17}{4}$。代入得 $-16x + 6y = 0 \Rightarrow y = \frac{8}{3}x$。

代入边界条件：$4x^2 + (\frac{8}{3}x)^2 = 25 \Rightarrow \frac{100}{9}x^2 = 25 \Rightarrow x^2 = \frac{9}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{3}{2}$。

得到点 $(\frac{3}{2}, 4)$ 和 $(-\frac{3}{2}, -4)$。此时函数值 $z = \frac{9}{4} + 12(\frac{3}{2})(4) + 2(16) = 2.25 + 72 + 32 = 106.25$ （即 $\frac{425}{4}$）。

**结论：**比较内部点与边界点的值，最大值为 $\frac{425}{4}$（或 $106.25$），最小值为 $-50$。

7. 求函数 $f(x,y,z) = z-2$ 在条件 $4x^2 + 2y^2 + z^2 = 1$ 下的极大值.

• 解答：

设 $L(x,y,z,\lambda) = z - 2 + \lambda(4x^2 + 2y^2 + z^2 - 1)$。

求偏导并令为 0：

$L_x = 8\lambda x = 0$

$L_y = 4\lambda y = 0$

$L_z = 1 + 2\lambda z = 0$

由 $L_z = 0$ 知 $\lambda \neq 0$，进而由前两式推得 $x = 0, y = 0$。

将 $x=0, y=0$ 代入约束条件：$0 + 0 + z^2 = 1 \Rightarrow z = \pm 1$。

分别计算两点的函数值：

当 $z = 1$ 时，$f(0,0,1) = 1 - 2 = -1$。

当 $z = -1$ 时，$f(0,0,-1) = -1 - 2 = -3$。

因此，在给定条件下，极大值为 $-1$。

8. 求由方程 $x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2y - 4z - 10 = 0$ 确定的隐函数 $z=z(x,y)$ 的驻点.

• 解答：

设 $F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2y - 4z - 10 = 0$。

隐函数的驻点满足 $\frac{\partial z}{\partial x} = 0$ 且 $\frac{\partial z}{\partial y} = 0$。

根据隐函数求导公式 $\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z}, \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$，需满足 $F_x = 0$ 且 $F_y = 0$ 且 $F_z \neq 0$。

$F_x = 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1$

$F_y = 2y + 2 = 0 \Rightarrow y = -1$

所以该隐函数的驻点坐标为 $(1, -1)$。

（注：将 $(1,-1)$ 代回原方程可得对应的 $z$ 值为 6 或 -2，这两处均满足 $F_z = 2z - 4 \neq 0$）

9. 已知函数 $z=f(x,y)$ 的全微分为 $dz = x dx + y dy$，则下列说法中正确的是____.

• 解答：

由全微分形式可知 $f_x = x, f_y = y$。

在点 $(0,0)$ 处，有 $f_x = 0, f_y = 0$，故 $(0,0)$ 是驻点。

求二阶偏导数：$f_{xx} = 1, f_{xy} = 0, f_{yy} = 1$。

在 $(0,0)$ 处，$A=1, B=0, C=1 \Rightarrow AC - B^2 = 1 > 0$，且 $A = 1 > 0$。

所以点 $(0,0)$ 是极小值点。

答案选 D. 点(0,0)是极小值点

二、提高题

10. 要造一个容积为 $16m^3$ 的长方体无盖水箱，水箱侧面的造价为每平方米 20 元，箱底的造价为每平方米 80 元，试求造价最低的水箱的尺寸.

• 解答：

设水箱的长、宽、高分别为 $x, y, z$ (单位：m)。

容积 $V = xyz = 16 \Rightarrow z = \frac{16}{xy}$。

总造价函数 $C(x,y) = 80xy + 20(2xz + 2yz) = 80xy + 40z(x+y)$。

代入 $z$ 得：$C(x,y) = 80xy + 40\left(\frac{16}{xy}\right)(x+y) = 80xy + \frac{640}{y} + \frac{640}{x}$。

求偏导数令其为 0：

$C_x = 80y - \frac{640}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 y = 8$

$C_y = 80x - \frac{640}{y^2} = 0 \Rightarrow xy^2 = 8$

两式相除得 $\frac{x}{y} = 1 \Rightarrow x = y$。

代入 $x^3 = 8 \Rightarrow x = 2$。则 $y = 2$。

高度 $z = \frac{16}{2 \times 2} = 4$。

根据实际意义，此唯一驻点即为造价最低的点。

水箱的尺寸为：长 $2\text{m}$，宽 $2\text{m}$，高 $4\text{m}$。

11. 求直线 $4x+3y=16$ 与椭圆 $18x^2+5y^2=45$ 之间的最短距离.

• 解答：

将问题转化为求椭圆 $18x^2+5y^2=45$ 上的点 $(x,y)$ 到直线 $4x+3y-16=0$ 的距离 $d = \frac{|4x+3y-16|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{|4x+3y-16|}{5}$ 的最小值。

利用拉格朗日乘数法找 $f(x,y) = 4x+3y$ 在约束 $g(x,y) = 18x^2+5y^2-45=0$ 下的极值。

设 $L = 4x + 3y + \lambda(18x^2 + 5y^2 - 45)$。

$L_x = 4 + 36\lambda x = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{9\lambda}$

$L_y = 3 + 10\lambda y = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{10\lambda}$

代入约束条件：$18\left(-\frac{1}{9\lambda}\right)^2 + 5\left(-\frac{3}{10\lambda}\right)^2 = 45 \Rightarrow \frac{18}{81\lambda^2} + \frac{45}{100\lambda^2} = 45 \Rightarrow \frac{2}{9\lambda^2} + \frac{9}{20\lambda^2} = 45$。

通分得 $\frac{40 + 81}{180\lambda^2} = 45 \Rightarrow \lambda^2 = \frac{121}{8100} \Rightarrow \lambda = \pm \frac{11}{90}$。

当 $\lambda = -\frac{11}{90}$ 时，求得极值点 $x = \frac{10}{11}, y = \frac{27}{11}$。此时 $4x+3y = \frac{40}{11} + \frac{81}{11} = 11$。

当 $\lambda = \frac{11}{90}$ 时，求得极值点 $x = -\frac{10}{11}, y = -\frac{27}{11}$。此时 $4x+3y = -11$。

距离分别为 $d_1 = \frac{|11 - 16|}{5} = 1$，$d_2 = \frac{|-11 - 16|}{5} = \frac{27}{5}$。

故最短距离为 $1$。

12. 将斜边长为 $l$ 的直角三角形绕它的一条直角边旋转而构成一个圆锥体，问两条直角边各为多少时，圆锥体的体积最大？

• 解答：

设圆锥的底面半径为 $r$，高为 $h$，则它们也是直角三角形的两条直角边，满足约束 $r^2 + h^2 = l^2$。

圆锥体积 $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$。

将 $r^2 = l^2 - h^2$ 代入体积公式：$V(h) = \frac{\pi}{3}(l^2 - h^2)h = \frac{\pi}{3}(l^2 h - h^3) \quad (0 < h < l)$。

求导：$V'(h) = \frac{\pi}{3}(l^2 - 3h^2) = 0 \Rightarrow h = \frac{\sqrt{3}}{3}l$。

此时 $r = \sqrt{l^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}l\right)^2} = \sqrt{\frac{2}{3}l^2} = \frac{\sqrt{6}}{3}l$。

当作为底面半径的直角边为 $\frac{\sqrt{6}}{3}l$，作为高的直角边为 $\frac{\sqrt{3}}{3}l$ 时，圆锥体体积最大。

13. 抛物面 $z = x^2 + y^2$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆，求这个椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值.

• 解答：

目标函数为距离的平方 $d^2 = x^2 + y^2 + z^2$。由于点在抛物面上 $z = x^2+y^2$，故 $d^2 = z + z^2$。

因为 $z \ge 0$，函数 $f(z) = z^2+z$ 是单调递增的。求距离的最值即求该曲线上 $z$ 坐标的最值。

联立方程：$z = x^2 + y^2$ 和 $z = 1 - (x + y)$。

得 $x^2 + y^2 = 1 - x - y \Rightarrow \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{3}{2}$。

采用极坐标参数化该投影圆：$x = -\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{3}{2}}\cos\theta$，$y = -\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{3}{2}}\sin\theta$。

代回求 $z$：

$z = 1 - (x+y) = 1 - \left(-1 + \sqrt{\frac{3}{2}}(\cos\theta + \sin\theta)\right) = 2 - \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = 2 - \sqrt{3}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$。

因此，$z$ 的最大值为 $z_{max} = 2 + \sqrt{3}$，最小值为 $z_{min} = 2 - \sqrt{3}$。

对应的距离平方极值为：

$d_{max}^2 = z_{max}^2 + z_{max} = (2+\sqrt{3})^2 + (2+\sqrt{3}) = 7+4\sqrt{3} + 2+\sqrt{3} = 9+5\sqrt{3}$

$d_{min}^2 = z_{min}^2 + z_{min} = (2-\sqrt{3})^2 + (2-\sqrt{3}) = 7-4\sqrt{3} + 2-\sqrt{3} = 9-5\sqrt{3}$

最大距离为 $\sqrt{9+5\sqrt{3}}$，最小距离为 $\sqrt{9-5\sqrt{3}}$。

14. 在半径为 $a$ 的半球内，求体积最大的内接长方体的边长.

• 解答：

设半球方程为 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \ (z \ge 0)$。

设内接长方体在第一卦限的顶点为 $(x, y, z)$，则其三条边长分别为 $2x, 2y, z$。

目标函数为体积 $V = 4xyz$，约束条件为 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$。

我们求 $V^2 = 16x^2y^2z^2$ 的最大值。利用基本不等式（均值不等式）：

$x^2 \cdot y^2 \cdot z^2 \le \left(\frac{x^2 + y^2 + z^2}{3}\right)^3 = \left(\frac{a^2}{3}\right)^3 = \frac{a^6}{27}$。

当且仅当 $x^2 = y^2 = z^2 = \frac{a^2}{3}$ 时等号成立。

解得 $x = \frac{\sqrt{3}}{3}a, y = \frac{\sqrt{3}}{3}a, z = \frac{\sqrt{3}}{3}a$。

所以内接长方体的边长分别为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}a$, $\frac{2\sqrt{3}}{3}a$, $\frac{\sqrt{3}}{3}a$。

15. 在第一卦限内作椭球面 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ 的切平面，使切平面与3个坐标轴所围成的四面体体积最小，求切点的坐标.

• 解答：

设切点为 $P(x_0, y_0, z_0)$ 且 $x_0, y_0, z_0 > 0$。

椭球面在点 $P$ 的切平面方程为：$\frac{x_0 x}{a^2} + \frac{y_0 y}{b^2} + \frac{z_0 z}{c^2} = 1$。

切平面在三坐标轴上的截距分别为：$X = \frac{a^2}{x_0}, Y = \frac{b^2}{y_0}, Z = \frac{c^2}{z_0}$。

四面体的体积 $V = \frac{1}{6}XYZ = \frac{a^2 b^2 c^2}{6 x_0 y_0 z_0}$。

要求 $V$ 最小，即求 $x_0 y_0 z_0$ 最大，且受约束 $\frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} + \frac{z_0^2}{c^2} = 1$。

应用均值不等式：

$1 = \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} + \frac{z_0^2}{c^2} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{x_0^2 y_0^2 z_0^2}{a^2 b^2 c^2}}$

当且仅当 $\frac{x_0^2}{a^2} = \frac{y_0^2}{b^2} = \frac{z_0^2}{c^2} = \frac{1}{3}$ 时取等号。

解得切点坐标为：$(\frac{a}{\sqrt{3}}, \frac{b}{\sqrt{3}}, \frac{c}{\sqrt{3}})$。

16. 形状为椭球 $4x^2 + y^2 + 4z^2 \le 16$ 的空间探测器进入地球大气层，其表面开始受热。1h 后在空间探测器表面的点 $(x,y,z)$ 处的温度 $T = 8x^2 + 4yz - 16z + 600$，求空间探测器表面 最热的点.

• 解答：

目标为求 $T(x,y,z)$ 在约束 $4x^2 + y^2 + 4z^2 = 16$ 下的最大值。

设拉格朗日函数 $L = 8x^2 + 4yz - 16z + 600 + \lambda(4x^2 + y^2 + 4z^2 - 16)$。

$L_x = 16x + 8\lambda x = 8x(2+\lambda) = 0 \Rightarrow x = 0$ 或 $\lambda = -2$。

情形1：$\lambda = -2$

$L_y = 4z + 2\lambda y = 0 \Rightarrow 4z - 4y = 0 \Rightarrow y = z$。

$L_z = 4y - 16 + 8\lambda z = 0 \Rightarrow 4y - 16 - 16y = 0 \Rightarrow -12y = 16 \Rightarrow y = -\frac{4}{3}$。

则 $z = -\frac{4}{3}$。

代入表面方程求 $x$：$4x^2 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 + 4\left(-\frac{4}{3}\right)^2 = 16 \Rightarrow 4x^2 + \frac{80}{9} = \frac{144}{9} \Rightarrow 4x^2 = \frac {64}{9} \Rightarrow x = \pm\frac{4}{3}$。

求得极值点 $P_1\left(\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}\right)$ 和 $P_2\left(-\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}\right)$。

此时温度 $T = 8\left(\frac{16}{9}\right) + 4\left(\frac{16}{9}\right) - 16\left(-\frac{4}{3}\right) + 600 = \frac{128+64+192}{9} + 600 = \frac{128}{3} + 600 \approx 642.67$。

情形2：$x = 0$

约束条件变为 $y^2 + 4z^2 = 16$。求 $T = 4yz - 16z + 600$ 的最值。

令 $y = 4\cos\theta, z = 2\sin\theta$。

$T = 4(4\cos\theta)(2\sin\theta) - 16(2\sin\theta) + 600 = 16\sin 2\theta - 32\sin\theta + 600$。

$T'(\theta) = 32\cos 2\theta - 32\cos\theta = 32(2\cos^2\theta - \cos\theta - 1) = 32(2\cos\theta+1)(\cos\theta-1) = 0$。

得 $\cos\theta = 1$ (对应 $y=4, z=0$, $T=600$) 或 $\cos\theta = -\frac{1}{2}$ (对应 $y=-2, z=\pm\sqrt{3}$)。

代入 $\cos\theta=-\frac{1}{2}, \sin\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ($y=-2, z=-\sqrt{3}$)，得局部极大温度 $T = 600 + 24\sqrt{3} \approx 641.57$。

比较得出，最大温度出现在情形1的点上。

表面最热的点为：$(\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{4}{3})$ 和 $(-\frac{4}{3}, -\frac{4}{3}, -\frac{4}{3})$。

三、考研真题

17. (2020115) 求函数 $f(x,y) = x^3 + 8y^3 - xy$ 的极值.

• 解答：

求偏导数找驻点：

$f_x = 3x^2 - y = 0 \Rightarrow y = 3x^2$

$f_y = 24y^2 - x = 0 \Rightarrow x = 24y^2$

联立解得 $x = 24(3x^2)^2 = 216x^4 \Rightarrow x(216x^3 - 1) = 0$。

得到驻点 $P_1(0,0)$ 和 $P_2\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{12}\right)$。

二阶偏导数：$f_{xx} = 6x, f_{xy} = -1, f_{yy} = 48y$。

对 $P_1(0,0)$：$A=0, B=-1, C=0, AC-B^2 = -1 < 0$，不是极值点。

对 $P_2\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{12}\right)$：$A = 1, B = -1, C = 4, AC-B^2 = 4-1 = 3 > 0, A>0$。

因此在 $\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{12}\right)$ 取得极小值。

极小值为 $f\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{12}\right) = \left(\frac{1}{6}\right)^3 + 8\left(\frac{1}{12}\right)^3 - \left(\frac{1}{6}\right)\left(\frac{1}{12}\right) = \frac{1}{216} + \frac{1}{216} - \frac{3}{216} =$ $-\frac{1}{216}$。

18. (2021119) 求曲线 $\begin{cases} x^2 + 2y^2 - z = 6 \\ 4x + 2y + z = 30 \end{cases}$ 上的点到 $xOy$ 面距离的最大值.

• 解答：

点到 $xOy$ 面的距离为 $|z|$。

由第二式得 $z = 30 - 4x - 2y$。代入第一式找定义域约束：

$x^2 + 2y^2 - (30 - 4x - 2y) = 6 \Rightarrow x^2 + 4x + 2y^2 + 2y = 36$。

配方得投影椭圆方程：$(x+2)^2 + 2\left(y+\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{81}{2}$。

现求 $z(x,y) = 30 - 4x - 2y$ 在该椭圆上的最大值。

采用参数化：$x = -2 + \frac{9\sqrt{2}}{2}\cos t, \quad y = -\frac{1}{2} + \frac{9}{2}\sin t$。

代入 $z$ 的表达式：

$z = 30 - 4\left(-2 + \frac{9\sqrt{2}}{2}\cos t\right) - 2\left(-\frac{1}{2} + \frac{9}{2}\sin t\right)$

$z = 30 + 8 - 18\sqrt{2}\cos t + 1 - 9\sin t = 39 - 18\sqrt{2}\cos t - 9\sin t$。

辅助角公式求最值，振幅 $R = \sqrt{(-18\sqrt{2})^2 + (-9)^2} = \sqrt{648 + 81} = \sqrt{729} = 27$。

因此 $z$ 的最大值为 $39 + 27 = 66$。（此时 $z$ 恒正，所以 $|z|$ 的最大值即 $z$ 的最大值）

最大距离为 66。