第2节 空间平面与直线
11 待校验
- 求下列夹角.
(1) 求平面 $x-y+2z-6=0$ 和平面 $2x+y+z-5=0$ 的夹角.
两平面的法向量分别为 $\mathbf{n}_1 = (1, -1, 2)$ 和 $\mathbf{n}_2 = (2, 1, 1)$.
设两平面夹角为 $\theta$，则其余弦值为：
$$\cos\theta = \frac{|\mathbf{n}_1 \cdot \mathbf{n}_2|}{|\mathbf{n}_1||\mathbf{n}_2|} = \frac{|1\times2 + (-1)\times1 + 2\times1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}\sqrt{2^2 +1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{1}{2}$$由于 $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$，所以夹角 $\theta = \frac{\pi}{3}$.
(2) 求直线 $\begin{cases} 5x-3y+3z-9=0 \\ 3x-2y+z-1=0 \end{cases}$ 与直线 $\begin{cases} 2x+2y-z+23=0 \\ 3x+8y+z-18=0 \end{cases}$ 的夹角.
第一条直线的方向向量为：
$$\mathbf{s}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 5 & -3 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (3, 4, -1)$$第二条直线的方向向量为：
$$\mathbf{s}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & -1 \\ 3 & 8 & 1 \end{vmatrix} = (10, -5, 10) = 5(2, -1, 2)$$取 $\mathbf{s}_2 = (2, -1, 2)$，设两直线夹角为 $\theta$，则：
$$\cos\theta = \frac{|\mathbf{s}_1 \cdot \mathbf{s}_2|}{|\mathbf{s}_1||\mathbf{s}_2|} = \frac{|3\times2 + 4\times(-1) + (-1)\times2|}{\sqrt{9+16+1}\sqrt{4+1+4}} = \frac{|6 - 4 - 2|}{\sqrt{26}\sqrt{9}} = 0$$所以两直线相互垂直，夹角 $\theta = \frac{\pi}{2}$.
(3) 求直线 $\begin{cases} x+y+3z=0 \\ x-y-z=0 \end{cases}$ 与平面 $x-y+z+1=0$ 的夹角.
直线的方向向量为：
$$\mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = (2, 4, -2)$$取 $\mathbf{s} = (1, 2, -1)$，平面的法向量为 $\mathbf{n} = (1, -1, 1)$.
设直线与平面夹角为 $\varphi$，则：
$$\sin\varphi = \frac{|\mathbf{s} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{s}||\mathbf{n}|} = \frac{|1\times1 + 2\times(-1) + (-1)\times1|}{\sqrt{1+4+1}\sqrt{1+1+1}} = \frac{2} {\sqrt{6}\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$$所以直线与平面的夹角为 $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{3}$.
- 判定下列各组中直线与平面的位置关系.
(1) $\frac{x+3}{-2} = \frac{y+7}{-7} = \frac{z}{3}$ 和 $4x-2y-2z=3$.
直线的方向向量 $\mathbf{s} = (-2, -7, 3)$，平面的法向量 $\mathbf{n} = (4, -2, -2)$.
计算数量积：$\mathbf{s} \cdot \mathbf{n} = -8 + 14 - 6 = 0$，说明直线平行于平面或在平面内。
取直线上一点 $(-3, -7, 0)$，代入平面方程左边：$4(-3) - 2(-7) - 2(0) = -12 + 14 = 2 \neq 3$.
点不在平面内，所以直线与平面平行.
(2) $\frac{x}{3} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{7}$ 和 $3x-2y+7z=8$.
直线的方向向量 $\mathbf{s} = (3, -2, 7)$，平面的法向量 $\mathbf{n} = (3, -2, 7)$.
由于 $\mathbf{s}$ 与 $\mathbf{n}$ 对应分量成比例（完全相同），两向量平行，故直线与平面垂直.
- 设有两点 $A(1,2,3)$ 和 $B(2,-1,4)$，求线段 $AB$ 的垂直平分面的方程.
线段 $AB$ 的中点坐标为 $M\left(\frac{1+2}{2}, \frac{2-1}{2}, \frac{3+4}{2}\right)$，即 $M\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)$.
平面的法向量即为向量 $\overrightarrow{AB} = (1, -3, 1)$.
由点法式方程得平面方程：
$1\left(x - \frac{3}{2}\right) - 3\left(y - \frac{1}{2}\right) + 1\left(z - \frac{7}{2}\right) = 0$
化简得：$x - 3y + z - \frac{7}{2} = 0$，即 $2x - 6y + 2z - 7 = 0$.
- 求过点 $(1,1,1)$ 且垂直于平面 $x-y+z-7=0$ 和 $3x+2y-12z+5=0$ 的平面的方程.
设所求平面的法向量为 $\mathbf{n}$，已知两平面的法向量分别为 $\mathbf{n}_1 = (1, -1, 1)$，$\mathbf{n}_2 = (3, 2, -12)$.
因为所求平面垂直于这两平面，故其法向量同时垂直于 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$：
$$\mathbf{n} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -12 \end{vmatrix} = (10, 15, 5)$$取 $\mathbf{n} = (2, 3, 1)$。由点法式方程，平面方程为：
$2(x-1) + 3(y-1) + 1(z-1) = 0$
化简得：$2x + 3y + z - 6 = 0$.
- 一平面通过两点 $M_1(1,1,1)$ 和 $M_2(0,1,-1)$ 且垂直于平面 $x+y+z=0$，求该平面的方程.
该平面包含向量 $\overrightarrow{M_1 M_2} = (-1, 0, -2)$，且垂直于平面 $x+y+z=0$ (法向量 $\mathbf{n}_0 = (1, 1, 1)$)。
故所求平面的法向量 $\mathbf{n}$ 垂直于 $\overrightarrow{M_1 M_2}$ 和 $\mathbf{n}_0$：
$$\mathbf{n} = \overrightarrow{M_1 M_2} \times \mathbf{n}_0 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2, -1, -1)$$平面过点 $M_2(0,1,-1)$，点法式方程为：
$2(x-0) - 1(y-1) - 1(z+1) = 0$
化简得：$2x - y - z = 0$.
- 求过点 $(1,-2,4)$ 且与平面 $2x-3y+z-4=0$ 垂直的直线的方程.
所求直线与平面垂直，故直线的方向向量 $\mathbf{s}$ 即为平面的法向量 $\mathbf{n} = (2, -3, 1)$.
由点向式可得直线方程：
$$\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{-3} = \frac{z-4}{1}$$- 求与两平面 $x-4z=3$ 和 $2x-y-5z=1$ 的交线平行且过点 $(-3,2,5)$ 的直线的方程.
交线的方向向量垂直于两平面的法向量 $\mathbf{n}_1 = (1, 0, -4)$ 和 $\mathbf{n}_2 = (2, -1, -5)$。
$$\mathbf{s} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -4 \\ 2 & -1 & -5 \end{vmatrix} = (-4, -3, -1)$$取直线的方向向量为 $\mathbf{s} = (4, 3, 1)$，又直线过点 $(-3,2,5)$，对称式方程为：
$$\frac{x+3}{4} = \frac{y-2}{3} = \frac{z-5}{1}$$- 求直线 $\frac{x-2}{1} = \frac{y-3}{1} = \frac{z-4}{2}$ 与平面 $2x+y+z-6=0$ 的交点的坐标.
将直线改写为参数方程：$x = t+2,\ y = t+3,\ z = 2t+4$.
代入平面方程中：
$2(t+2) + (t+3) + (2t+4) - 6 = 0$
$5t + 11 - 6 = 0 \Rightarrow 5t = -5 \Rightarrow t = -1$.
将 $t=-1$ 代回参数方程：$x=1,\ y=2,\ z=2$.
故交点坐标为 $(1, 2, 2)$.
- 求过点 $(2,1,3)$ 且与直线 $\frac{x+1}{3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z}{-1}$ 垂直相交的直线的方程.
设已知直线为 $L$，将 $L$ 写成参数形式：$x = 3t-1,\ y = 2t+1,\ z = -t$.
设交点为 $P(3t-1, 2t+1, -t)$，已知点 $A(2,1,3)$，则向量 $\overrightarrow{AP} = (3t-3, 2t, -t-3)$.
因为 $\overrightarrow{AP}$ 垂直于直线 $L$ 的方向向量 $\mathbf{s} = (3, 2, -1)$，故它们的数量积为0：
$3(3t-3) + 2(2t) - 1(-t-3) = 0$
$9t - 9 + 4t + t + 3 = 0 \Rightarrow 14t - 6 = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{7}$.
此时 $\overrightarrow{AP} = \left(-\frac{12}{7}, \frac{6}{7}, -\frac{24}{7}\right) = -\frac{6}{7}(2, -1, 4)$.
取所求直线的方向向量为 $(2, -1, 4)$，由点向式方程得：
$$\frac{x-2}{2} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-3}{4}$$- 求过 $z$ 轴且与平面 $2x+y-\sqrt{5}z=0$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ 的平面的方程.
过 $z$ 轴的平面方程可设为 $Ax+By=0$ (其中 $A, B$ 不全为零)，其法向量为 $\mathbf{n} = (A, B, 0)$.
已知平面的法向量 $\mathbf{n}_0 = (2, 1, -\sqrt{5})$. 两平面夹角为 $\frac{\pi}{3}$，故：
$$\cos\frac{\pi}{3} = \frac{|\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}_0|}{|\mathbf{n}||\mathbf{n}_0|} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{|2A+B|}{\sqrt{A^2+B^2}\sqrt{2^2+1^2 +(-\sqrt{5})^2}} = \frac{|2A+B|}{\sqrt{10(A^2+B^2)}}$$两边平方并整理得：
$\frac{1}{4} = \frac{4A^2 + 4AB + B^2}{10(A^2+B^2)} \Rightarrow 5A^2 + 5B^2 = 8A^2 + 8AB + 2B^2 \Rightarrow 3A^2 + 8AB - 3B^2 = 0$
因式分解为 $(3A - B)(A + 3B) = 0$.
若 $B = 3A$，取 $A=1, B=3$，平面方程为 $x+3y=0$；
若 $A = -3B$，取 $A=3, B=-1$，平面方程为 $3x-y=0$.
故所求平面的方程为 $x+3y=0$ 或 $3x-y=0$.
- 求直线 $L$: $\begin{cases} 3x-2y+4z+1=0 \\ x+2y-z+2=0 \end{cases}$ 的对称式方程及参数方程.
直线的方向向量：
$$\mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -2 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = (-6, 7, 8)$$在直线上任取一点，令 $x=0$，得到方程组 $\begin{cases} -2y+4z=-1 \\ 2y-z=-2 \end{cases}$。两式相加得 $3z = -3 \Rightarrow z = -1$.
代入 $2y - (-1) = -2$ 得到 $y = -3/2$. 所以直线上有一点 $(0, -3/2, -1)$.
对称式方程：
$$\frac{x}{-6} = \frac{y+\frac{3}{2}}{7} = \frac{z+1}{8}$$参数方程：
$$\begin{cases} x = -6t \\ y = -\frac{3}{2} + 7t \\ z = -1 + 8t \end{cases}$$- 试求以下投影点或投影直线的方程.
(1) 点 $(-1,2,0)$ 在平面 $x+2y-z+1=0$ 上的投影点.
过该点作平面的垂线，垂线的方向向量即平面法向量 $\mathbf{n} = (1, 2, -1)$.
垂线的参数方程为：$x = -1+t,\ y = 2+2t,\ z = -t$.
代入平面方程：$(-1+t) + 2(2+2t) - (-t) + 1 = 0 \Rightarrow 6t + 4 = 0 \Rightarrow t = -\frac{2}{3}$.
将 $t = -2/3$ 代回参数方程，投影点坐标为 $\left(-1-\frac{2}{3}, 2-\frac{4}{3}, \frac{2}{3}\right) = \left(-\frac{5}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$.
(2) 点 $(2,3,1)$ 在直线 $x+7=\frac{y+2}{2}=\frac{z+2}{3}$ 上的投影点.
过已知点作垂直于直线的平面，平面法向量即直线的方向向量 $\mathbf{s} = (1, 2, 3)$.
平面方程为：$1(x-2) + 2(y-3) + 3(z-1) = 0 \Rightarrow x+2y+3z - 11 = 0$.
直线的参数方程为 $x = t-7, y = 2t-2, z = 3t-2$.
代入平面方程求交点：$(t-7) + 2(2t-2) + 3(3t-2) - 11 = 0 \Rightarrow 14t - 28 = 0 \Rightarrow t = 2$.
交点即为投影点：$x = -5, y = 2, z = 4$. 坐标为 $(-5, 2, 4)$.
(3) 直线 $\begin{cases} 2y+3z-5=0 \\ x-2y-z+7=0 \end{cases}$ 在平面 $x-y+3z+8=0$ 上的投影直线的方程.
已知平面的法向量 $\mathbf{n}_0 = (1, -1, 3)$，直线的方向向量 $\mathbf{s} = (0, 2, 3) \times (1, -2, -1) = (4, 3, -2)$.
投影柱面的法向量为 $\mathbf{N} = \mathbf{s} \times \mathbf{n}_0 = (4, 3, -2) \times (1, -1, 3) = (7, -14, -7)$，取 $(1, -2, -1)$.
原直线的方程恰包含一个法向量为 $(1, -2, -1)$ 的平面 $x-2y-z+7=0$，这说明原直线所在的面本身就是垂直于投影面的投影柱面。
所以，投影直线就是原投影平面和已知平面的交线，方程为：
$$\begin{cases} x-2y-z+7=0 \\ x-y+3z+8=0 \end{cases}$$(4) 直线 $L$: $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-2}{2}$ 在平面 $3x+2y-z-5=0$ 上的投影直线的方程.
直线方向向量 $\mathbf{s} = (2, -3, 2)$，平面法向量 $\mathbf{n}_0 = (3, 2, -1)$.
过直线作垂直于平面的投影平面，其法向量 $\mathbf{N} = \mathbf{s} \times \mathbf{n}_0 = (2, -3, 2) \times (3, 2, -1) = (-1, 8, 13)$.
该投影平面过直线上点 $(1, -2, 2)$，平面方程为：
$-(x-1) + 8(y+2) + 13(z-2) = 0 \Rightarrow x - 8y - 13z + 9 = 0$.
投影直线方程为：
$$\begin{cases} x-8y-13z+9=0 \\ 3x+2y-z-5=0 \end{cases}$$- 求过直线 $\frac{x-1}{2}=y-2=\frac{z-3}{-1}$ 且垂直于平面 $3x-y+2z+7=0$ 的平面的方程.
直线的方向向量 $\mathbf{s} = (2, 1, -1)$，已知平面的法向量 $\mathbf{n}_0 = (3, -1, 2)$.
所求平面包含直线且垂直于已知平面，其法向量垂直于 $\mathbf{s}$ 和 $\mathbf{n}_0$：
$$\mathbf{n} = \mathbf{s} \times \mathbf{n}_0 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (1, -7, -5)$$所求平面过直线上一点 $(1, 2, 3)$，由点法式方程得：
$1(x-1) - 7(y-2) - 5(z-3) = 0 \Rightarrow x - 7y - 5z + 28 = 0$.
- 求过原点且过直线 $L$: $x=3-t, y=1+2t, z=t$ 的平面的方程.
直线的方向向量为 $\mathbf{s} = (-1, 2, 1)$，直线经过点 $P(3, 1, 0)$ (当 $t=0$ 时)。
因为所求平面过原点 $O(0,0,0)$ 和点 $P$，故包含向量 $\overrightarrow{OP} = (3, 1, 0)$。
平面的法向量同时垂直于 $\overrightarrow{OP}$ 和 $\mathbf{s}$：
$$\mathbf{n} = \overrightarrow{OP} \times \mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (1, -3, 7)$$因为平面过原点，所以平面方程没有常数项：
$x - 3y + 7z = 0$.