总习题七
1. 选择题
(1) 设平面 $3x-3y-1=0$，则平面____.
A. 平行于 $xOy$ 面
B. 平行于 $z$ 轴，但不通过 $z$ 轴
C. 垂直于 $z$ 轴
D. 通过 $z$ 轴
平面的法向量为 $\mathbf{n} = (3, -3, 0)$，它与 $z$ 轴的方向向量 $\mathbf{k} = (0, 0, 1)$ 垂直（因为 $\mathbf{n} \cdot \mathbf{k} = 0$），这说明该平面平行于 $z$ 轴。又因为将原 点 $(0,0,0)$ 代入方程得 $-1 \neq 0$，说明平面不经过原点，自然也不通过 $z$ 轴。
答案：B
(2) 已知 $|\mathbf{a}|=1$, $|\mathbf{b}|=\sqrt{2}$，且 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{4}$，则 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=$____.
A. 1
B. $1+\sqrt{2}$
C. 2
D. $\sqrt{5}$
利用向量模长的平方公式展开：
$|\mathbf{a}+\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + 2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + |\mathbf{b}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + 2|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\frac{\pi}{4} + |\mathbf {b}|^2$
代入数值：$= 1^2 + 2(1)(\sqrt{2})\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 + 2 = 5$
所以 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}| = \sqrt{5}$。
答案：D
(3) 两直线 $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-3}{3}$ 和 $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ 之间的距离为____.
A. $\sqrt{14}$
B. $\frac{\sqrt{14}}{2}$
C. 0
D. $\frac{\sqrt{14}}{3}$
两直线的方向向量均为 $(1, 2, 3)$，说明两直线平行或重合。观察发现，点 $(1,2,3)$ 是第一条直线上的一点，将它代入第二条直线方程：$\frac{1}{1} = \frac{2}{2} = \frac{3}{3}$ 成立，说明该点也 在第二条直线上。两平行线有公共点，故两直线重合，距离为 0。
答案：C
(4) 设直线 $\frac{x}{2} = \frac{y+2}{-2} = \frac{1-z}{-1}$ 与 $\frac{x-1}{4} = \frac{y-3}{\lambda} = \frac{z+1}{-2}$ 相互垂直，则 $\lambda=$____.
A. 2
B. 3
C. 5
D. -4
第一条直线化为标准型为 $\frac{x}{2} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-1}{1}$，其方向向量 $\mathbf{s}_1 = (2, -2, 1)$。第二条直线方向向量 $\mathbf{s}_2 = (4, \lambda, -2)$。
两直线垂直，则方向向量点积为 0：$\mathbf{s}_1 \cdot \mathbf{s}_2 = 2(4) + (-2)(\lambda) + 1(-2) = 0$。
解得 $8 - 2\lambda - 2 = 0 \Rightarrow 2\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = 3$。
答案：B
(5) 设直线 $L_1: x-1 = \frac{y-5}{-2} = z+8$ 与 $L_2: \begin{cases} x-y=6 \\ 2y+z=3 \end{cases}$，则 $L_1$ 与 $L_2$ 的夹角为____.
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{4}$
C. $\frac{\pi}{3}$
D. $\frac{\pi}{2}$
$L_1$ 的方向向量为 $\mathbf{s}_1 = (1, -2, 1)$。
求 $L_2$ 的方向向量：令 $y=t$，则 $x=t+6, z=-2t+3$，其方向向量为 $\mathbf{s}_2 = (1, 1, -2)$。
夹角 $\theta$ 的余弦：$\cos\theta = \frac{|\mathbf{s}_1 \cdot \mathbf{s}_2|}{|\mathbf{s}_1||\mathbf{s}_2|} = \frac{|1\times 1 + (-2)\times 1 + 1\times (-2)|}{\sqrt{1 +4+1}\sqrt{1+1+4}} = \frac{|-3|}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。
因为 $\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$，所以 $\theta = \frac{\pi}{3}$。
答案：C
(6) 设有直线 $L: \begin{cases} x+3y+2z+1=0 \\ 2x-y-10z+3=0 \end{cases}$ 及平面 $\Pi: 4x-2y+z-2=0$，则直线 $L$____.
A. 平行于 $\Pi$
B. 在 $\Pi$ 上
C. 垂直于 $\Pi$
D. 与 $\Pi$ 斜交
直线 $L$ 的方向向量 $\mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & -1 & -10 \end{vmatrix} = (-30 - (-2), 4 - (-10), -1 - 6) = (-28, 14, -7)$。
提取公因子 $-7$，得 $\mathbf{s} \sim (4, -2, 1)$。
平面 $\Pi$ 的法向量 $\mathbf{n} = (4, -2, 1)$。
因为 $\mathbf{s}$ 与 $\mathbf{n}$ 成比例（完全相同），所以方向向量平行于法向量，即直线垂直于平面。
答案：C
(7) 曲线 $\begin{cases} x^2+4y^2-z^2=16 \\ 4x^2+y^2+z^2=4 \end{cases}$ 在 $xOy$ 面上投影的曲线方程是____.
消去 $z^2$，将两方程相加得：$(x^2+4y^2-z^2) + (4x^2+y^2+z^2) = 16 + 4$。
即 $5x^2 + 5y^2 = 20 \Rightarrow x^2+y^2=4$。
投影至 $xOy$ 面，需附加条件 $z=0$，投影曲线方程为 $\begin{cases} x^2+y^2=4 \\ z=0 \end{cases}$。
答案：C
(8) 方程 $x^2 + \frac{y^2}{4} = z$ 表示____.
A. 旋转抛物面
B. 锥面
C. 旋转单叶双曲面
D. 椭圆抛物面
等式左侧为二次项，右侧为一次项，符合抛物面特征；用 $z=k \ (k>0)$ 平面截之截口为椭圆 $x^2+\frac{y^2}{4}=k$，因此是椭圆抛物面。由于两二次项系数不等，不具有完全旋转对称性，不是旋转抛物面。
答案：D
2. 填空题
(1) 设实数 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 不全为 $0$，使得 $\lambda_1\mathbf{a} + \lambda_2\mathbf{b} + \lambda_3\mathbf{c} = \mathbf{0}$，则 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 这3个向量是____的.
根据向量线性相关的定义，如果存在不全为0的系数使线性组合为零向量，则它们线性相关。在几何上，三个向量线性相关意味着它们共面。
答案：共面（或线性相关）
(2) 设 $\mathbf{a}=(2,1,2)$, $\mathbf{b}=(4,-1,10)$, $\mathbf{c}=\mathbf{b}-\lambda\mathbf{a}$，且 $\mathbf{a} \perp \mathbf{c}$，则 $\lambda=$____.
因为 $\mathbf{a} \perp \mathbf{c}$，所以 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} = 0$。
代入 $\mathbf{c} = \mathbf{b} - \lambda\mathbf{a}$，得 $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} - \lambda\mathbf{a}) = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} - \lambda|\mathbf{a}|^2 = 0$。
计算数量积与模长：$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 2(4) + 1(-1) + 2(10) = 8 - 1 + 20 = 27$。
$|\mathbf{a}|^2 = 2^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 4 = 9$。
因此 $27 - 9\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 3$。
答案：3
(3) 设 $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$, $|\mathbf{a}|=3, |\mathbf{b}|=2, |\mathbf{c}|=5$，则 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} + \mathbf{c}\cdot\mathbf{a}=$____.
对 $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$ 两边平方：
$|\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}|^2 = |\mathbf{a}|^2 + |\mathbf{b}|^2 + |\mathbf{c}|^2 + 2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} + \mathbf{c} \cdot\mathbf{a}) = 0$
代入模长值：$3^2 + 2^2 + 5^2 + 2(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{b}\cdot\mathbf{c} + \mathbf{c}\cdot\mathbf{a}) = 0$
$9 + 4 + 25 + 2X = 0 \Rightarrow 38 + 2X = 0 \Rightarrow X = -19$。
答案：-19
(4) 设 $|\mathbf{a}|=3, |\mathbf{b}|=4, |\mathbf{c}|=5$，且满足 $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$，则 $|\mathbf{a}\times\mathbf{b} + \mathbf{b} \times\mathbf{c} + \mathbf{c}\times\mathbf{a}|=$____.
由 $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$ 得 $\mathbf{c} = -\mathbf{a}-\mathbf{b}$。
代入原式进行叉积运算化简：
$\mathbf{b}\times\mathbf{c} = \mathbf{b}\times(-\mathbf{a}-\mathbf{b}) = -\mathbf{b}\times\mathbf{a} - \mathbf{b}\times\mathbf{b} = \mathbf{a}\times\mathbf{b}$
$\mathbf{c}\times\mathbf{a} = (-\mathbf{a}-\mathbf{b})\times\mathbf{a} = -\mathbf{a}\times\mathbf{a} - \mathbf{b}\times\mathbf{a} = \mathbf{a}\times\mathbf{b}$
原式即求 $|3(\mathbf{a}\times\mathbf{b})| = 3|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|$。
又因为 $|\mathbf{a}|=3, |\mathbf{b}|=4, |\mathbf{c}|=5$ 满足勾股定理 $3^2+4^2=5^2$，即三角形中 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 互相垂直，夹角为 $\frac{\pi}{2}$。
$|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\frac{\pi}{2} = 3 \times 4 \times 1 = 12$。
所以 $3|\mathbf{a}\times\mathbf{b}| = 3 \times 12 = 36$。
答案：36
(5) 已知 $\mathbf{a} = \mathbf{i}+2\mathbf{j}+\mathbf{k}$, $\mathbf{b} = -\mathbf{i} - \frac{\mathbf{j}}{2} + \frac{\mathbf{k}}{2}$，则 $\cos(\mathbf{a}, 2\mathbf {b})=$____.
$2\mathbf{b} = -2\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k} = (-2, -1, 1)$。
$\mathbf{a} = (1, 2, 1)$。
点积 $\mathbf{a}\cdot(2\mathbf{b}) = 1(-2) + 2(-1) + 1(1) = -2 - 2 + 1 = -3$。
模长 $|\mathbf{a}| = \sqrt{1^2+2^2+1^2} = \sqrt{6}$；$|2\mathbf{b}| = \sqrt{(-2)^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{6}$。
$\cos(\mathbf{a}, 2\mathbf{b}) = \frac{\mathbf{a}\cdot(2\mathbf{b})}{|\mathbf{a}||2\mathbf{b}|} = \frac{-3}{\sqrt{6}\sqrt{6}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$。
答案：$-\frac{1}{2}$
(6) 曲线 $\begin{cases} x^2+3z^2=9 \\ y=0 \end{cases}$ 绕 $z$ 轴旋转一周所形成的旋转面的方程为____.
绕 $z$ 轴旋转，将 $x$ 坐标替换为 $\pm\sqrt{x^2+y^2}$。
代入方程得 $(\pm\sqrt{x^2+y^2})^2 + 3z^2 = 9$。
化简为 $x^2 + y^2 + 3z^2 = 9$。
答案：$x^2 + y^2 + 3z^2 = 9$
(7) 母线平行于 $y$ 轴，准线为 $\begin{cases} \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{8} + \frac{z^2}{3} = 1 \\ y=2 \end{cases}$ 的柱面的方程为____.
要求母线平行于 $y$ 轴的投影柱面，只需从原方程组中消去 $y$ 变量。
将 $y=2$ 代入第一个方程：$\frac{x^2}{4} + \frac{4}{8} + \frac{z^2}{3} = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{4} + \frac{1}{2} + \frac{z^2}{3} = 1$。
移项整理得 $\frac{x^2}{4} + \frac{z^2}{3} = \frac{1}{2}$，两边同乘2得：
答案：$\frac{x^2}{2} + \frac{2z^2}{3} = 1$
(8) 曲线 $\begin{cases} x^2+y^2+z^2=25 \\ x^2+y^2=4 \end{cases}$ 在 $xOy$ 面上的投影柱面的方程为____.
在空间中，曲线完全位于柱面 $x^2+y^2=4$ 上，因此包含该曲线且母线平行于 $z$ 轴的投影柱面就是它所在的那个柱面。
答案：$x^2+y^2=4$
(9) $xOy$ 面上的直线 $x+y=1$ 绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程为____.
空间中直线方程为 $x=1-y, z=0$。绕 $y$ 轴旋转，将 $x$ 替换为 $\pm\sqrt{x^2+z^2}$。
得 $\pm\sqrt{x^2+z^2} = 1-y$。两边平方：$x^2+z^2 = (1-y)^2$。
展开并整理为：
答案：$x^2 - (y-1)^2 + z^2 = 0$
(10) 顶点在原点，母线与 $z$ 轴的夹角为 $\frac{\pi}{6}$ 的锥面方程为____.
锥面上任意一点 $P(x,y,z)$ 到原点的向量与 $z$ 轴单位向量 $\mathbf{k}=(0,0,1)$ 的夹角余弦为 $\pm\cos\frac{\pi}{6} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$。
即 $\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$。两边平方得 $\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2} = \frac{3}{4}$。
化简：$4z^2 = 3(x^2+y^2+z^2) \Rightarrow z^2 = 3(x^2+y^2)$。
答案：$z^2 = 3(x^2+y^2)$ 或 $x^2+y^2 = \frac{1}{3}z^2$
3. 设 $(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}=2$，求 $[(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times(\mathbf{b}+\mathbf{c})]\cdot(\mathbf{c}+\mathbf{a})$.
已知混合积 $[\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] = 2$。利用向量叉积和点积的分配律展开所求式：
首先展开叉积部分：
$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times(\mathbf{b}+\mathbf{c}) = \mathbf{a}\times\mathbf{b} + \mathbf{a}\times\mathbf{c} + \mathbf{b}\times\mathbf{b} + \mathbf{b} \times\mathbf{c}$
因为 $\mathbf{b}\times\mathbf{b} = \mathbf{0}$，剩下三项。将这三项与 $(\mathbf{c}+\mathbf{a})$ 进行点积：
$(\mathbf{a}\times\mathbf{b} + \mathbf{a}\times\mathbf{c} + \mathbf{b}\times\mathbf{c}) \cdot (\mathbf{c}+\mathbf{a})$
$= (\mathbf{a}\times\mathbf{b})\cdot\mathbf{c} + (\mathbf{a}\times\mathbf{c})\cdot\mathbf{c} + (\mathbf{b}\times\mathbf{c})\cdot\mathbf{c} + (\mathbf{a} \times\mathbf{b})\cdot\mathbf{a} + (\mathbf{a}\times\mathbf{c})\cdot\mathbf{a} + (\mathbf{b}\times\mathbf{c})\cdot\mathbf{a}$
混合积中有两个相同向量时其值为0，所以只有前后两项非零：
$= [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}] + 0 + 0 + 0 + 0 + [\mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{a}]$
根据混合积的轮换对称性，$[\mathbf{b}, \mathbf{c}, \mathbf{a}] = [\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}]$。
因此原式 $= 2 + 2 = 4$。
4. 求向量 $\mathbf{a}=(6,-1,2)$ 在向量 $\mathbf{b}=(7,-4,4)$ 上的投影和投影向量.
点积 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 6(7) + (-1)(-4) + 2(4) = 42 + 4 + 8 = 54$。
模长 $|\mathbf{b}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16 + 16} = \sqrt{81} = 9$。
在 $\mathbf{b}$ 上的投影为：$\text{Prj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} = \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} = \frac{54}{9} = 6$。
在 $\mathbf{b}$ 上的投影向量为：$\text{Prj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a} \cdot \frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|} = 6 \cdot \frac{(7,-4,4)}{9} = \frac{2}{3}(7,-4,4) = \left (\frac{14}{3}, -\frac{8}{3}, \frac{8}{3}\right)$。
5. 设向量 $\mathbf{a}=(2,-3,1)$, $\mathbf{b}=(1,-2,3)$, $\mathbf{c}=(2,1,2)$，向量 $\mathbf{r}$ 满足 $\mathbf{r}\perp\mathbf{a}, \mathbf{r}\perp\mathbf{b}$, $\text {Prj}_{\mathbf{c}}\mathbf{r}=14$，求 $\mathbf{r}$.
因为 $\mathbf{r}$ 同时垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，故 $\mathbf{r}$ 平行于 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$。
$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = (-9 - (-2))\mathbf{i} - (6 - 1) \mathbf{j} + (-4 - (-3))\mathbf{k} = (-7, -5, -1)$。
设 $\mathbf{r} = k(7, 5, 1)$。已知 $\text{Prj}_{\mathbf{c}}\mathbf{r} = \frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{c}}{|\mathbf{c}|} = 14$。
$|\mathbf{c}| = \sqrt{2^2+1^2+2^2} = 3$。
$\mathbf{r}\cdot\mathbf{c} = k(7 \times 2 + 5 \times 1 + 1 \times 2) = 21k$。
代入投影公式：$\frac{21k}{3} = 7k = 14 \Rightarrow k = 2$。
所以 $\mathbf{r} = 2(7, 5, 1) = (14, 10, 2)$。
6. 已知直线 $L_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{0}=\frac{z-2}{-1}$ 和 $L_2: \frac{x+1}{3}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}$，求过 $L_1$ 且平行于 $L_2$ 的平面方程.
两直线的方向向量分别为 $\mathbf{s}_1 = (1, 0, -1)$ 和 $\mathbf{s}_2 = (3, 1, 2)$。
所求平面同时平行于这两个方向，其法向量 $\mathbf{n} = \mathbf{s}_1 \times \mathbf{s}_2$。
$\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (0 - (-1), - (2 - (-3)), 1 - 0) = (1, -5, 1)$。
该平面过 $L_1$，因此取 $L_1$ 上一点 $(1, -1, 2)$，点法式平面方程为：
$1(x-1) - 5(y+1) + 1(z-2) = 0$
化简得 $x - 5y + z - 8 = 0$。
7. 一条直线过点 $(2,-3,4)$，且垂直于直线 $x-2 = 1-y = \frac{z+5}{2}$ 和 $\frac{x-4}{3} = \frac{y+2}{-2} = z-1$，求该直线的方程.
已知两直线化为标准型，方向向量分别为 $\mathbf{s}_1 = (1, -1, 2)$，$\mathbf{s}_2 = (3, -2, 1)$。
所求直线的方向向量 $\mathbf{s}$ 垂直于这两条直线，故 $\mathbf{s} = \mathbf{s}_1 \times \mathbf{s}_2$。
$\mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = (-1 - (-4), - (1 - 6), -2 - (-3)) = (3, 5, 1)$。
点向式直线方程为：$\frac{x-2}{3} = \frac{y+3}{5} = \frac{z-4}{1}$。
8. 求直线 $L: \begin{cases} x+y-z-1=0 \\ x-y+z+1=0 \end{cases}$ 在平面 $x+3y+2z=0$ 上的投影直线的方程.
求 $L$ 的方向向量：$\mathbf{s} = (1, 1, -1) \times (1, -1, 1) = (0, -2, -2)$，取 $\mathbf{s} = (0, 1, 1)$。
$L$ 上取一点（令 $x=0$）：由 $y-z=1, -y+z=-1$ 产生冗余说明包含原点？不，令 $y=0$ 得到 $x-z=1, x+z=-1 \Rightarrow x=0, z=-1$，点为 $M(0, 0, -1)$。
投影平面既过直线 $L$ 也垂直于投影面，其法向量 $\mathbf{N} = \mathbf{s} \times \mathbf{n} = (0, 1, 1) \times (1, 3, 2) = (-1, 1, -1)$，取 $\mathbf{N} = (1, -1, 1)$。
投影平面方程为 $1(x-0) - 1(y-0) + 1(z+1) = 0 \Rightarrow x-y+z+1=0$。（此平面其实是定义原直线的第二个方程）。
投影直线方程为交线式：$\begin{cases} x-y+z+1=0 \\ x+3y+2z=0 \end{cases}$。
9. 求直线 $L: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{-1}$ 在平面 $x-y+2z-1=0$ 上的投影直线的方程.
直线的方向向量 $\mathbf{s} = (1, 1, -1)$，投影平面法向量 $\mathbf{n} = (1, -1, 2)$。
作垂直投影面并过直线 $L$ 的辅助平面，其法向量 $\mathbf{N} = \mathbf{s} \times \mathbf{n} = (1, 1, -1) \times (1, -1, 2) = (1, -3, -2)$。
该平面过直线上的点 $(1, 0, 1)$，方程为：$1(x-1) - 3(y-0) - 2(z-1) = 0 \Rightarrow x - 3y - 2z + 1 = 0$。
投影直线即该平面与原平面的交线：$\begin{cases} x-3y-2z+1=0 \\ x-y+2z-1=0 \end{cases}$。
10. 试证：点 $M_1(x_1, y_1, z_1)$ 到直线 $\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}$ 的距离为 $d = \frac{|\overrightarrow{M_0M_1} \times \mathbf{s}|}{| \mathbf{s}|}$，其中 $\mathbf{s}=(l,m,n), M_0(x_0,y_0,z_0)$.
利用平行四边形几何性质：向量 $\overrightarrow{M_0M_1}$ 和直线方向向量 $\mathbf{s}$ 构成的平行四边形面积为 $S = |\overrightarrow{M_0M_1} \times \mathbf{s}|$。
该平行四边形以向量 $\mathbf{s}$ 为底边，其长度为 $|\mathbf{s}|$。
平行四边形对应于该底的高 $h$，在几何上正是点 $M_1$ 到经过 $M_0$ 且方向为 $\mathbf{s}$ 的直线的垂直距离 $d$。
由面积公式 $S = \text{底} \times \text{高}$，得到 $|\overrightarrow{M_0M_1} \times \mathbf{s}| = |\mathbf{s}| \times d$。
移项即得 $d = \frac{|\overrightarrow{M_0M_1} \times \mathbf{s}|}{|\mathbf{s}|}$，命题得证。
11. 求点 $P(1,2,-1)$ 到直线 $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z-2}{3}$ 的距离.
由题意，$M_0(1, -1, 2)$，$\mathbf{s} = (2, -1, 3)$。向量 $\overrightarrow{M_0P} = (1-1, 2-(-1), -1-2) = (0, 3, -3)$。
$\overrightarrow{M_0P} \times \mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 3 & -3 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = (9 - 3)\mathbf{i} - (0+ (-6))\mathbf{j} + (0 - 6)\mathbf{k} = (6, -6, -6)$。
$|\overrightarrow{M_0P} \times \mathbf{s}| = \sqrt{36 + 36 + 36} = 6\sqrt{3}$。$|\mathbf{s}| = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$。
距离 $d = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{14}} = \frac{3\sqrt{42}}{7}$。
12. 求点 $A(4,1,-2)$ 到直线 $\begin{cases} x-y+z+5=0 \\ 2x+z-4=0 \end{cases}$ 的距离.
直线的方向向量 $\mathbf{s} = (1, -1, 1) \times (2, 0, 1) = (-1, 1, 2)$。
在直线上找一点 $M_0$：令 $x=0$，得 $z=4$，代入上式得 $-y+9=0 \Rightarrow y=9$。即 $M_0(0, 9, 4)$。
向量 $\overrightarrow{M_0A} = (4, -8, -6)$。
$\overrightarrow{M_0A} \times \mathbf{s} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & -8 & -6 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (-16 - (-6), - (8 - 6), 4 - 8) = (-10, -2, -4)$。
$|\overrightarrow{M_0A} \times \mathbf{s}| = \sqrt{100 + 4 + 16} = \sqrt{120} = 2\sqrt{30}$。$|\mathbf{s}| = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$。
距离 $d = \frac{2\sqrt{30}}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{5}$。
13. 求直线 $L_1: \frac{x+5}{6} = 1-y = z+3$ 与直线 $L_2: \begin{cases} x+5y+z=0 \\ x+y-z+4=0 \end{cases}$ 之间的距离.
$L_1$ 化标准型为 $\frac{x+5}{6} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+3}{1}$，过点 $P_1(-5, 1, -3)$，方向 $\mathbf{s}_1 = (6, -1, 1)$。
$L_2$ 的方向向量 $\mathbf{s}_2 = (1, 5, 1) \times (1, 1, -1) = (-6, 2, -4) \sim (3, -1, 2)$。
在 $L_2$ 上找点 $P_2$：令 $y=0$，得 $x+z=0, x-z=-4 \Rightarrow x=-2, z=2$，即 $P_2(-2, 0, 2)$。
连线向量 $\overrightarrow{P_1P_2} = (-2 - (-5), 0 - 1, 2 - (-3)) = (3, -1, 5)$。
利用混合积求公垂线段长 $d = \frac{|(\overrightarrow{P_1P_2}, \mathbf{s}_1, \mathbf{s}_2)|}{|\mathbf{s}_1 \times \mathbf{s}_2|}$。
混合积 $= \begin{vmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 6 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 3(-2+1) - (-1)(12-3) + 5(-6+3) = -3 + 9 - 15 = -9$。
$\mathbf{s}_1 \times \mathbf{s}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 6 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (-2+1, 3-12, -6+3) = (-1, -9, -3)$。
$|\mathbf{s}_1 \times \mathbf{s}_2| = \sqrt{1^2 + 9^2 + 3^2} = \sqrt{91}$。
距离 $d = \frac{|-9|}{\sqrt{91}} = \frac{9\sqrt{91}}{91}$。
14. 求曲线 $\begin{cases} x^2+4y^2=4 \\ 2x+3y+z+1=0 \end{cases}$ 在 $yOz$ 面和 $xOy$ 面上的投影曲线.
向 $yOz$ 面投影：消去 $x$。由平面方程得 $x = -\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}z - \frac{1}{2}$。
代入柱面方程：$\left(-\frac{3}{2}y - \frac{1}{2}z - \frac{1}{2}\right)^2 + 4y^2 = 4$。展开并乘以4得 $(3y+z+1)^2 + 16y^2 = 16$。
投影曲线方程为：$\begin{cases} 25y^2 + z^2 + 6yz + 6y + 2z - 15 = 0 \\ x=0 \end{cases}$。
向 $xOy$ 面投影：曲线本身就躺在母线平行于 $z$ 轴的柱面上，消去 $z$ 等价于只看底面形状。
投影曲线方程为：$\begin{cases} x^2+4y^2=4 \\ z=0 \end{cases}$。
15. 求曲线 $\begin{cases} x^2+y^2+z^2=2 \\ z = x^2+y^2 \end{cases}$ 在3个坐标面上的投影曲线.
先联立消去 $x^2+y^2$：$z + z^2 = 2 \Rightarrow z^2+z-2=0 \Rightarrow (z+2)(z-1)=0$。
因为抛物面 $z = x^2+y^2 \geqslant 0$，所以 $z=1$。即交线为平面 $z=1$ 上的圆 $x^2+y^2=1$。
在 $xOy$ 面的投影（向下压平）：$\begin{cases} x^2+y^2=1 \\ z=0 \end{cases}$。
在 $yOz$ 面的投影（从前面看圆变为线段）：$\begin{cases} z=1 \\ -1 \leqslant y \leqslant 1 \\ x=0 \end{cases}$。
在 $xOz$ 面的投影（从侧面看圆变为线段）：$\begin{cases} z=1 \\ -1 \leqslant x \leqslant 1 \\ y=0 \end{cases}$。
16. 求过直线 $L: \begin{cases} x=1+t \\ y=1+2t \\ z=1+3t \end{cases}$ 且与点 $(2,2,2)$ 的距离为 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 的平面方程.
设所求平面法向量为 $\mathbf{n} = (A,B,C)$，因过直线，法向量垂直直线方向 $\mathbf{s}=(1,2,3)$，得 $A+2B+3C=0 \Rightarrow A=-2B-3C$。
平面过直线上点 $(1,1,1)$，平面方程可设为 $A(x-1) + B(y-1) + C(z-1) = 0$。
点 $(2,2,2)$ 到平面的距离公式：$\frac{|A(2-1)+B(2-1)+C(2-1)|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{|A+B+C|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$。
将 $A=-2B-3C$ 代入得：$\sqrt{3}|-B-2C| = \sqrt{(-2B-3C)^2+B^2+C^2}$。
两边平方整理：$3(B^2+4BC+4C^2) = 5B^2+12BC+10C^2 \Rightarrow 2B^2 - 2C^2 = 0 \Rightarrow B^2 = C^2 \Rightarrow B = \pm C$。
若 $B=C$，则 $A=-5C$，取 $\mathbf{n} = (-5,1,1)$，代回平面方程得：$5x-y-z-3=0$。
若 $B=-C$，则 $A=-C$，取 $\mathbf{n} = (-1,-1,1)$，代回平面方程得：$x+y-z-1=0$。
所求平面方程为 $5x-y-z-3=0$ 或 $x+y-z-1=0$。
17. 已知四面体的3个顶点为 $A(2,1,-1)$, $B(3,0,1)$, $C(2,-1,3)$，其体积 $V=5$，第4个顶点 $D$ 在 $y$ 轴上，试求顶点 $D$ 的坐标.
设 $D$ 的坐标为 $(0, y, 0)$。由向量 $\overrightarrow{AB} = (1, -1, 2)$, $\overrightarrow{AC} = (0, -2, 4)$, $\overrightarrow{AD} = (-2, y-1, 1)$。
体积 $V = \frac{1}{6}|(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}|$。
计算叉积：$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & -2 & 4 \end{vmatrix} = (0, -4, -2)$。
混合积为 $(0, -4, -2) \cdot (-2, y-1, 1) = 0 - 4(y-1) - 2 = -4y + 2$。
由体积为 5 可知 $\frac{1}{6}|-4y+2| = 5 \Rightarrow |-4y+2| = 30$。
解得 $-4y+2 = 30 \Rightarrow y=-7$；或 $-4y+2 = -30 \Rightarrow y=8$。
所以点 $D$ 坐标为 $(0, -7, 0)$ 或 $(0, 8, 0)$。
18. 判断下列方程所表示的曲面，并画出图形. (由于纯文本限制，此处进行特征描述)
(1) $x=2$: 表示一个与 $yOz$ 面平行的平面，交 $x$ 轴于 $x=2$ 处。
(2) $y+z=1$: 表示一个母线平行于 $x$ 轴的平面，经过点 $(0,1,0)$ 和 $(0,0,1)$。
(3) $z^2-x^2=1$: 表示一个母线平行于 $y$ 轴的双曲柱面，开口沿 $z$ 轴上下延伸。
(4) $y^2=4x$: 表示一个母线平行于 $z$ 轴的抛物柱面，开口沿 $x$ 轴正方向延伸。
19. 画出下列曲面所围立体的图形: (由于纯文本限制，此处进行文字刻画)
(1) 抛物柱面 $2y^2=x$、平面 $z=0$ 及 $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} + \frac{z}{2} = 1$: 以 $xOy$ 面内抛物线与直线所围封闭区域为底，上方由一个倾斜平整的平面盖住的立体。
(2) 抛物柱面 $x^2=1-z$、平面 $y=0$、$z=0$ 及 $x+y=1$: 顶部像抛物线型的拱顶，底部位于 $xOy$ 面，并被直立的平面 $y=0$ 与 $x+y=1$ 纵向截断所形成的楔形块。
(3) 上半圆锥面 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ 及旋转抛物面 $z = 2-x^2-y^2$: 像一个圆筒冰淇淋。下方以漏斗状的圆锥面作为容器，上方以倒置抛物面封顶。
(4) 旋转抛物面 $x^2+y^2=z$、柱面 $y^2=x$、平面 $z=0$ 及 $x=1$: 位于第一、四卦限，在 $xOy$ 面的“地基”由抛物线段和一条竖直线构成，向上隆起至抛物面外壳的立体。