第1节 定积分的概念与性质
一、基础题
1. 下列各题中所给的函数是否为所给微分方程的解？若是，请指出是通解还是特解.
(1) $2xy' = y, y = x^3$
- 解答：
求导得 $y' = 3x^2$。
代入微分方程左边：$2x \cdot (3x^2) = 6x^3$。
微分方程右边：$y = x^3$。
因为 $6x^3 \neq x^3$ （除了 $x=0$），所以该函数 不是 所给微分方程的解。
(2) $y'' + 4y' + 4y = 0, y = (1 + x)\text{e}^{-2x}$
- 解答：
求一阶导数：$y' = \text{e}^{-2x} + (1+x)(-2)\text{e}^{-2x} = (-1 - 2x)\text{e}^{-2x}$。
求二阶导数：$y'' = -2\text{e}^{-2x} + (-1 - 2x)(-2)\text{e}^{-2x} = (4x) \text{e}^{-2x}$。
代入微分方程左边：
$$4x\text{e}^{-2x} + 4(-1 - 2x)\text{e}^{-2x} + 4(1 + x)\text{e}^{-2x}$$$$= \text{e}^{-2x} (4x - 4 - 8x + 4 + 4x) = 0$$左边等于右边，因此是微分方程的解。由于解中不包含任意常数，所以它是 特解。
(3) $y'' + 4y = 0, y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x$
- 解答：
求一阶导数：$y' = -2C_1 \sin 2x + 2C_2 \cos 2x$。
求二阶导数：$y'' = -4C_1 \cos 2x - 4C_2 \sin 2x = -4(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x) = -4y$。
代入微分方程：$-4y + 4y = 0$ 成立。
因此是微分方程的解。由于该二阶微分方程的解中包含了两个独立的任意常数 $C_1$ 和 $C_2$，所以它是 通解。
2. 设曲线经过坐标原点，且在该曲线上任一点 $P(x,y)$ 处的法线斜率为 $-\frac{1}{3x^2}$，求该曲线的方程.
- 解答：
由题意知，法线斜率为 $-\frac{1}{3x^2}$，根据切线与法线垂直的性质，该点处切线的斜率（即导数 $y'$）为：
$$y' = -\frac{1}{-\frac{1}{3x^2}} = 3x^2$$即微分方程为 $\text{d}y = 3x^2 \text{d}x$。
两边积分得：
$$y = \int 3x^2 \text{d}x = x^3 + C$$因为曲线经过原点 $(0,0)$，代入上式得 $0 = 0^3 + C \Rightarrow C = 0$。
所以，该曲线的方程为：$y = x^3$。
二、提高题
3. 已知物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度之差成正比（比例系数 $k > 0$），且空气温度为 $20^\circ\text{C}$，如果物体在 20min 内由 $100^\circ\text{C}$ 降至 $60^\circ\text{C} $，请用微分方程表示该物理问题.
- 解答：
设物体的温度为 $T(t)$，时间为 $t$（单位：min）。
根据牛顿冷却定律，冷却速度 $\frac{\text{d}T}{\text{d}t}$ 与温差 $(T - 20)$ 成正比。因为是冷却过程，温度下降，速度为负，故有微分方程：
$$\frac{\text{d}T}{\text{d}t} = -k(T - 20) \quad (k > 0)$$结合初始条件和附加条件：
在 $t=0$ 时，温度为 $100^\circ\text{C}$，即 $T(0) = 100$。
在 $t=20$ 时，温度为 $60^\circ\text{C}$，即 $T(20) = 60$。
所以该物理问题的微分方程及条件表示为：
$\begin{cases} \frac{\text{d}T}{\text{d}t} = -k(T - 20) \\ T(0) = 100 \\ T(20) = 60 \end{cases}$
4. 设物体 $A$ 从点 $(0,1)$ 出发，以速度大小为常数 $v$ 沿 $y$ 轴正向运动。物体 $B$ 从点 $(-1,0)$ 与物体 $A$ 同时出发，其速度大小为 $2v$，方向始终指向物体 $A$。试建立物体 $B$ 的运动轨 迹所满足的微分方程，并给出初值条件.
- 解答：
设在时刻 $t$，物体 $A$ 的坐标为 $(0, 1 + vt)$，物体 $B$ 的坐标为 $(x, y)$。
因为 $B$ 的运动方向始终指向 $A$，所以轨迹曲线在 $(x,y)$ 处的切线必定经过点 $A(0, 1+vt)$。切线的斜率为 $y'$，因此有：
$$y' = \frac{y - (1 + vt)}{x - 0} \Rightarrow xy' = y - 1 - vt$$整理得：
$$vt = y - xy' - 1$$对两边关于 $x$ 求导：
$$v \frac{\text{d}t}{\text{d}x} = y' - (y' + xy'') = -xy''$$又因为物体 $B$ 的速度为 $2v$，所以其弧长微元 $\text{d}s = 2v \text{d}t$。由于 $B$ 从 $x=-1$ 向右运动，$\text{d}x > 0$，因此：
$$\text{d}s = \sqrt{1 + (y')^2} \text{d}x \Rightarrow \frac{\text{d}t}{\text{d}x} = \frac{\sqrt{1 + (y')^2}}{2v}$$将 $\frac{\text{d}t}{\text{d}x}$ 代入前面的求导等式中：
$$v \cdot \frac{\sqrt{1 + (y')^2}}{2v} = -xy''$$化简得到微分方程：
$$xy'' = -\frac{1}{2}\sqrt{1 + (y')^2}$$求初值条件：
在 $t=0$ 时，物体 $B$ 在 $(-1, 0)$，所以 $y(-1) = 0$。
此时物体 $A$ 在 $(0, 1)$，向量 $\vec{BA} = (0 - (-1), 1 - 0) = (1, 1)$，该初始时刻的斜率即为初始速度方向的斜率：
$y'(-1) = \frac{1}{1} = 1$。
所以，所求的定解问题为：
$\begin{cases} xy'' = -\frac{1}{2}\sqrt{1 + (y')^2} \\ y|_{x=-1} = 0 \\ y'|_{x=-1} = 1 \end{cases}$
三、考研真题
5. (2003209) 已知 $y = \frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y' = \frac{y}{x} + \varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的解，则 $\varphi\left(\frac{x}{y}\right) = ( \quad )$
A. $-\frac{y^2}{x^2}$
B. $\frac{y^2}{x^2}$
C. $-\frac{x^2}{y^2}$
D. $\frac{x^2}{y^2}$
- 解答：
已知 $y = \frac{x}{\ln x}$，由此可得 $\ln x = \frac{x}{y}$。
对 $y = \frac{x}{\ln x}$ 求导：
$$y' = \frac{1 \cdot \ln x - x \cdot \frac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} = \frac{1}{\ln x} - \frac{1}{(\ln x)^2}$$将 $\frac{1}{\ln x} = \frac{y}{x}$ 代入导数表达式：
$$y' = \frac{y}{x} - \left(\frac{y}{x}\right)^2 = \frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^2}$$将此结果与题干给出的微分方程 $y' = \frac{y}{x} + \varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 对比，可得：
$$\frac{y}{x} - \frac{y^2}{x^2} = \frac{y}{x} + \varphi\left(\frac{x}{y}\right)$$解得：
$$\varphi\left(\frac{x}{y}\right) = -\frac{y^2}{x^2}$$对比选项，正确答案为 A。