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Advanced Mathematics
自编教材课后习题
第7章 空间解析集合与向量代数
第1节 向量及其运算

第1节 向量及其运算

一、基础题

1. 指出在空间直角坐标系中下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限.

$A(1,-2,-3)$，$B(0,2,1)$，$C(0,-2,0)$，$D(1,4,-2)$.

  • 点 $A(1,-2,-3)$：横坐标 $x>0$，纵坐标 $y<0$，竖坐标 $z<0$，位于第八卦限。

  • 点 $B(0,2,1)$：横坐标 $x=0$ 且 $y>0, z>0$，位于 $yOz$ 坐标面上。

  • 点 $C(0,-2,0)$：横坐标 $x=0$，竖坐标 $z=0$ 且 $y<0$，位于 **$y$ 轴（负半轴）**上。

  • 点 $D(1,4,-2)$：横坐标 $x>0$，纵坐标 $y>0$，竖坐标 $z<0$，位于第五卦限。

2. 分别写出点 $A(a,b,c)$ 关于 $yOz$ 面、$x$ 轴、原点 $O$ 的对称点的坐标.

  • 关于 $yOz$ 面对称，则 $x$ 坐标变号，$y, z$ 坐标不变，对称点坐标为 $(-a, b, c)$。

  • 关于 $x$ 轴对称，则 $x$ 坐标不变，$y, z$ 坐标变号，对称点坐标为 $(a, -b, -c)$。

  • 关于原点 $O$ 对称，则 $x, y, z$ 坐标全部变号，对称点坐标为 $(-a, -b, -c)$。

3. 求点 $P(1,-2,-3)$ 到各坐标轴的距离.

点 $P(x,y,z)$ 到 $x, y, z$ 轴的距离公式分别为 $d_x = \sqrt{y^2+z^2}$, $d_y = \sqrt{x^2+z^2}$, $d_z = \sqrt{x^2+y^2}$。

  • 到 $x$ 轴的距离：$d_x = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} =$ $\sqrt{13}$

  • 到 $y$ 轴的距离：$d_y = \sqrt{1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+9} =$ $\sqrt{10}$

  • 到 $z$ 轴的距离：$d_z = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} =$ $\sqrt{5}$

4. 设向量 $\boldsymbol{r}$ 的模是 4，它与 $u$ 轴的夹角是 $\frac{\pi}{3}$，求 $\boldsymbol{r}$ 在 $u$ 轴上的投影.

根据投影的定义：

$\text{Prj}_u \boldsymbol{r} = |\boldsymbol{r}| \cos(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{u}) = 4 \cos\frac{\pi}{3} = 4 \times \frac{1}{2} =$ $2$

5. 设 $\boldsymbol{m}=3\boldsymbol{i}+5\boldsymbol{j}+8\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{n}=2\boldsymbol{i}-4\boldsymbol{j}-7\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{p}=5\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-4\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{a}=4\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}-\boldsymbol{p}$，求向量 $\boldsymbol{a}$ 在 $x$ 轴上的投影和在 $y$ 轴上的投影向量.

先计算出向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标：

$\boldsymbol{a} = 4(3,5,8) + 3(2,-4,-7) - (5,1,-4) = (12,20,32) + (6,-12,-21) - (5,1,-4)$

$\boldsymbol{a} = (12+6-5, 20-12-1, 32-21+4) = (13, 7, 15)$

  • 向量 $\boldsymbol{a}$ 在 $x$ 轴上的投影即为其 $x$ 坐标值，故为 $13$。

  • 向量 $\boldsymbol{a}$ 在 $y$ 轴上的投影向量为其 $y$ 坐标与 $\boldsymbol{j}$ 的乘积，故为 $(0, 7, 0)$ 或 $7\boldsymbol{j}$。

6. 求向量 $\boldsymbol{a}=4\boldsymbol{i}-3\boldsymbol{j}+4\boldsymbol{k}$ 在向量 $\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}-3\boldsymbol{k}$ 上的投影.

利用公式 $\text{Prj}_{\boldsymbol{b}} \boldsymbol{a} = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$ 进行计算：

$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 4 \times 2 + (-3) \times 1 + 4 \times (-3) = 8 - 3 - 12 = -7$

$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$

投影为：$-\frac{\sqrt{14}}{2}$ （或写为 $-\frac{7}{\sqrt{14}}$）

7. 在 $yOz$ 面上，求与已知点 $A(3,1,2)$、$B(4,-2,-2)$、$C(0,5,1)$ 等距离的点的坐标.

设所求点为 $P$，因为它在 $yOz$ 面上，故可设 $P(0, y, z)$。由 $|PA| = |PB| = |PC|$ 可得 $|PA|^2 = |PB|^2 = |PC|^2$：

$|PA|^2 = (0-3)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = y^2 + z^2 - 2y - 4z + 14$

$|PB|^2 = (0-4)^2 + (y+2)^2 + (z+2)^2 = y^2 + z^2 + 4y + 4z + 24$

$|PC|^2 = (0-0)^2 + (y-5)^2 + (z-1)^2 = y^2 + z^2 - 10y - 2z + 26$

联立方程：

① 由 $|PA|^2 = |PB|^2$ 得：$-2y - 4z + 14 = 4y + 4z + 24 \Rightarrow 6y + 8z = -10 \Rightarrow 3y + 4z = -5$

② 由 $|PA|^2 = |PC|^2$ 得：$-2y - 4z + 14 = -10y - 2z + 26 \Rightarrow 8y - 2z = 12 \Rightarrow z = 4y - 6$

将 ② 代入 ①：$3y + 4(4y - 6) = -5 \Rightarrow 19y = 19 \Rightarrow y = 1$

将 $y = 1$ 代入 $z = 4y - 6$ 得 $z = -2$。

因此，该点坐标为 $(0, 1, -2)$。

8. 已知两点 $M_1(4,\sqrt{2},1)$ 和 $M_2(3,0,2)$，试计算向量 $\overrightarrow{M_1M_2}$ 的模、方向余弦、方向角及与向量 $\overrightarrow{M_1M_2}$ 平行的单位向量.

$\overrightarrow{M_1M_2} = (3-4, 0-\sqrt{2}, 2-1) = (-1, -\sqrt{2}, 1)$

  • 模：$|\overrightarrow{M_1M_2}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 2 + 1} =$ $2$

  • 方向余弦：$\cos\alpha = \frac{-1}{2} =$ $-\frac{1}{2}$, $\cos\beta = \frac{-\sqrt{2}}{2} =$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos\gamma = \frac{1}{2} =$ $\frac {1}{2}$

  • 方向角（取 $[0,\pi]$ 范围）：$\alpha =$ $\frac{2\pi}{3}$, $\beta =$ $\frac{3\pi}{4}$, $\gamma =$ $\frac{\pi}{3}$

  • 平行的单位向量（含同向与反向）：$\pm \frac{\overrightarrow{M_1M_2}}{|\overrightarrow{M_1M_2}|} =$ $\pm\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$

9. 已知 3 个点 $M(1,1,1)$、$A(2,2,1)$ 和 $B(2,1,2)$，求 $\angle AMB$.

首先求出由点 $M$ 出发的两向量：

$\overrightarrow{MA} = (2-1, 2-1, 1-1) = (1, 1, 0)$，模长 $|\overrightarrow{MA}| = \sqrt{1^2+1^2+0} = \sqrt{2}$

$\overrightarrow{MB} = (2-1, 1-1, 2-1) = (1, 0, 1)$，模长 $|\overrightarrow{MB}| = \sqrt{1^2+0+1^2} = \sqrt{2}$

其数量积：$\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 1 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 1 = 1$

$\cos \angle AMB = \frac{\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}| |\overrightarrow{MB}|} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1} {2}$

因此，$\angle AMB = \frac{\pi}{3}$。

二、提高题

10. 已知 $\boldsymbol{a}=(1,1,-4)$，$\boldsymbol{b}=(1,-2,2)$，求：(1) $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$; (2) $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角; (3)$\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 上的投影.

(1) $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 1 \times 1 + 1 \times (-2) + (-4) \times 2 = 1 - 2 - 8 =$ $-9$

(2) $|\boldsymbol{a}| = \sqrt{1^2+1^2+(-4)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

$|\boldsymbol{b}| = \sqrt{1^2+(-2)^2+2^2} = \sqrt{9} = 3$

设夹角为 $\theta$，$\cos\theta = \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \frac{-9}{3\sqrt{2} \times 3} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

故夹角 $\theta =$ $\frac{3\pi}{4}$。

(3) $\text{Prj}_{\boldsymbol{b}} \boldsymbol{a} = \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|} = \frac{-9}{3} =$ $-3$。

11. 设 $\boldsymbol{c}=2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{d}=3\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$，$|\boldsymbol{a}|=2$，$|\boldsymbol{b}|=1$，向量$\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\frac{2\pi}{3}$，求 $\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{d}$.

先求 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = |\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\frac{2\pi}{3} = 2 \times 1 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$

展开所求式：

$\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{d} = (2\boldsymbol{a}+3\boldsymbol{b}) \cdot (3\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = 6\boldsymbol{a}^2 - 2\boldsymbol{a} \cdot\boldsymbol{b} + 9\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} - 3\boldsymbol{b}^2$

$= 6|\boldsymbol{a}|^2 + 7\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} - 3|\boldsymbol{b}|^2$

代入数值：$= 6(2^2) + 7(-1) - 3(1^2) = 24 - 7 - 3 =$ $14$。

12. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,-1,2)$，$\boldsymbol{b}=(2,1,-1)$，求同时垂直于 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的单位向量.

计算两向量的叉积：

$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end {vmatrix} = \boldsymbol{i}(1-2) - \boldsymbol{j}(-1-4) + \boldsymbol{k}(1-(-2)) = (-1, 5, 3)$

模长 $|\boldsymbol{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{1+25+9} = \sqrt{35}$

单位化（方向可正可负）：$\pm \left(-\frac{\sqrt{35}}{35}, \frac{5\sqrt{35}}{35}, \frac{3\sqrt{35}}{35}\right)$。

13. 设 $\boldsymbol{a}=2\boldsymbol{i}-3\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+3\boldsymbol{k}$，$\boldsymbol{c}=\boldsymbol{i}-2\boldsymbol{j}$，求 $(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}$.

根据向量三重积公式：$(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c} = (\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b} - (\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol {c})\boldsymbol{a}$

先计算点积（其中 $\boldsymbol{c} = (1, -2, 0)$）：

$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c} = (2, -3, 1) \cdot (1, -2, 0) = 2 + 6 + 0 = 8$

$\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c} = (1, -1, 3) \cdot (1, -2, 0) = 1 + 2 + 0 = 3$

代入公式计算：

$8\boldsymbol{b} - 3\boldsymbol{a} = 8(1, -1, 3) - 3(2, -3, 1) = (8, -8, 24) - (6, -9, 3) =$ $(2, 1, 21)$ （或写作 $2\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+21\boldsymbol{k}$）。

14. 若向量 $\boldsymbol{a}$ 与向量 $\boldsymbol{b}=2\boldsymbol{i}-\boldsymbol{j}+2\boldsymbol{k}$ 共线，且满足关系 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-18$，求$\boldsymbol{a}$.

因为 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线，可设 $\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{b}$。

则 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = (\lambda \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{b} = \lambda |\boldsymbol{b}|^2$。

已知 $\boldsymbol{b} = (2, -1, 2)$，故 $|\boldsymbol{b}|^2 = 2^2 + (-1)^2 + 2^2 = 9$。

代入关系式：$9\lambda = -18 \Rightarrow \lambda = -2$。

故 $\boldsymbol{a} = -2(2, -1, 2) =$ $(-4, 2, -4)$ （或写作 $-4\boldsymbol{i}+2\boldsymbol{j}-4\boldsymbol{k}$）。

15. 已知空间中的 4 点 $A(1,-2,3)$、$B(4,-4,-3)$、$C(2,4,3)$、$D(8,6,6)$，求：(1) $\triangle ABC$ 的面积; (2) 以 $A, B, C, D$ 为 4 个顶点的四面体的体积.

先求出以 $A$ 为起点的三个向量：

$\overrightarrow{AB} = (3, -2, -6)$，$\overrightarrow{AC} = (1, 6, 0)$，$\overrightarrow{AD} = (7, 8, 3)$

(1) $\triangle ABC$ 面积 $S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$。

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 3 & -2 & -6 \\ 1 & 6 & 0 \end{vmatrix} = (0-(-36))\boldsymbol{i} - (0-(-6))\boldsymbol{j} + (18-(-2))\boldsymbol{k} = (36, -6, 20)$

$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{36^2 + (-6)^2 + 20^2} = \sqrt{1296 + 36 + 400} = \sqrt{1732} = 2\sqrt{433}$

因此 $S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{433} =$ $\sqrt{433}$。

(2) 四面体体积 $V = \frac{1}{6} |(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD}|$（混合积绝对值的六分之一）。

$(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}) \cdot \overrightarrow{AD} = (36, -6, 20) \cdot (7, 8, 3) = 36(7) + (-6)(8) + 20(3) = 252 - 48 + 60 = 264$

因此 $V = \frac{264}{6} =$ $44$。

**16. 证明：对任何向量都有

(1) $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| \leqslant |\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$;

(2) $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2 = 2(|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2)$.**

证明 (1)：

计算 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2$ 的值：

$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}* |\boldsymbol{b}|^2 = |\boldsymbol{a}|^2 + 2|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta + |\boldsymbol{b}|^2$（其中 $\theta$ 为向量夹角）。

因为 $\cos\theta \leqslant 1$，所以有：

$|\boldsymbol{a}|^2 + 2|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta + |\boldsymbol{b}|^2 \leqslant |\boldsymbol{a}|^2 + 2|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| + |\boldsymbol{b}|^2 = (|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|)^2$

即 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 \leqslant (|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|)^2$。

由于模长均为非负数，两边开平方即可得到：$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| \leqslant |\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|$。原命题得证（此即三角不等式）。

证明 (2)：

分别将等号左边的两项展开：

$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}* |\boldsymbol{b}|^2$

$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2 = (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) = |\boldsymbol{a}|^2 - 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}* |\boldsymbol{b}|^2$

将上述两式相加，中间交叉项 $2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$ 与 $-2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$ 相互抵消：

$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2 + |\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^2 = (|\boldsymbol{a}|^2 + 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2) + (| \boldsymbol{a}|^2 - 2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} + |\boldsymbol{b}|^2) = 2|\boldsymbol{a}|^2 + 2|\boldsymbol{b}|^2 = 2(|\boldsymbol{a}|^2+|\boldsymbol{b}|^2) $。

原命题得证（此即平行四边形法则等式）。

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