第5节 欧拉方程
（4） 待校验
基础题
求下列欧拉方程的通解：
(1) $x^2 y'' + xy' - y = 0$
对于欧拉方程，作变量代换 $x = \text{e}^t$（假设 $x>0$），即 $t = \ln x$。
将自变量转换为 $t$，设微分算子 $D = \frac{\text{d}}{\text{d}t}$，则有：
$xy' = Dy$
$x^2 y'' = D(D-1)y$
代入原方程，得：
$$[D(D-1) + D - 1]y = 0$$$$(D^2 - D + D - 1)y = 0 \Rightarrow (D^2 - 1)y = 0$$对应的特征方程为：$r^2 - 1 = 0$，解得特征根 $r_1 = 1, r_2 = -1$。
因此，关于 $t$ 的方程的通解为：
$$y(t) = C_1 \text{e}^t + C_2 \text{e}^{-t}$$将 $\text{e}^t = x, \text{e}^{-t} = x^{-1}$ 代回，得到原方程的通解：
$$y = C_1 x + \frac{C_2}{x}$$(2) $x^2 y'' + xy' - 4y = x^3$
作变量代换 $x = \text{e}^t$（即 $t = \ln x$），代入微分算子 $D = \frac{\text{d}}{\text{d}t}$，并将方程右端也转化为关于 $t$ 的函数：
$$[D(D-1) + D - 4]y = (\text{e}^t)^3$$化简得常系数非齐次线性微分方程：
$$(D^2 - 4)y = \text{e}^{3t}$$对应的齐次方程的特征方程为 $r^2 - 4 = 0$，解得特征根 $r_{1,2} = \pm 2$。
所以齐次方程的通解为 $y_h(t) = C_1 \text{e}^{2t} + C_2 \text{e}^{-2t}$。
对于非齐次项 $f(t) = \text{e}^{3t}$，由于 $\alpha=3$ 不是特征根，设特解为 $y^*(t) = A\text{e}^{3t}$。
代入方程 $y'' - 4y = \text{e}^{3t}$，得：
$$9A\text{e}^{3t} - 4A\text{e}^{3t} = \text{e}^{3t} \Rightarrow 5A = 1 \Rightarrow A = \frac{1}{5}$$特解为 $y^*(t) = \frac{1}{5}\text{e}^{3t}$。
关于 $t$ 的通解为：$y(t) = C_1 \text{e}^{2t} + C_2 \text{e}^{-2t} + \frac{1}{5}\text{e}^{3t}$。
将 $\text{e}^t = x$ 代回，得到原方程的通解：
$$y = C_1 x^2 + \frac{C_2}{x^2} + \frac{1}{5}x^3$$(3) $x^3 y''' + 3x^2 y'' - 2xy' + 2y = 0$
作变量代换 $x = \text{e}^t$（即 $t = \ln x$），引入微分算子 $D = \frac{\text{d}}{\text{d}t}$：
$xy' = Dy$
$x^2 y'' = D(D-1)y$
$x^3 y''' = D(D-1)(D-2)y$
代入原方程，得：
$$[D(D-1)(D-2) + 3D(D-1) - 2D + 2]y = 0$$展开并化简算子多项式：
$$D(D^2 - 3D + 2) + 3D^2 - 3D - 2D + 2$$$$= D^3 - 3D^2 + 2D + 3D^2 - 5D + 2 = D^3 - 3D + 2$$化简后的微分方程为：$(D^3 - 3D + 2)y = 0$。
对应的特征方程为 $r^3 - 3r + 2 = 0$。
观察可知 $r=1$ 是一个根。因式分解：$r^3 - 3r + 2 = (r-1)(r^2 + r - 2) = (r-1)^2(r+2) = 0$。
解得特征根：$r_1=r_2=1$ (二重根), $r_3=-2$。
关于 $t$ 的方程通解为：
$$y(t) = (C_1 + C_2 t)\text{e}^t + C_3 \text{e}^{-2t}$$将 $t = \ln x, \text{e}^t = x$ 代回，得到原方程的通解：
$$y = (C_1 + C_2 \ln x)x + \frac{C_3}{x^2}$$(4) $x^3 y''' + 2xy' - 2y = x^2 \ln x + 3x$
作变量代换 $x = \text{e}^t, t = \ln x$，引入算子 $D = \frac{\text{d}}{\text{d}t}$，同时替换方程右端：
$$[D(D-1)(D-2) + 2D - 2]y = (\text{e}^t)^2 \cdot t + 3\text{e}^t$$展开并化简方程左端算子：
$$D^3 - 3D^2 + 2D + 2D - 2 = D^3 - 3D^2 + 4D - 2$$转化为常系数线性非齐次方程：
$$(D^3 - 3D^2 + 4D - 2)y = t\text{e}^{2t} + 3\text{e}^t$$其齐次方程的特征方程为 $r^3 - 3r^2 + 4r - 2 = 0$。
观察知 $r=1$ 是一根，因式分解为 $(r-1)(r^2 - 2r + 2) = 0$。
解得特征根：$r_1=1, r_{2,3} = 1 \pm i$。
齐次方程通解为：$y_h(t) = C_1 \text{e}^t + \text{e}^t(C_2 \cos t + C_3 \sin t)$。
利用叠加原理求特解 $y^*(t) = y_1^*(t) + y_2^*(t)$：
① 对于 $f_1(t) = t\text{e}^{2t}$，因 $\alpha=2$ 不是特征根，设特解为 $y_1^*(t) = (At+B)\text{e}^{2t}$。
求导：
$y_1^{*'} = (2At+2B+A)\text{e}^{2t}$
$y_1^{*''} = (4At+4B+4A)\text{e}^{2t}$
$y_1^{*'''} = (8At+8B+12A)\text{e}^{2t}$
代入 $y''' - 3y'' + 4y' - 2y = t\text{e}^{2t}$，消去 $\text{e}^{2t}$：
$(8At+8B+12A) - 3(4At+4B+4A) + 4(2At+2B+A) - 2(At+B) = t$
整理得：$(8-12+8-2)At + (8B+12A-12B-12A+8B+4A-2B) = t$
即 $2At + (4A+2B) = t$。
比较系数：$2A=1 \Rightarrow A=\frac{1}{2}$；$4A+2B=0 \Rightarrow 2+2B=0 \Rightarrow B=-1$。
故 $y_1^*(t) = \left(\frac{1}{2}t - 1\right)\text{e}^{2t}$。
② 对于 $f_2(t) = 3\text{e}^t$，因 $\alpha=1$ 是单特征根，设特解为 $y_2^*(t) = Ct\text{e}^t$。
求导：
$y_2^{*'} = C(t+1)\text{e}^t$
$y_2^{*''} = C(t+2)\text{e}^t$
$y_2^{*'''} = C(t+3)\text{e}^t$
代入方程：
$C(t+3) - 3C(t+2) + 4C(t+1) - 2Ct = 3$
化简得：$C[ (t-3t+4t-2t) + (3-6+4) ] = 3 \Rightarrow C(1) = 3 \Rightarrow C=3$。
故 $y_2^*(t) = 3t\text{e}^t$。
综上关于 $t$ 的通解为：
$$y(t) = C_1 \text{e}^t + \text{e}^t(C_2 \cos t + C_3 \sin t) + \left(\frac{1}{2}t - 1\right)\text{e}^{2t} + 3t\text{e}^t$$将 $\text{e}^t = x, \text{e}^{2t} = x^2, t = \ln x$ 代回，得到原方程的通解：
$$y = C_1 x + x(C_2 \cos(\ln x) + C_3 \sin(\ln x)) + x^2\left(\frac{1}{2}\ln x - 1\right) + 3x\ln x$$