第2节 一阶微分方程
7、8、待校验
一、基础题
1. 求下列可分离变量的微分方程的通解：
(1) 原题：$xy' + y\ln y = 0$
- 求解过程：
将方程改写为：$x \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = -y\ln y$
分离变量，得到：$\frac{\text{d}y}{y\ln y} = -\frac{\text{d}x}{x}$
两边同时积分：$\int \frac{1}{\ln y}\text{d}(\ln y) = -\int \frac{1}{x}\text{d}x$
得到：$\ln|\ln y| = -\ln|x| + C_1 \Rightarrow \ln y = \frac{\pm \text{e}^{C_1}}{x}$
令 $C = \pm \text{e}^{C_1}$，则有 $\ln y = \frac{C}{x}$。
通解为：
$$y = \text{e}^{\frac{C}{x}}$$（包含特解 $y=1$）。
(2) 原题：$\sqrt{1-x^2}\text{d}y = \sqrt{1-y^2}\text{d}x$
- 求解过程：
分离变量，得到：$\frac{\text{d}y}{\sqrt{1-y^2}} = \frac{\text{d}x}{\sqrt{1-x^2}}$
两边同时积分：$\int \frac{\text{d}y}{\sqrt{1-y^2}} = \int \frac{\text{d}x}{\sqrt{1-x^2}}$
通解为：
$$\arcsin y = \arcsin x + C$$（此外还有奇解 $y = \pm 1, x = \pm 1$）。
(3) 原题：$y' - xy' = 2(y^2 + y')$
- 求解过程：
提取 $y'$ 并移项整理：$y'(1 - x - 2) = 2y^2 \Rightarrow -(x+1)\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = 2y^2$
分离变量：$\frac{\text{d}y}{y^2} = -\frac{2}{x+1}\text{d}x$
两边积分得：$-\frac{1}{y} = -2\ln|x+1| - C$
通解为：
$$\frac{1}{y} = 2\ln|x+1| + C$$（此外还有特解 $y=0$）。
(4) 原题：$\sec^2 x \tan y \text{d}x + \sec^2 y \tan x \text{d}y = 0$
- 求解过程：
两边同除以 $\tan x \tan y$ 进行分离变量：
$\frac{\sec^2 x}{\tan x}\text{d}x + \frac{\sec^2 y}{\tan y}\text{d}y = 0$
两边积分：$\int \frac{\text{d}(\tan x)}{\tan x} + \int \frac{\text{d}(\tan y)}{\tan y} = 0$
得到：$\ln|\tan x| + \ln|\tan y| = \ln|C|$
化简得 通解为：
$$\tan x \cdot \tan y = C$$2. 求下列齐次方程的通解：
(1) 原题：$(2y^2 - xy)\text{d}x = (x^2 - xy + y^2)\text{d}y$
- 求解过程：
改写为 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{2y^2 - xy}{x^2 - xy + y^2}$，上下同除以 $x^2$ 可知这是齐次方程。
令 $y=ux$，则 $y' = u + xu'$。代入并化简：
$u + xu' = \frac{2u^2 - u}{1 - u + u^2}$
$xu' = \frac{2u^2 - u}{1 - u + u^2} - u = \frac{2u^2 - u - u(1 - u + u^2)}{1 - u + u^2} = \frac{-u(u-1)(u-2)}{1 - u + u^2}$
分离变量：$\frac{1-u+u^2}{u(u-1)(u-2)}\text{d}u = -\frac{\text{d}x}{x}$
对左侧进行部分分式展开：$\left(\frac{1/2}{u} - \frac{1}{u-1} + \frac{3/2}{u-2}\right)\text{d}u = -\frac{\text{d}x}{x}$
积分得：$\frac{1}{2}\ln|u| - \ln|u-1| + \frac{3}{2}\ln|u-2| = -\ln|x| + C_1$
乘以 2 整理得：$\ln\left| \frac{u(u-2)^3}{(u-1)^2} \right| = \ln\left| \frac{C_2}{x^2} \right|$
回代 $u=\frac{y}{x}$，得 $\frac{\frac{y}{x}(\frac{y-2x}{x})^3}{(\frac{y-x}{x})^2} = \frac{C_2}{x^2}$。
化简后 通解为：
$$y(y-2x)^3 = C(y-x)^2$$(2) 原题：$x(\text{d}y - \text{d}x) = y(\text{d}x + \text{d}y)$
- 求解过程：
展开整理得：$(x-y)\text{d}y = (x+y)\text{d}x \Rightarrow \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x+y}{x-y}$
令 $u = \frac{y}{x}$，则 $u'x + u = \frac{1+u}{1-u} \Rightarrow xu' = \frac{1+u}{1-u} - u = \frac{1+u^2}{1-u}$
分离变量：$\frac{1-u}{1+u^2}\text{d}u = \frac{\text{d}x}{x}$
积分：$\int \frac{1}{1+u^2}\text{d}u - \frac{1}{2}\int \frac{2u}{1+u^2}\text{d}u = \int \frac{\text{d}x}{x}$
$\arctan u - \frac{1}{2}\ln(1+u^2) = \ln|x| + C$
回代 $u=\frac{y}{x}$ 并运用对数运算法则化简，通解为：
$$\arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2) = C$$(3) 原题：$x\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = y - \sqrt{x^2+y^2}$
- 求解过程：
假设 $x>0$，两边同除以 $x$ 变形为：$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{y}{x} - \sqrt{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}$
令 $y=ux$，则 $u + xu' = u - \sqrt{1+u^2} \Rightarrow xu' = -\sqrt{1+u^2}$
分离变量：$\frac{\text{d}u}{\sqrt{1+u^2}} = -\frac{\text{d}x}{x}$
积分：$\ln\left(u+\sqrt{1+u^2}\right) = -\ln x + \ln C \Rightarrow u+\sqrt{1+u^2} = \frac{C}{x}$
回代 $u=\frac{y}{x}$，通解为：
$$y + \sqrt{x^2+y^2} = C$$(4) 原题：$y' = 2\sqrt{\frac{y}{x}} + \frac{y}{x}$
- 求解过程：
令 $y=ux$，则 $u + xu' = 2\sqrt{u} + u \Rightarrow xu' = 2\sqrt{u}$
分离变量：$\frac{\text{d}u}{2\sqrt{u}} = \frac{\text{d}x}{x}$
积分：$\sqrt{u} = \ln|x| + C$
回代 $u=\frac{y}{x}$，通解为：
$$y = x(\ln|x| + C)^2$$3. 求下列一阶线性微分方程的通解：
(1) 原题：$\text{d}y + (y - \text{e}^{-x})\text{d}x = 0$
- 求解过程：
化为标准形式：$y' + y = \text{e}^{-x}$
求积分因子 $I(x) = \text{e}^{\int 1 \text{d}x} = \text{e}^x$。方程两边同乘 $\text{e}^x$ 化为 $(\text{e}^x y)' = 1$
积分得：$\text{e}^x y = x + C$
通解为：
$$y = (x+C)\text{e}^{-x}$$(2) 原题：$y' + \frac{y}{x} = \sin x$
- 求解过程：
积分因子 $I(x) = \text{e}^{\int (1/x)\text{d}x} = x$。方程两边同乘 $x$ 化为 $(xy)' = x\sin x$
对右侧进行分部积分：$xy = \int x\sin x \text{d}x = -x\cos x + \sin x + C$
通解为：
$$y = \frac{\sin x - x\cos x + C}{x}$$(3) 原题：$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + y\cos x = \text{e}^{-\sin x}$
- 求解过程：
积分因子 $I(x) = \text{e}^{\int \cos x \text{d}x} = \text{e}^{\sin x}$。方程化为 $(\text{e}^{\sin x} y)' = 1$
积分得：$\text{e}^{\sin x} y = x + C$
通解为：
$$y = (x+C)\text{e}^{-\sin x}$$(4) 原题：$(x^2 - 1)\text{d}y + (2xy - \cos x)\text{d}x = 0$
- 求解过程：
化为标准形式：$y' + \frac{2x}{x^2-1}y = \frac{\cos x}{x^2-1}$
积分因子 $I(x) = \text{e}^{\int \frac{2x}{x^2-1}\text{d}x} = \text{e}^{\ln|x^2-1|} = x^2-1$。方程化为 $((x^2-1)y)' = \cos x$
积分得：$(x^2-1)y = \sin x + C$
通解为：
$$y = \frac{\sin x + C}{x^2-1}$$4. 求下列微分方程满足所给初值条件的特解：
(1) 原题：$\sin x \cos y \text{d}x - \cos x \sin y \text{d}y = 0, y(0) = \frac{\pi}{4}$
- 求解过程：
分离变量：$\frac{\sin x}{\cos x}\text{d}x = \frac{\sin y}{\cos y}\text{d}y \Rightarrow \tan x \text{d}x = \tan y \text{d}y$
积分得：$-\ln|\cos x| = -\ln|\cos y| + \ln C_1 \Rightarrow \cos y = C\cos x$
代入初始条件 $x=0, y=\pi/4$ 得 $\cos(\frac{\pi}{4}) = C\cos(0) \Rightarrow C = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
特解为：
$$\cos y = \frac{\sqrt{2}}{2}\cos x$$(2) 原题：$(x^2 + 2xy - y^2)\text{d}x + (y^2 + 2xy - x^2)\text{d}y = 0, y(1) = 1$
- 求解过程：
此为齐次方程，令 $y=ux$，代入并展开提取公因式：
$x^2[(1+2u-u^2)\text{d}x + (u^2+2u-1)(u\text{d}x+x\text{d}u)] = 0$
化简得：$(u^3+u^2+u+1)\text{d}x + x(u^2+2u-1)\text{d}u = 0$
分离变量：$\frac{\text{d}x}{x} + \frac{u^2+2u-1}{(u^2+1)(u+1)}\text{d}u = 0$
运用部分分式展开：$\int \frac{\text{d}x}{x} + \int \left(\frac{2u}{u^2+1} - \frac{1}{u+1}\right)\text{d}u = 0$
积分得：$\ln|x| + \ln(u^2+1) - \ln|u+1| = \ln|C| \Rightarrow \frac{x(u^2+1)}{u+1} = C$
回代 $u=\frac{y}{x}$ 整理得：$\frac{x^2+y^2}{x+y} = C \Rightarrow x^2+y^2 = C(x+y)$
代入初始条件 $x=1, y=1$ 得 $2 = C(2) \Rightarrow C=1$。
特解为：
$$x^2 + y^2 = x + y$$(3) 原题：$y' = y\tan x + \sec x, y(0) = 0$
- 求解过程：
化为一阶线性形式：$y' - y\tan x = \sec x$
积分因子：$\text{e}^{\int -\tan x \text{d}x} = \text{e}^{\ln|\cos x|} = \cos x$。方程化为 $(y\cos x)' = \sec x \cos x = 1$
积分：$y\cos x = x + C$。代入初始条件 $x=0, y=0$ 得 $0 = 0 + C \Rightarrow C=0$。
特解为：
$$y = x\sec x$$(4) 原题：$y' + \frac{y}{x} = \frac{\sin x}{x}, y(\pi) = 1$
- 求解过程：
积分因子为 $x$。方程化为 $(xy)' = \sin x$
积分：$xy = -\cos x + C$。代入 $x=\pi, y=1$ 得 $\pi = -\cos\pi + C = 1 + C \Rightarrow C = \pi - 1$。
特解为：
$$y = \frac{\pi - 1 - \cos x}{x}$$二、提高题
5. 求下列伯努利方程的通解：
(1) 原题：$y' - \frac{4}{x}y = x\sqrt{y}$
- 求解过程：
方程两边同除以 $\sqrt{y}$：$y^{-1/2}y' - \frac{4}{x}y^{1/2} = x$。
令 $z = y^{1/2}$，则 $z' = \frac{1}{2}y^{-1/2}y'$。代入化简为线性方程：
$2z' - \frac{4}{x}z = x \Rightarrow z' - \frac{2}{x}z = \frac{x}{2}$
求此线性方程解，积分因子 $\text{e}^{\int -2/x \text{d}x} = x^{-2}$，得 $z = x^2\left(\frac{1}{2}\ln|x| + C\right)$。
回代 $z=y^{1/2}$，通解为：
$$y = x^4\left(\frac{1}{2}\ln|x| + C\right)^2$$(2) 原题：$y' = xy + xy^2$
- 求解过程：
整理为 $y' - xy = xy^2$，同除以 $y^2$ 得 $y^{-2}y' - xy^{-1} = x$。
令 $z = y^{-1}$，则 $z' = -y^{-2}y'$。化简为线性方程：
$-z' - xz = x \Rightarrow z' + xz = -x$
解得 $z = C\text{e}^{-x^2/2} - 1$。
回代 $z=y^{-1}$，通解为：
$$y = \frac{1}{C\text{e}^{-x^2/2} - 1}$$(3) 原题：$x\text{d}x = (x^2 + y^2)\text{d}y$
- 求解过程：
改写为以 $x$ 为未知函数的方程：$\frac{\text{d}x}{\text{d}y} = \frac{x^2+y^2}{x} \Rightarrow \frac{\text{d}x}{\text{d}y} - x = y^2 x^{-1}$ （伯努利方程）
令 $z = x^2$，则 $\frac{\text{d}z}{\text{d}y} = 2x\frac{\text{d}x}{\text{d}y}$。代入化简得：
$\frac{1}{2}z' - z = y^2 \Rightarrow z' - 2z = 2y^2$
利用公式或分部积分求得 $z = C\text{e}^{2y} - y^2 - y - \frac{1}{2}$。
回代 $z=x^2$，通解为：
$$x^2 = C\text{e}^{2y} - y^2 - y - \frac{1}{2}$$(4) 原题：$x\text{d}y = [y + xy^3(1+\ln x)]\text{d}x$
- 求解过程：
整理为：$y' - \frac{1}{x}y = y^3(1+\ln x)$。
令 $z = y^{-2}$，则 $z' = -2y^{-3}y'$。化简为线性方程：
$z' + \frac{2}{x}z = -2(1+\ln x)$
解得 $z = \frac{C}{x^2} - \frac{2}{9}x(2 + 3\ln x)$。
通解为：
$$\frac{1}{y^2} = \frac{C}{x^2} - \frac{2}{9}x(2 + 3\ln x)$$6. 用适当的变量代换求下列微分方程的通解：
(1) 原题：$(x+y)^2 y' = a^2$ （$a$ 为常数）
- 求解过程：
令 $u = x+y$，则 $u' = 1+y' \Rightarrow y' = u'-1$。
代入方程：$u^2(u'-1) = a^2 \Rightarrow u' = \frac{a^2+u^2}{u^2} = 1 + \frac{a^2}{u^2}$。
分离变量：$\left(1 - \frac{a^2}{a^2+u^2}\right)\text{d}u = \text{d}x$
积分得 $u - a\arctan\left(\frac{u}{a}\right) = x + C$。
回代 $u=x+y$，整理后 通解为：
$$y - a\arctan\left(\frac{x+y}{a}\right) = C$$(2) 原题：$y' = \sin^2(x-y+1)$
- 求解过程：
令 $u = x-y+1$，则 $u' = 1-y' \Rightarrow y' = 1-u'$。
代入方程：$1-u' = \sin^2 u \Rightarrow u' = \cos^2 u$。
分离变量积分：$\int \frac{1}{\cos^2 u} \text{d}u = \int \text{d}x \Rightarrow \tan u = x + C$
回代后 通解为：
$$\tan(x-y+1) = x + C$$三、应用题
7. 原题：有一圆锥形漏斗，其高为 $10\text{cm}$，顶角为 $60^\circ$，漏斗下面有面积为 $0.5\text{cm}^2$ 的小孔，当漏斗盛满水时，求其小孔漏水过程中漏斗内水面高度变化的规律和水流完所需的时 间。
- 求解过程：（有误）
设时刻 $t$，水面高度为 $h$。顶角为 $60^\circ$ 意味着半顶角为 $30^\circ$。水面半径 $r = h\tan 30^\circ = \frac{h}{\sqrt{3}}$。
水面面积 $A(h) = \pi r^2 = \frac{\pi}{3}h^2$。小孔面积 $a = 0.5$。
根据托里拆利定律（设流量系数为1，重力加速度为 $g$），体积变化率 $\frac{\text{d}V}{\text{d}t} = A(h)\frac{\text{d}h}{\text{d}t} = -a\sqrt{2gh}$。
代入建立微分方程：$\frac{\pi}{3}h^2\frac{\text{d}h}{\text{d}t} = -0.5\sqrt{2g}\sqrt{h}$。
分离变量并积分：$\int \frac{\pi}{3} h^{3/2} \text{d}h = \int -0.5\sqrt{2g} \text{d}t \Rightarrow \frac{2\pi}{15}h^{5/2} = -0.5\sqrt{2g}t + C$
由于 $t=0$ 时盛满水即 $h=10$，代入得 $C = \frac{2\pi}{15}10^{5/2} = \frac{40\pi\sqrt{10}}{3}$。
化简得水面高度规律（取 $g=980\text{cm/s}^2$）：
$$h(t) = \left( 100\sqrt{10} - \frac{105\sqrt{10}}{2\pi}t \right)^{2/5}$$当 $h=0$ 时，流完所需时间：$t = \frac{40\pi}{21} \approx 5.98 \text{ s}$。
8. 原题：镭的衰变有如下规律：镭的衰变速度与它的现存量 $R$ 成正比。由相关资料得知，镭经过 1600 年后，只剩原始量 $R_0$ 的一半。求镭的现存量 $R$ 与时间 $t$ 的函数关系。
- 求解过程：
设现存量为 $R(t)$，衰变微分方程为 $\frac{\text{d}R}{\text{d}t} = -kR$ ($k>0$)。
解得 $R(t) = R_0 \text{e}^{-kt}$。
由半衰期条件 $R(1600) = \frac{1}{2}R_0 \Rightarrow \text{e}^{-1600k} = \frac{1}{2} \Rightarrow k = \frac{\ln 2}{1600}$。
代入得函数关系：
$$R(t) = R_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{1600}}$$9. 原题：设有连接点 $O(0,0)$ 和 $B(1,1)$ 的一段向上凸的曲线弧 $\overparen{OB}$，对于 $\overparen{OB}$ 上任一点 $P(x,y)$，曲线弧 $\overparen{OP}$ 与直线段 $OP$ 所围图形的面积 为 $2x^2$，求曲线弧 $\overparen{OB}$ 的方程。
- 求解过程：
设曲线方程为 $y=y(x)$。根据题意列出积分等式（曲线下面积减去三角形面积）：
$\int_0^x y(t)\text{d}t - \frac{1}{2}xy = 2x^2$
两边对 $x$ 求导：$y - \frac{1}{2}(y + xy') = 4x \Rightarrow y' - \frac{1}{x}y = -8$
解此一阶线性方程，得 $y = -8x\ln x + Cx$。
由于曲线过点 $B(1,1)$，代入得 $1 = -8(1)(0) + C(1) \Rightarrow C=1$。
曲线方程为：
$$y = x - 8x\ln x$$10. 原题：设有一质量为 $M$ 的质点做直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个与运动方向一致、大小与时间成正比（比例系数为 $k_1$）的力作用于它，此外，它还受到一个与速度成正比（比例系数为 $k_2$） 的阻力作用，求质点运动的速度与时间的函数关系。
- 求解过程：
根据牛顿第二定律建立方程：$M \frac{\text{d}v}{\text{d}t} = k_1 t - k_2 v \Rightarrow v' + \frac{k_2}{M}v = \frac{k_1}{M}t$
求解该一阶线性微分方程得通解：$v(t) = \frac{k_1}{k_2}t - \frac{k_1 M}{k_2^2} + C\text{e}^{-\frac{k_2}{M}t}$。
代入初值条件 $v(0)=0$ 求常数 $C$：$0 = -\frac{k_1 M}{k_2^2} + C \Rightarrow C = \frac{k_1 M}{k_2^2}$。
速度与时间的函数关系：
$$v(t) = \frac{k_1}{k_2}t - \frac{k_1 M}{k_2^2}\left(1 - \text{e}^{-\frac{k_2}{M}t}\right)$$四、考研真题
11. 原题：(2006204) 求微分方程 $y' = \frac{y(1-x)}{x}$ 的通解。
- 求解过程：
分离变量：$\frac{\text{d}y}{y} = \left(\frac{1}{x} - 1\right)\text{d}x$
两边积分：$\ln|y| = \ln|x| - x + C_1$
化简后 通解为：
$$y = C x \text{e}^{-x}$$12. 原题：(1999213) 求初值问题 $\begin{cases} (y+\sqrt{x^2+y^2})\text{d}x - x\text{d}y = 0, (x>0) \\ y(1)=0 \end{cases}$ 的解。
- 求解过程：
整理方程得：$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{y}{x} + \sqrt{1+(y/x)^2}$ （因 $x>0$）。
令 $y=ux$，得 $xu' = \sqrt{1+u^2}$。
分离变量积分：$\frac{\text{d}u}{\sqrt{1+u^2}} = \frac{\text{d}x}{x} \Rightarrow \ln(u+\sqrt{1+u^2}) = \ln x + \ln C$
回代并化简得：$y+\sqrt{x^2+y^2} = Cx^2$。
代入初值 $y(1)=0$ 得 $0+\sqrt{1+0} = C \Rightarrow C=1$。
方程化为 $\sqrt{x^2+y^2} = x^2 - y$，两边平方解得：
$$y = \frac{x^2 - 1}{2}$$13. 原题：(2001204) 求过点 $(\frac{1}{2}, 0)$，且满足关系式 $y'\arcsin x + \frac{y}{\sqrt{1-x^2}} = 1$ 的曲线方程。
- 求解过程：
观察左侧为全微分形式：$(y\arcsin x)' = 1$。
直接积分得：$y\arcsin x = x + C$。
代入过点 $(\frac{1}{2}, 0)$ 条件：$0 = \frac{1}{2} + C \Rightarrow C = -\frac{1}{2}$。
曲线方程为：
$$y = \frac{x - 1/2}{\arcsin x}$$14. 原题：(2008210) 求微分方程 $(y+x^2\text{e}^{-x})\text{d}x - x\text{d}y = 0$ 的通解。
- 求解过程：
重组项并同除以 $x^2$：$\frac{x\text{d}y - y\text{d}x}{x^2} = \text{e}^{-x}\text{d}x \Rightarrow \left(\frac{y}{x}\right)' = \text{e}^{-x}$。
两边积分得：$\frac{y}{x} = -\text{e}^{-x} + C$。
化简后 通解为：
$$y = Cx - x\text{e}^{-x}$$15. 原题：(2012212) 求微分方程 $y\text{d}x + (x-3y^2)\text{d}y = 0$ 满足初值条件 $y(1)=1$ 的解。
- 求解过程：
改写为以 $x$ 为未知函数的微分方程：$\frac{\text{d}x}{\text{d}y} + \frac{1}{y}x = 3y$。
这是一阶线性方程，积分因子为 $y$，方程化为 $(xy)' = 3y^2$。
积分得：$xy = y^3 + C \Rightarrow x = y^2 + \frac{C}{y}$。
代入初值 $x=1$ 时 $y=1$，得 $1 = 1 + C \Rightarrow C=0$。
得到 $x = y^2$，由初值条件知 $y>0$，故 解为：
$$y = \sqrt{x}$$