第4节 高阶线性微分方程
17，18 待校验
一、基础题
1. 设 $e^x, x^2e^x$ 是某二阶齐次线性微分方程的两个特解，证明它们是线性无关的，并求该微分方程的通解.
设有常数 $c_1, c_2$ 使得 $c_1 e^x + c_2 x^2 e^x = 0$ 恒成立。
等式两边同除以 $e^x$ (因为 $e^x \neq 0$)，得到 $c_1 + c_2 x^2 = 0$。
对该式关于 $x$ 求导两次，得 $2c_2 = 0 \Rightarrow c_2 = 0$。
将 $c_2 = 0$ 代回，得到 $c_1 = 0$。
因为只有当 $c_1=c_2=0$ 时等式才成立，所以 $e^x$ 与 $x^2e^x$ 线性无关。
根据线性微分方程解的结构定理，该微分方程的通解为特解的线性组合：
$$y = C_1 e^x + C_2 x^2 e^x$$2. 设 $y_1$ 和 $y_2$ 线性无关，且 $A_1 B_2 - A_2 B_1 \neq 0$，证明：$A_1 y_1 + A_2 y_2$ 与 $B_1 y_1 + B_2 y_2$ 线性无关.
设有常数 $k_1, k_2$ 使得 $k_1 (A_1 y_1 + A_2 y_2) + k_2 (B_1 y_1 + B_2 y_2) = 0$ 恒成立。
整理得：$(k_1 A_1 + k_2 B_1)y_1 + (k_1 A_2 + k_2 B_2)y_2 = 0$。
因为 $y_1, y_2$ 线性无关，所以它们的系数必须为零，即：
$$\begin{cases} k_1 A_1 + k_2 B_1 = 0 \\ k_1 A_2 + k_2 B_2 = 0 \end{cases}$$这是一个关于 $k_1, k_2$ 的齐次线性方程组。其系数行列式为：
$$\Delta = \begin{vmatrix} A_1 & B_1 \\ A_2 & B_2 \end{vmatrix} = A_1 B_2 - A_2 B_1$$已知 $A_1 B_2 - A_2 B_1 \neq 0$，即系数行列式不为零，根据克莱姆法则，该方程组只有唯一零解 $k_1 = k_2 = 0$。
因此，$A_1 y_1 + A_2 y_2$ 与 $B_1 y_1 + B_2 y_2$ 线性无关。
3. 求下列二阶齐次线性微分方程的通解：
(1) $y''+4y'+4y=0$
特征方程为 $r^2+4r+4=0$，解得二重根 $r_1=r_2=-2$。
通解为：
$$y = (C_1 + C_2 x)e^{-2x}$$(2) $y''+y=0$
特征方程为 $r^2+1=0$，解得一对共轭复根 $r=\pm i$。
通解为：
$$y = C_1 \cos x + C_2 \sin x$$(3) $y''+y'-2y=0$
特征方程为 $r^2+r-2=0$，解得两个不相等的实根 $r_1=1, r_2=-2$。
通解为：
$$y = C_1 e^x + C_2 e^{-2x}$$(4) $y''-4y'+5y=0$
特征方程为 $r^2-4r+5=0$，解得一对共轭复根 $r = \frac{4 \pm \sqrt{16-20}}{2} = 2 \pm i$。
通解为：
$$y = e^{2x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x)$$4. 求下列二阶非齐次线性微分方程的通解：
(1) $2y''+y'-y=3e^x$
特征方程 $2r^2+r-1=0$，解得 $r_1=1/2, r_2=-1$。齐次通解 $y_h = C_1 e^{x/2} + C_2 e^{-x}$。
因为 $\alpha=1$ 不是特征根，设特解 $y^* = A e^x$。代入方程：
$2A e^x + A e^x - A e^x = 3e^x \Rightarrow 2A = 3 \Rightarrow A = \frac{3}{2}$。
通解为：
$$y = C_1 e^{x/2} + C_2 e^{-x} + \frac{3}{2}e^x$$(2) $y''+y'=2x$
特征方程 $r^2+r=0$，解得 $r_1=0, r_2=-1$。齐次通解 $y_h = C_1 + C_2 e^{-x}$。
因为 $\alpha=0$ 是单实根，设特解 $y^* = x(Ax+B) = Ax^2+Bx$。
$y^{*'} = 2Ax+B, y^{*''} = 2A$。代入方程：
$2A + 2Ax+B = 2x \Rightarrow 2A=2, 2A+B=0 \Rightarrow A=1, B=-2$。
通解为：
$$y = C_1 + C_2 e^{-x} + x^2 - 2x$$(3) $y''+6y'+8y=4-6x$
特征方程 $r^2+6r+8=0$，解得 $r_1=-2, r_2=-4$。
$\alpha=0$ 不是特征根，设特解 $y^* = Ax+B$。代入方程：
$0 + 6A + 8(Ax+B) = -6x + 4 \Rightarrow 8A=-6, 6A+8B=4 \Rightarrow A=-\frac{3}{4}, B=\frac{17}{16}$。
通解为：
$$y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-4x} - \frac{3}{4}x + \frac{17}{16}$$(4) $y''+a^2y=e^x (a>0)$
特征方程 $r^2+a^2=0$，解得 $r = \pm ai$。
$\alpha=1$ 不是特征根，设特解 $y^* = A e^x$。代入方程：
$A e^x + a^2 A e^x = e^x \Rightarrow A(1+a^2) = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{1+a^2}$。
通解为：
$$y = C_1 \cos ax + C_2 \sin ax + \frac{1}{1+a^2}e^x$$(5) $y''-4y'+4y=\sin x$
特征方程 $r^2-4r+4=0$，解得 $r_{1,2}=2$。
$\alpha=\pm i$ 不是特征根，设特解 $y^* = A\cos x + B\sin x$。
代入方程整理得：$(3A-4B)\cos x + (4A+3B)\sin x = \sin x$。
联立得 $3A-4B=0, 4A+3B=1 \Rightarrow A=4/25, B=3/25$。
通解为：
$$y = (C_1+C_2 x)e^{2x} + \frac{4}{25}\cos x + \frac{3}{25}\sin x$$(6) $y''+2y'-3y=e^{-3x}$
特征方程 $r^2+2r-3=0$，解得 $r_1=1, r_2=-3$。
$\alpha=-3$ 是单特征根，设特解 $y^* = Ax e^{-3x}$。
$y^{*'} = A(1-3x)e^{-3x}, y^{*''} = A(-6+9x)e^{-3x}$。代入方程：
$A(-6+9x) + 2A(1-3x) - 3Ax = 1 \Rightarrow -4A = 1 \Rightarrow A = -\frac{1}{4}$。
通解为：
$$y = C_1 e^x + C_2 e^{-3x} - \frac{1}{4}x e^{-3x}$$5. 求下列微分方程初值问题的解：
(1) $y''-3y'+2y=0, y(0)=1, y'(0)=2$
特征方程 $r^2-3r+2=0 \Rightarrow r_1=1, r_2=2$。
通解 $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$，导数 $y' = C_1 e^x + 2C_2 e^{2x}$。
代入初值：$C_1+C_2=1, C_1+2C_2=2 \Rightarrow C_1=0, C_2=1$。
解为：
$$y = e^{2x}$$(2) $y''-10y'+9y=e^{2x}, y(0)=\frac{6}{7}, y'(0)=\frac{33}{7}$
特征根 $r_1=1, r_2=9$。设特解 $y^* = Ae^{2x}$，代入得 $(4-20+9)A=1 \Rightarrow A=-1/7$。
通解 $y = C_1 e^x + C_2 e^{9x} - \frac{1}{7}e^{2x}$。
代入初值：$C_1+C_2-1/7 = 6/7 \Rightarrow C_1+C_2=1$。
$y' = C_1 e^x + 9C_2 e^{9x} - \frac{2}{7}e^{2x} \Rightarrow C_1+9C_2-2/7 = 33/7 \Rightarrow C_1+9C_2=5$。
解得 $C_2=1/2, C_1=1/2$。
解为：
$$y = \frac{1}{2}e^x + \frac{1}{2}e^{9x} - \frac{1}{7}e^{2x}$$(3) $y''+y=\frac{1}{2}\cos x, y(0)=1, y'(0)=1$
特征根 $r=\pm i$。因为激励项频率与特征根重合，设特解 $y^* = x(A\cos x+B\sin x)$。
$y^{*''}+y^* = -2A\sin x+2B\cos x = \frac{1}{2}\cos x \Rightarrow A=0, B=1/4$。
通解 $y = C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{1}{4}x\sin x$。
$y(0) = C_1 = 1$。
$y' = -C_1\sin x+C_2\cos x + \frac{1}{4}(\sin x+x\cos x) \Rightarrow y'(0) = C_2 = 1$。
解为：
$$y = \cos x + \sin x + \frac{1}{4}x\sin x$$(4) $y''-y=4xe^x, y(0)=0, y'(0)=1$
特征根 $r_1=1, r_2=-1$。$\alpha=1$ 为单实根，设特解 $y^* = x(Ax+B)e^x = (Ax^2+Bx)e^x$。
求导并代入得 $y^{*''}-y^* = (4Ax+2A+2B)e^x = 4xe^x \Rightarrow 4A=4, 2A+2B=0 \Rightarrow A=1, B=-1$。
通解 $y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + (x^2-x)e^x$。
$y(0) = C_1+C_2=0 \Rightarrow C_2 = -C_1$。
$y' = C_1 e^x - C_2 e^{-x} + (x^2+x-1)e^x \Rightarrow y'(0) = C_1-C_2-1=1 \Rightarrow C_1-C_2=2$。
解得 $C_1=1, C_2=-1$。
解为：
$$y = e^x - e^{-x} + (x^2-x)e^x$$6. 求下列高阶线性微分方程的通解：
(1) $y^{(4)}-y=0$
特征方程 $r^4-1=0 \Rightarrow r=\pm 1, \pm i$。
通解为：
$$y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + C_3 \cos x + C_4 \sin x$$(2) $y^{(4)}-2y'''+y''=0$
特征方程 $r^4-2r^3+r^2=0 \Rightarrow r^2(r-1)^2=0 \Rightarrow r=0$ (二重), $r=1$ (二重)。
通解为：
$$y = C_1 + C_2 x + (C_3 + C_4 x)e^x$$(3) $y^{(4)}+5y''-36y=0$
特征方程 $r^4+5r^2-36=0 \Rightarrow (r^2+9)(r^2-4)=0 \Rightarrow r=\pm 3i, \pm 2$。
通解为：
$$y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + C_3 \cos 3x + C_4 \sin 3x$$(4) $y^{(4)}+2y''+y=0$
特征方程 $r^4+2r^2+1=0 \Rightarrow (r^2+1)^2=0 \Rightarrow r=\pm i$ (各二重)。
通解为：
$$y = (C_1 + C_2 x)\cos x + (C_3 + C_4 x)\sin x$$7. 设方程 $y'''+6y''+(9+a^2)y'=1$，其中常数 $a>0$，求其通解.
特征方程 $r^3+6r^2+(9+a^2)r = r[(r+3)^2+a^2] = 0 \Rightarrow r_1=0, r_{2,3}=-3\pm ai$。
因为常数项 $1$ 对应的 $\alpha=0$ 是单根，设特解 $y^* = Ax$。
代入得 $(9+a^2)A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{9+a^2}$。
通解为：
$$y = C_1 + e^{-3x}(C_2 \cos ax + C_3 \sin ax) + \frac{x}{9+a^2}$$8. 设函数 $y=f(x)$ 满足微分方程 $y''-3y'+2y=2e^x$，且其图形在点 $(0,1)$ 处的切线与曲线 $y=x^2-x+1$ 在该点的切线重合，求函数 $y=f(x)$.
特征方程 $r^2-3r+2=0 \Rightarrow r=1,2$。齐次通解为 $C_1 e^x + C_2 e^{2x}$。
$\alpha=1$ 为单实根，设特解 $y^* = Ax e^x$。代入得 $A(x+2) - 3A(x+1) + 2Ax = 2 \Rightarrow -A=2 \Rightarrow A=-2$。
通解为 $y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} - 2x e^x$。
切点重合意味着 $y(0)=1$，且 $y'(0) = (x^2-x+1)'|_{x=0} = -1$。
$y(0) = C_1+C_2 = 1$。
$y' = C_1 e^x + 2C_2 e^{2x} - 2(x+1)e^x \Rightarrow y'(0) = C_1+2C_2-2 = -1 \Rightarrow C_1+2C_2 = 1$。
联立解得 $C_1=1, C_2=0$。
函数为：
$$y = e^x - 2xe^x = (1-2x)e^x$$9. 已知 $y_1=e^x$ 是齐次方程 $(2x-1)y''-(2x+1)y'+2y=0$ 的一个解，求此方程的通解.
设 $y = y_1 u = e^x u$，则 $y'=e^x(u+u'), y''=e^x(u+2u'+u'')$。代入原方程并整理消去 $e^x$ 得：
$(2x-1)(u''+2u'+u) - (2x+1)(u+u') + 2u = 0 \Rightarrow (2x-1)u'' + (2x-3)u' = 0$。
设 $v=u'$，则 $\frac{dv}{v} = -\frac{2x-3}{2x-1}dx = (-1 + \frac{2}{2x-1})dx$。
积分得 $\ln|v| = -x + \ln|2x-1| \Rightarrow v = (2x-1)e^{-x}$。
即 $u' = (2x-1)e^{-x}$，积分求得 $u = \int (2x-1)e^{-x}dx = -(2x+1)e^{-x} + C_1$。
则 $y = e^x[-(2x+1)e^{-x} + C_1] = C_1 e^x - (2x+1)$。
通解为：
$$y = C_1 e^x + C_2(2x+1)$$二、提高题
10. 设函数 $\varphi(x)$ 连续，且满足 $\varphi(x)=e^x+\int_0^x t\varphi(t)dt - x\int_0^x \varphi(t)dt$，求 $\varphi(x)$.
将积分式变形：$\varphi(x)=e^x+\int_0^x (t-x)\varphi(t)dt$。
对 $x$ 求导：$\varphi'(x) = e^x - \int_0^x \varphi(t)dt$。
再次对 $x$ 求导：$\varphi''(x) = e^x - \varphi(x) \Rightarrow \varphi''(x) + \varphi(x) = e^x$。
将 $x=0$ 代入原方程和一阶导数式，得初值：$\varphi(0)=1, \varphi'(0)=1$。
微分方程 $\varphi''+\varphi=e^x$ 的通解为 $\varphi(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{1}{2}e^x$。
代入初值 $\varphi(0) = C_1+1/2=1 \Rightarrow C_1=1/2$；$\varphi'(0) = C_2+1/2=1 \Rightarrow C_2=1/2$。
函数为：
$$\varphi(x) = \frac{1}{2}(\cos x + \sin x + e^x)$$11. 设 $f(0)=0, f'(x)=1+\int_0^x [6\sin^2 t - f(t)]dt$，其中 $f$ 为二阶可微函数，求 $f(x)$.
对等式两边求导：$f''(x) = 6\sin^2 x - f(x) \Rightarrow f''(x)+f(x) = 3 - 3\cos 2x$。
且由原等式知 $f'(0) = 1$。已知 $f(0)=0$。
方程 $f''+f = 3 - 3\cos 2x$ 对应的齐次通解为 $C_1\cos x+C_2\sin x$。
特解：对常数 $3$，特解为 $3$；对 $-3\cos 2x$，设特解 $A\cos 2x$，代入得 $-4A+A=-3 \Rightarrow A=1$，即 $\cos 2x$。
通解 $f(x) = C_1\cos x+C_2\sin x + 3 + \cos 2x$。
$f(0) = C_1+3+1=0 \Rightarrow C_1=-4$。
$f'(x) = 4\sin x+C_2\cos x - 2\sin 2x \Rightarrow f'(0) = C_2=1$。
函数为：
$$f(x) = -4\cos x + \sin x + \cos 2x + 3$$12. 设方程 $y''+a^2y=\sin x$，其中常数 $a>0$，求其通解.
特征根 $r = \pm ai$。
当 $a \neq 1$ 时，$\pm i$ 不是特征根，设特解 $y^* = A\sin x$。代入得 $-A+a^2A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{a^2-1}$。
此时通解为：
$$y = C_1 \cos ax + C_2 \sin ax + \frac{1}{a^2-1}\sin x$$当 $a = 1$ 时，方程为 $y''+y=\sin x$，特征根与激励项共振。设特解 $y^* = x(A\cos x+B\sin x)$。
代入得 $-2A\sin x+2B\cos x = \sin x \Rightarrow A=-1/2, B=0$，即 $y^*=-\frac{1}{2}x\cos x$。
此时通解为：
$$y = C_1 \cos x + C_2 \sin x - \frac{1}{2}x\cos x$$13. 设方程 $y''-2y'+y=1+x+2(3x^2-2)e^x$，求其通解.
特征方程 $(r-1)^2=0 \Rightarrow r_1=r_2=1$。
右端项分拆为两部分。对于 $1+x$，设特解 $y_1^* = Ax+B$，代入得 $A=1, B=3 \Rightarrow y_1^* = x+3$。
对于 $(6x^2-4)e^x$，因为 $\alpha=1$ 是二重特征根，设特解 $y_2^* = x^2(Ax^2+Bx+C)e^x$。更简便的方法是令 $y_2^* = u e^x$：
代入方程得 $e^x u'' = (6x^2-4)e^x \Rightarrow u'' = 6x^2-4 \Rightarrow u = \frac{1}{2}x^4 - 2x^2$。
所以 $y_2^* = (\frac{1}{2}x^4 - 2x^2)e^x$。
通解为：
$$y = (C_1 + C_2 x)e^x + (\frac{1}{2}x^4 - 2x^2)e^x + x + 3$$14. 设长度为 $l$ 的弹簧，其上端固定，将5个质量都为 $m$ 的重物同时挂于弹簧下端，使弹簧伸长 $5a$。现突然取去其中的一个重物，使弹簧由静止状态开始振动，若不计弹簧本身重量，求所挂重物的运动规律.
设弹簧劲度系数为 $k$。挂5个重物时平衡，有 $5mg = k(5a) \Rightarrow k = mg/a$。
去掉1个重物后，剩余质量为 $4m$。以此时新的平衡位置为坐标原点 $x=0$（向下为正），新的平衡位置对应的弹簧伸长量为 $\Delta x = 4mg/k = 4a$。
运动方程为 $4m \ddot{x} = -kx \Rightarrow \ddot{x} + \frac{g}{4a}x = 0$。
解为 $x(t) = C_1 \cos(\sqrt{\frac{g}{4a}}t) + C_2 \sin(\sqrt{\frac{g}{4a}}t)$。
初始时刻（去掉重物的瞬间），重物位于原平衡位置，即坐标 $x(0) = 5a - 4a = a$。且初速度为 0，即 $\dot{x}(0) = 0$。
代入得 $C_1 = a, C_2 = 0$。
若以新平衡位置为原点，重物运动规律为：
$$x(t) = a \cos\left(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{g}{a}} t\right)$$三、考研真题
15. (2015212) 设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y''+y'-2y=0$ 的解，且有极值 $y(0)=3$，则 $y(x)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$.
特征根 $r_1=1, r_2=-2 \Rightarrow y = C_1 e^x + C_2 e^{-2x}$。
极值条件意味着 $y'(0)=0$ 且 $y(0)=3$。
$y(0) = C_1+C_2 = 3$。
$y' = C_1 e^x - 2C_2 e^{-2x} \Rightarrow y'(0) = C_1-2C_2 = 0 \Rightarrow C_1=2C_2$。
解得 $C_2=1, C_1=2$。
结果填：$2e^x + e^{-2x}$
16. (2008203) 在下列微分方程中，以 $y=C_1e^x+C_2\cos 2x+C_3\sin 2x$ 为通解的是( )
由通解形式可知，特征根为 $r_1=1, r_{2,3}=\pm 2i$。
其对应的特征方程为 $(r-1)(r^2+4) = 0 \Rightarrow r^3 - r^2 + 4r - 4 = 0$。
对应的微分方程为 $y''' - y'' + 4y' - 4y = 0$。
选 D。
17. (2006210) 函数 $y=C_1e^x+C_2e^{-2x}+xe^x$ 满足的一个微分方程是( )
由齐次解部分 $C_1e^x+C_2e^{-2x}$ 可知，特征根为 $1, -2$，对应的微分算子为 $(r-1)(r+2) = r^2+r-2$。
所以齐次方程部分为 $y''+y'-2y=0$。
将特解 $y^* = xe^x$ 代入方程左边：
$(xe^x)'' + (xe^x)' - 2(xe^x) = (x+2)e^x + (x+1)e^x - 2xe^x = 3e^x$。
所以非齐次方程为 $y''+y'-2y=3e^x$。
选 A。
18. (2004211) 微分方程 $y''+y=x^2+1+\sin x$ 的特解形式可设为( )
特征方程为 $r^2+1=0 \Rightarrow r=\pm i$。
右侧 $f_1(x) = x^2+1$，此时 $\alpha=0$ 不是特征根，对应特解形如 $ax^2+bx+c$。
右侧 $f_2(x) = \sin x$，此时 $\alpha=i$ 是单特征根，对应特解形如 $x(A\sin x+B\cos x)$。
相加即为整体特解形式：$y^* = ax^2+bx+c + x(A\sin x+B\cos x)$。
选 B。
19. (2013213) 已知 $y_1=e^{3x}-xe^{2x}, y_2=e^x-xe^{2x}, y_3=-xe^{2x}$ 为某个二阶非齐次线性微分方程的3个解，求该方程满足初值条件 $y(0)=0, y'(0)=1$ 的特解.
根据非齐次线性方程解的性质，$y_1-y_3 = e^{3x}$ 与 $y_2-y_3 = e^x$ 均为对应齐次方程的解。
因此对应齐次方程的通解为 $C_1 e^{3x} + C_2 e^x$。
原非齐次方程的通解为 $y = C_1 e^{3x} + C_2 e^x - x e^{2x}$。
代入初值条件：
$y(0) = C_1 + C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = -C_1$。
$y' = 3C_1 e^{3x} + C_2 e^x - (2x+1)e^{2x} \Rightarrow y'(0) = 3C_1 + C_2 - 1 = 1 \Rightarrow 3C_1 + C_2 = 2$。
联立解得 $2C_1 = 2 \Rightarrow C_1=1, C_2=-1$。
特解为：
$$y = e^{3x} - e^x - x e^{2x}$$