第3节 空间曲面与空间曲线
8（4）待校验
1. 一动点与两定点 $(2,3,1)$ 和 $(4,5,6)$ 等距离，求该动点的轨迹方程.
设动点坐标为 $M(x, y, z)$，已知两定点分别为 $A(2, 3, 1)$ 和 $B(4, 5, 6)$。
根据题意，动点到两定点距离相等，即 $|MA| = |MB|$，两边平方得：
$$(x-2)^2 + (y-3)^2 + (z-1)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2 + (z-6)^2$$将上式展开：
$$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 + z^2 - 2z + 1 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 10y + 25 + z^2 - 12z + 36$$消去等式两边相同的二次项 $x^2, y^2, z^2$，并将所有项移至方程左侧：
$$(-4x + 8x) + (-6y + 10y) + (-2z + 12z) + (14 - 77) = 0$$整理得到该动点的轨迹方程（空间中的一个平面）：
$4x + 4y + 10z - 63 = 0$
2. 分别求母线平行于 $x$ 轴及 $y$ 轴，且通过曲线 $\begin{cases} 2x^2 + y^2 + z^2 = 16, \\ x^2 - y^2 + z^2 = 0 \end{cases}$ 的柱面方程.
要求母线平行于 $x$ 轴的柱面方程（即将曲线向 $yOz$ 面投影形成的投影柱面），只需在原曲线方程组中消去变量 $x$。
由第二个方程可得 $x^2 = y^2 - z^2$，将其代入第一个方程中：
$$2(y^2 - z^2) + y^2 + z^2 = 16$$合并同类项，得到母线平行于 $x$ 轴的柱面方程：
$3y^2 - z^2 = 16$
要求母线平行于 $y$ 轴的柱面方程，只需消去变量 $y$。
将曲线的两个方程直接相加即可消去 $y^2$：
$$(2x^2 + y^2 + z^2) + (x^2 - y^2 + z^2) = 16 + 0$$合并同类项，得到母线平行于 $y$ 轴的柱面方程：
$3x^2 + 2z^2 = 16$
3. 写出下列曲线绕指定轴旋转所形成的旋转曲面的方程：
(1) $xOy$ 面上的双曲线 $4x^2 - 9y^2 = 36$ 绕 $y$ 轴旋转;
空间中该曲线的方程为 $\begin{cases} 4x^2 - 9y^2 = 36 \\ z = 0 \end{cases}$。曲线绕 $y$ 轴旋转时，坐标 $y$ 保持不变，而将 $x$ 替换为 $\pm\sqrt{x^2+z^2}$：
$$4(\pm\sqrt{x^2+z^2})^2 - 9y^2 = 36 \Rightarrow 4(x^2 + z^2) - 9y^2 = 36$$同除以 36 化为标准形式，所得旋转曲面（单叶双曲面）方程为：
$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{9} = 1$
(2) $xOy$ 面上的圆 $(x-2)^2 + y^2 = 1$ 绕 $y$ 轴旋转;
将曲线方程中的 $x$ 替换为 $\pm\sqrt{x^2+z^2}$：
$$(\pm\sqrt{x^2+z^2} - 2)^2 + y^2 = 1$$展开左侧平方式：
$$x^2 + z^2 \mp 4\sqrt{x^2+z^2} + 4 + y^2 = 1$$移项并使得一侧只保留根号项：
$$x^2 + y^2 + z^2 + 3 = \pm 4\sqrt{x^2+z^2}$$两边同时平方以消除根号，得到旋转环面方程：
$(x^2 + y^2 + z^2 + 3)^2 = 16(x^2+z^2)$
(3) $yOz$ 面上的直线 $2y - 3z + 1 = 0$ 绕 $z$ 轴旋转.
原直线方程可表示为 $\begin{cases} 2y - 3z + 1 = 0 \\ x = 0 \end{cases}$。绕 $z$ 轴旋转，将 $y$ 替换为 $\pm\sqrt{x^2+y^2}$：
$$2(\pm\sqrt{x^2+y^2}) - 3z + 1 = 0 \Rightarrow \pm 2\sqrt{x^2+y^2} = 3z - 1$$两边平方，得到圆锥面方程：
$4(x^2+y^2) = (3z-1)^2$
4. 指出下列旋转曲面的一条母线和旋转轴：
(1) $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} + \frac{z^2}{9} = 1$;
观察方程，变量 $y$ 和 $z$ 具有完全对称的平方式（二次项系数均为 $\frac{1}{9}$），因此旋转轴为 $x$ 轴。
令 $z=0$ 取其在 $xOy$ 面上的截口，得到一条母线（椭圆）方程：
$\begin{cases} \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1 \\ z = 0 \end{cases}$
(2) $x^2 - \frac{y^2}{4} + z^2 = 1$;
方程中 $x$ 和 $z$ 的二次项系数相同（均为 $1$），因此旋转轴为 $y$ 轴。
令 $z=0$，得到 $xOy$ 面上的一条母线（双曲线）方程：
$\begin{cases} x^2 - \frac{y^2}{4} = 1 \\ z = 0 \end{cases}$
(3) $x^2 - y^2 - z^2 = 1$;
该方程可改写为 $x^2 - (y^2 + z^2) = 1$，变量 $y$ 和 $z$ 的系数相同，旋转轴为 $x$ 轴。
令 $z=0$，得到 $xOy$ 面上的一条母线（双曲线）方程：
$\begin{cases} x^2 - y^2 = 1 \\ z = 0 \end{cases}$
(4) $(z-a)^2 = x^2 + y^2$.
方程中 $x$ 和 $y$ 的二次项系数均为 $1$，因此旋转轴为 $z$ 轴。
令 $y=0$ 取其在 $xOz$ 面的截线，得到一条母线（两条相交直线）方程：
$\begin{cases} (z-a)^2 = x^2 \\ y = 0 \end{cases}$ （或简化写作 $\begin{cases} z = x + a \\ y = 0 \end{cases}$）
5. 指出下列方程在平面和空间中分别表示什么图形：
(1) $y = x + 1$;
在二维平面中：表示一条斜率为 $1$ 的直线。
在三维空间中：因为缺少 $z$ 变量，表示一个平行于 $z$ 轴的平面。
(2) $x^2 - y^2 = 1$;
在二维平面中：表示开口向左右的等轴双曲线。
在三维空间中：表示母线平行于 $z$ 轴的双曲柱面。
(3) $\begin{cases} y = 5x + 1, \\ y = 2x - 3; \end{cases}$
联立解得 $x = -4/3, y = -17/3$。
在二维平面中：表示两直线的交点，即一个点 $\left(-\frac{4}{3}, -\frac{17}{3}\right)$。
在三维空间中：表示两个平面的交线，是一条平行于 $z$ 轴的直线。
(4) $\begin{cases} \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1, \\ y = 3. \end{cases}$
将 $y=3$ 代入第一个方程得 $\frac{x^2}{4} + 1 = 1 \Rightarrow x=0$。
在二维平面中：表示椭圆与水平直线的切点，即一个点 $(0, 3)$。
在三维空间中：表示椭圆柱面与平面 $y=3$ 的交线，由于只交于一线，它是一条平行于 $z$ 轴的直线。
6. 画出下列方程所表示的曲面：(此处以文字描述曲面的几何特征代为作答)
(1) $\left(x-\frac{a}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2$;
表示一个圆柱面。在 $xOy$ 面上的准线是以 $\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right)$ 为圆心、半径为 $\frac{a}{2}$ 的圆，母线平行于 $z$ 轴。
(2) $y^2 - z = 0$;
可写为 $z = y^2$，表示一个抛物柱面。准线是位于 $yOz$ 面内开口朝向 $z$ 轴正半轴的抛物线，母线平行于 $x$ 轴。
(3) $4x^2 + y^2 - z^2 = 4$;
化为标准型 $x^2 + \frac{y^2}{4} - \frac{z^2}{4} = 1$。它表示一个以 $z$ 轴为中心轴、在原点处最细的单叶双曲面。
(4) $\frac{z}{3} = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9}$.
表示一个顶点在坐标原点、开口朝向 $z$ 轴正方向的椭圆抛物面。
7. 指出下列方程表示的曲线：
(1) $\begin{cases} x^2 + 2y^2 + 4z^2 = 25, \\ x = 3; \end{cases}$
将 $x=3$ 代入椭球面方程得 $9 + 2y^2 + 4z^2 = 25 \Rightarrow 2y^2 + 4z^2 = 16$。
化简为 $\frac{y^2}{8} + \frac{z^2}{4} = 1$，故表示位于平面 $x=3$ 内的一个椭圆。
(2) $\begin{cases} z = x^2 + y^2, \\ y = 1; \end{cases}$
将 $y=1$ 代入旋转抛物面方程得 $z = x^2 + 1$。
故表示位于平面 $y=1$ 内开口朝上的抛物线。
(3) $\begin{cases} 2y^2 - 9z^2 = 1, \\ x = 1; \end{cases}$
柱面被平行于 $yOz$ 面的平面截取，得到与柱面准线形状一致的截线。
故表示位于平面 $x=1$ 内的双曲线。
(4) $\begin{cases} z = x^2 + 4y^2, \\ z = 1. \end{cases}$
将 $z=1$ 代入第一式得 $x^2 + 4y^2 = 1$。
故表示位于平面 $z=1$ 内的一个椭圆。
8. 试求以下投影曲线或投影.
(1) 两球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 和 $x^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 1$ 的交线在 $xOy$ 面上的投影曲线.
将两个方程相减以消去所有平方项，得到交线所在的平面方程：
$$[x^2 + y^2 + z^2] - [x^2 + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 - 2z + 1)] = 0$$$$2y + 2z - 2 = 0 \Rightarrow z = 1 - y$$将 $z = 1 - y$ 代入第一个球面方程以消去 $z$：
$$x^2 + y^2 + (1-y)^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 2y^2 - 2y + 1 = 1$$整理并配方得投影柱面方程：$x^2 + 2\left(y-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2}$。
投影曲线方程需同时限制在投影面上，结果为：
$\begin{cases} x^2 + 2y^2 - 2y = 0 \\ z = 0 \end{cases}$
(2) 上半球 $0 \leqslant z \leqslant \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ 与圆柱 $x^2 + y^2 \leqslant ax$ ($a>0$) 的公共部分在 $xOy$ 面和 $zOx$ 面上的投影.
此立体位于圆柱的内部，且其最大延伸范围受限于圆柱体底面，而 $x^2 + y^2 \leqslant ax$（即 $(x-\frac{a}{2})^2 + y^2 \leqslant \frac{a^2}{4}$）完全包含在 $x^2+y^2 \leqslant a^2$ 中。
在 $xOy$ 面上的投影区域为圆柱面的底面：
$\begin{cases} x^2 + y^2 \leqslant ax \\ z = 0 \end{cases}$
为了求在 $zOx$ 面上的投影，观察侧向轮廓线。对于每一个 $x \in [0, a]$，$y$ 的最大跨度由柱面决定：$y^2 \leqslant ax - x^2$。
当在某一个 $x$ 处考察 $z$ 的上界时，代入球方程得 $z^2 = a^2 - x^2 - y^2$。为了取到立体投影的轮廓边界，$y^2$ 必须取柱面所允许的最大值 $ax - x^2$：
$$z^2 \leqslant a^2 - x^2 - (ax - x^2) = a^2 - ax$$所以在 $zOx$ 面上的投影区域为：
$\begin{cases} 0 \leqslant z \leqslant \sqrt{a^2 - ax} \\ 0 \leqslant x \leqslant a \\ y = 0 \end{cases}$
(3) 旋转抛物面 $z = x^2 + y^2 \ (0 \leqslant z \leqslant 1)$ 在 3 个坐标面上的投影.
在 $xOy$ 面上：截取该抛物面最宽处即为最高点 $z=1$ 处的截面，向 $xOy$ 面投影是一个实心圆盘：
$\begin{cases} x^2 + y^2 \leqslant 1 \\ z = 0 \end{cases}$
在 $xOz$ 面上：使 $y=0$ 以获取横向投影的最大轮廓边界，此时边界曲线为抛物线 $z = x^2$。因 $0 \leqslant z \leqslant 1$，投影区域为包络在抛物线内的块：
$\begin{cases} z \geqslant x^2 \\ 0 \leqslant z \leqslant 1 \\ y = 0 \end{cases}$
在 $yOz$ 面上：同理，令 $x=0$，投影区域为：
$\begin{cases} z \geqslant y^2 \\ 0 \leqslant z \leqslant 1 \\ x = 0 \end{cases}$
(4) 锥面 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ 与柱面 $z^2 = 2x$ 所围立体在 3 个坐标面上的投影.
先求两曲面的交线投影：将 $z^2$ 代换，得 $x^2+y^2 = 2x \Rightarrow (x-1)^2 + y^2 = 1$。立体的底面投影界限正是这个圆。
在 $xOy$ 面上的投影区域即为此圆区域：
$\begin{cases} (x-1)^2 + y^2 \leqslant 1 \\ z = 0 \end{cases}$
在 $xOz$ 面上的投影：消去 $y$ 获取轮廓界限。立体的下界为锥面 $z \geqslant \sqrt{x^2+y^2} \geqslant x$ (当 $y=0$ 时取得下沿)，上界为抛物柱面 $z \leqslant \sqrt{2x}$。圆的定义域限 定了 $x \in [0, 2]$。
所以投影区域为：
$\begin{cases} x \leqslant z \leqslant \sqrt{2x} \\ 0 \leqslant x \leqslant 2 \\ y = 0 \end{cases}$
在 $yOz$ 面上的投影：消去 $x$ 获取轮廓界限。由抛物柱面上界得 $x = \frac{z^2}{2}$。由于 $z$ 在立体内处于锥面上方，将其代入锥面平方式 $z^2 = x^2 + y^2$：
$$z^2 = \left(\frac{z^2}{2}\right)^2 + y^2 \Rightarrow y^2 = z^2 - \frac{z^4}{4}$$结合 $x \in [0,2]$ 知 $z$ 的最大高度为 $2$。
所以投影区域为：
$\begin{cases} |y| \leqslant \frac{z}{2}\sqrt{4 - z^2} \\ 0 \leqslant z \leqslant 2 \\ x = 0 \end{cases}$