第4节 几种特殊函数的不定积分
部分校验
一、基础题
1 求下列不定积分
(1)
$\displaystyle \int \frac{2x+1}{x^2+3x-4}\,dx$
解答：
$$x^2+3x-4=(x+4)(x-1)$$部分分式：
$$\frac{2x+1}{(x+4)(x-1)}=\frac{A}{x+4}+\frac{B}{x-1}$$$$2x+1=A(x-1)+B(x+4)$$配系数得：
$$A+B=2,\quad -A+4B=1$$解得 $A=\frac{7}{5}, B=\frac{3}{5}$。
$$\int \frac{2x+1}{x^2+3x-4}\,dx=\frac{7}{5}\ln|x+4|+\frac{3}{5}\ln|x-1|+C$$(2)
$\displaystyle \int \frac{2x+5}{x^2+4x+5}\,dx$
解答：
$$x^2+4x+5=(x+2)^2+1,\quad 2x+5=2(x+2)+1$$$$\int\frac{2(x+2)}{(x+2)^2+1}\,dx+\int\frac{1}{(x+2)^2+1}\,dx$$$$=\ln\left((x+2)^2+1\right)+\arctan(x+2)+C$$(3)
$\displaystyle \int \frac{x^2+x-1}{x^3-x}\,dx$
解答：
先化简被积函数。
① 分母因式分解
$$x^3 - x = x(x^2 - 1)=x(x-1)(x+1)$$② 做部分分式分解 设
$$\frac{x^2+x-1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$$两边同乘分母：
$$x^2+x-1 = A(x-1)(x+1)+B x(x+1)+C x(x-1)$$代入三个简单点的 x：
(1) 令 $x=0$
$$-1 = A(-1)(1) = -A \Rightarrow A = 1$$(2) 令 $x=1$
$$1+1-1 = 1 = B(1)(2) \Rightarrow B = \frac12$$(3) 令 $x=-1$
$$1 -1 -1 = -1 = C(-1)(-2) = 2C \Rightarrow C = -\frac12$$③ 部分分式得到
$$\frac{x^2+x-1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x} +\frac{1/2}{x-1} -\frac{1/2}{x+1}$$④ 逐项积分
$$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$$$$\int \frac{1}{2(x-1)} dx = \frac12 \ln|x-1|$$$$\int -\frac{1}{2(x+1)} dx = -\frac12 \ln|x+1|$$⑤ 合并得到最终答案
$$\boxed{ \int \frac{x^2+x-1}{x^3-x}\,dx = \ln|x| +\frac12 \ln|x-1| -\frac12 \ln|x+1| + C }$$也可以写成一个对数：
$$\boxed{ \int = \ln\left|\frac{x\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}}\right| + C }$$(4)
$\displaystyle \int \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\,dx$
解答：
这个积分可以通过代换法 (Substitution) 轻松求解。
1 变量代换
令 $u = \sqrt{x+1}$。我们的目标是消去积分中的根号项。
- 平方两边： $u^2 = x+1$
- 求 $x$ 的微分 $dx$： $2u \, du = dx$
现在我们用 $u$ 替换积分中的所有项：
$$\int \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\,dx = \int \frac{u-1}{u+1} \cdot (2u \, du)$$$$= 2 \int \frac{u^2 - u}{u + 1} \, du$$2 简化有理函数
由于分子 $u^2 - u$ 的次数大于分母 $u+1$ 的次数，我们使用多项式除法（或代数技巧）来简化被积函数。
$$\frac{u^2 - u}{u + 1} = \frac{u^2 + u - 2u}{u + 1} = \frac{u(u+1) - 2(u+1) + 2}{u + 1}$$$$\frac{u^2 - u}{u + 1} = u - 2 + \frac{2}{u + 1}$$3 积分求解
将简化后的表达式代回积分式中：
$$I = 2 \int \left( u - 2 + \frac{2}{u + 1} \right) du$$$$I = 2 \left[ \int u \, du - \int 2 \, du + 2 \int \frac{1}{u + 1} \, du \right]$$$$I = 2 \left[ \frac{u^2}{2} - 2u + 2 \ln|u + 1| \right] + C$$分配 $2$ 并简化：
$$I = u^2 - 4u + 4 \ln|u + 1| + C$$4 回代到 $x$
最后，将 $u = \sqrt{x+1}$ 和 $u^2 = x+1$ 代回：
$$I = (x+1) - 4\sqrt{x+1} + 4 \ln|\sqrt{x+1} + 1| + C$$由于 $\sqrt{x+1}$ 是非负数，$\sqrt{x+1} + 1$ 恒为正，因此可以去掉绝对值号。同时，常数 $1$ 可以被吸收到积分常数 $C$ 中。
$$\displaystyle \int \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1}\,dx = x - 4\sqrt{x+1} + 4 \ln(\sqrt{x+1} + 1) + C$$(5)
$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}}$
解答：
这是一个典型的通过变量代换（Substitution）来简化根式表达式的积分。
1 变量代换
观察到积分中出现 $\sqrt{x} = x^{1/2}$ 和 $\sqrt[4]{x} = x^{1/4}$。我们选择一个代换，使得所有根式都能被消除。
- 取最小公分母的指数： 最小指数是 $\frac{1}{4}$。
- 令 $u = \sqrt[4]{x}$。
通过这个代换，我们得到：
- $u^2 = (\sqrt[4]{x})^2 = \sqrt{x}$
- $u^4 = x$
- 求 $dx$： $dx = 4u^3 \, du$
2 转换为 $u$ 的积分
将所有项代入原积分：
$$I = \int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}} = \int \frac{4u^3 \, du}{u^2 + u}$$3 简化并求解积分
3.1 简化有理函数
首先约分，然后使用代数技巧（或多项式除法）来简化：
$$I = 4 \int \frac{u^3}{u(u + 1)} du = 4 \int \frac{u^2}{u + 1} du$$我们知道 $u^2 = u^2 - 1 + 1 = (u-1)(u+1) + 1$。
$$\frac{u^2}{u + 1} = \frac{(u-1)(u+1) + 1}{u + 1} = (u - 1) + \frac{1}{u + 1}$$3.2 积分
$$I = 4 \int \left( u - 1 + \frac{1}{u + 1} \right) du$$$$I = 4 \left[ \frac{u^2}{2} - u + \ln|u + 1| \right] + C$$$$I = 2u^2 - 4u + 4 \ln|u + 1| + C$$4 回代到 $x$
最后，将 $u = \sqrt[4]{x}$ 和 $u^2 = \sqrt{x}$ 代回：
$$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}} = 2\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} + 4 \ln|\sqrt[4]{x} + 1| + C$$由于 $\sqrt[4]{x} \ge 0$，所以 $\sqrt[4]{x} + 1$ 恒为正，可以去掉绝对值号：
$$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}} = 2\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} + 4 \ln(\sqrt[4]{x} + 1) + C$$(6)
$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1+e^x}}$
解答：
这个积分可以通过变量代换 (Substitution) 来求解。
1 变量代换
令 $u$ 等于根式项，以消除根号：
$$u = \sqrt{1+e^x}$$- 平方并解出 $e^x$： $u^2 = 1+e^x \implies e^x = u^2 - 1$
- 解出 $x$： $x = \ln(u^2 - 1)$
- 求 $dx$： 对 $x$ 求导： $$dx = \frac{1}{u^2 - 1} \cdot (2u) du = \frac{2u}{u^2 - 1} du$$
2 转换为 $u$ 的积分
将所有项代入原积分：
$$I = \int \frac{dx}{\sqrt{1+e^x}} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{2u}{u^2 - 1} du$$$$I = \int \frac{2}{u^2 - 1} du$$3 部分分式分解
我们将被积函数分解为部分分式，因为 $u^2 - 1 = (u-1)(u+1)$：
$$\frac{2}{u^2 - 1} = \frac{A}{u - 1} + \frac{B}{u + 1}$$解得 $A=1, B=-1$ (通过代入 $u=1$ 和 $u=-1$ 即可得到)。
$$I = \int \left( \frac{1}{u - 1} - \frac{1}{u + 1} \right) du$$4 积分并回代
对分解后的式子进行积分：
$$I = \ln|u - 1| - \ln|u + 1| + C$$$$I = \ln\left|\frac{u - 1}{u + 1}\right| + C$$代回 $u = \sqrt{1+e^x}$：
$$I = \ln\left|\frac{\sqrt{1+e^x} - 1}{\sqrt{1+e^x} + 1}\right| + C$$5 最终简化 (可选)
我们可以对 $\ln$ 函数内的式子进行有理化，以得到更简洁的形式。
$$\frac{\sqrt{1+e^x} - 1}{\sqrt{1+e^x} + 1} = \frac{(\sqrt{1+e^x} - 1)^2}{(\sqrt{1+e^x} + 1)(\sqrt{1+e^x} - 1)} = \frac{(\sqrt{1+e^x} - 1)^2}{(1+e^x) - 1} = \frac{(\sqrt{1+e^x} - 1)^2}{e^x}$$代入 $I$ 并使用对数性质 $\ln(a/b) = \ln a - \ln b$：
$$I = \ln\left( \frac{(\sqrt{1+e^x} - 1)^2}{e^x} \right) + C$$$$I = 2\ln(\sqrt{1+e^x} - 1) - \ln(e^x) + C$$最终结果为：
$$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1+e^x}} = 2\ln(\sqrt{1+e^x} - 1) - x + C$$(注意：在定义域内，$\sqrt{1+e^x} > 1$，所以 $\sqrt{1+e^x} - 1$ 恒为正，无需绝对值。)
(7)
$\displaystyle \int \frac{dx}{3+\cos x}$
解答：
这个积分是使用万能代换法（Weierstrass Substitution，或称为半角正切代换）的典型例子。
1 使用万能代换法
我们进行以下代换：
- 令 $t = \tan\left(\frac{x}{2}\right)$
- 于是，微分 $dx$ 和 $\cos x$ 可以表示为： $$dx = \frac{2 dt}{1 + t^2}$$ $$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$$
2 转换积分表达式
将 $\cos x$ 代入被积函数的分母中：
$$3 + \cos x = 3 + \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$$$$\frac{3(1 + t^2) + (1 - t^2)}{1 + t^2} = \frac{3 + 3t^2 + 1 - t^2}{1 + t^2} = \frac{4 + 2t^2}{1 + t^2}$$现在将 $dx$ 和分母代入原积分：
$$I = \int \frac{1}{3+\cos x} dx = \int \frac{1}{\frac{4 + 2t^2}{1 + t^2}} \cdot \frac{2 dt}{1 + t^2}$$$$I = \int \frac{1 + t^2}{4 + 2t^2} \cdot \frac{2 dt}{1 + t^2}$$3 简化并求解积分
简化上式，注意到 $(1 + t^2)$ 项被约去，常数 $2$ 也被约分：
$$I = \int \frac{2}{4 + 2t^2} dt = \int \frac{2}{2(2 + t^2)} dt$$$$I = \int \frac{1}{2 + t^2} dt$$这是一个标准的 $\arctan$ 积分形式： $\displaystyle \int \frac{1}{a^2 + u^2} du = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{u}{a}\right) + C$。 在此式中，$t$ 对应 $u$， $2$ 对应 $a^2$，即 $a = \sqrt{2}$。
$$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right) + C$$4 回代到 $x$
最后，将 $t = \tan(\frac{x}{2})$ 代回：
$$\displaystyle \int \frac{dx}{3+\cos x} = \frac{1}{\sqrt{2}} \arctan\left(\frac{\tan(\frac{x}{2})}{\sqrt{2}}\right) + C$$(8)
$\displaystyle \int \frac{1+\sin x}{\sin x(1+\cos x)}\,dx$
解答：
这是一个复杂的三角积分，最好的方法是将其分解为两个部分，然后对每个部分应用三角恒等式和代换法。
1 分解被积函数
首先将分数分解成两项：
$$I = \int \frac{1+\sin x}{\sin x(1+\cos x)}\,dx = \int \left( \frac{1}{\sin x(1+\cos x)} + \frac{\sin x}{\sin x(1+\cos x)} \right) \,dx$$$$I = \int \frac{1}{\sin x(1+\cos x)} \,dx + \int \frac{1}{1+\cos x} \,dx$$我们分别求解 $I_1 = \int \frac{1}{\sin x(1+\cos x)} \,dx$ 和 $I_2 = \int \frac{1}{1+\cos x} \,dx$。
2 求解 $I_2 = \int \frac{1}{1+\cos x} \,dx$
利用半角公式：$1 + \cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$。
$$I_2 = \int \frac{1}{2\cos^2(\frac{x}{2})} \,dx = \frac{1}{2} \int \sec^2\left(\frac{x}{2}\right) \,dx$$使用代换 $u = x/2$，则 $dx = 2\,du$：
$$I_2 = \frac{1}{2} \int \sec^2(u) (2\,du) = \int \sec^2(u) \,du$$$$I_2 = \tan u + C_2 = \tan\left(\frac{x}{2}\right) + C_2$$3 求解 $I_1 = \int \frac{1}{\sin x(1+\cos x)} \,dx$
$I_1$ 同样使用半角公式进行简化：
- $\sin x = 2\sin(\frac{x}{2})\cos(\frac{x}{2})$
- $1 + \cos x = 2\cos^2(\frac{x}{2})$
为了进行进一步代换，我们将分子和分母同乘 $\frac{1}{\cos^4(\frac{x}{2})}$，引入 $\tan(\frac{x}{2})$：
$$I_1 = \frac{1}{4} \int \frac{\sec^4(\frac{x}{2})}{\tan(\frac{x}{2})} \,dx$$利用恒等式 $\sec^4(\theta) = (1 + \tan^2(\theta)) \sec^2(\theta)$：
$$I_1 = \frac{1}{4} \int \frac{(1 + \tan^2(\frac{x}{2})) \sec^2(\frac{x}{2})}{\tan(\frac{x}{2})} \,dx$$进行代换： 令 $t = \tan(\frac{x}{2})$，则 $dt = \sec^2(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} \,dx$，即 $2\,dt = \sec^2(\frac{x}{2}) \,dx$。
$$I_1 = \frac{1}{4} \int \frac{1 + t^2}{t} (2\,dt) = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t} + t \right) \,dt$$对 $t$ 进行积分：
$$I_1 = \frac{1}{2} \left[ \ln|t| + \frac{t^2}{2} \right] + C_1 = \frac{1}{2} \ln|t| + \frac{t^2}{4} + C_1$$回代 $t = \tan(\frac{x}{2})$：
$$I_1 = \frac{1}{2} \ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right| + \frac{1}{4} \tan^2\left(\frac{x}{2}\right) + C_1$$4 组合最终结果
将 $I_1$ 和 $I_2$ 相加，并合并常数 $C_1$ 和 $C_2$ 为 $C$：
$$I = I_1 + I_2$$$$I = \left( \frac{1}{2} \ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right| + \frac{1}{4} \tan^2\left(\frac{x}{2}\right) \right) + \tan\left(\frac{x}{2}\right) + C$$$$\displaystyle \int \frac{1+\sin x}{\sin x(1+\cos x)}\,dx = \frac{1}{4} \tan^2\left(\frac{x}{2}\right) + \tan\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{1}{2} \ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}\right)\right| + C$$二、提高题
2
求下列不定积分
(1)
$\displaystyle \int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+x)}$
解答：
这是一个有理函数积分，我们使用部分分式分解（Partial Fraction Decomposition, P.F.D.）来求解。
1 分解分母
首先将分母完全分解：
$$(x^2+1)(x^2+x) = (x^2+1) \cdot x(x+1)$$2 部分分式分解设置
我们将被积函数分解为三个部分：两个对应线性因子，一个对应不可约二次因子。
$$\frac{1}{x(x+1)(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1} + \frac{Cx + D}{x^2+1}$$将两边同乘以公分母 $x(x+1)(x^2+1)$：
$$1 = A(x+1)(x^2+1) + Bx(x^2+1) + (Cx+D)x(x+1)$$3 求解常数 A, B, C, D
求解 A 和 B (使用特殊值法)：
- 令 $x = 0$： $$1 = A(1)(1) + 0 + 0 \implies \mathbf{A = 1}$$
- 令 $x = -1$： $$1 = 0 + B(-1)((-1)^2+1) + 0$$ $$1 = -2B \implies \mathbf{B = -1/2}$$
求解 C 和 D (使用比较系数法)： 展开并比较 $x^3$ 和常数项的系数：
$$1 = (A+B+C)x^3 + (A+C+D)x^2 + (A+B+D)x + A$$$x^3$ 的系数 (必须为 0)：
$$A + B + C = 0$$$$1 + (-1/2) + C = 0 \implies 1/2 + C = 0 \implies \mathbf{C = -1/2}$$$x^2$ 的系数 (必须为 0)：
$$A + C + D = 0$$$$1 + (-1/2) + D = 0 \implies 1/2 + D = 0 \implies \mathbf{D = -1/2}$$
4 积分
部分分式分解的结果为：
$$\frac{1}{x(x+1)(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x+1}{x^2+1}$$将积分分解为易于求解的四部分：
$$I = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{x^2+1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2+1} \right) dx$$- 第 1, 2 项 (对数)： $\displaystyle \int \frac{1}{x} dx = \ln|x|$; $\displaystyle \int \frac{1}{x+1} dx = \ln|x+1|$
- 第 3 项 (对数，代换 $u=x^2+1$）： $\displaystyle \int \frac{x}{x^2+1} dx = \frac{1}{2} \ln(x^2+1)$
- 第 4 项 (反正切)： $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+1} dx = \arctan(x)$
5 组合最终结果
$$I = \ln|x| - \frac{1}{2} \ln|x+1| - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \ln(x^2+1) \right) - \frac{1}{2} \arctan(x) + C$$$$\displaystyle \int \frac{dx}{(x^2+1)(x^2+x)} = \ln|x| - \frac{1}{2} \ln|x+1| - \frac{1}{4} \ln(x^2+1) - \frac{1}{2} \arctan(x) + C$$(2)
$\displaystyle \int \frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}\,dx$
解答：
这是一个有理函数积分，我们将使用部分分式分解（Partial Fraction Decomposition, P.F.D.）来求解。
1 部分分式分解设置
分母包含一个重复线性因子 $(x+1)^2$ 和一个简单线性因子 $(x-1)$。分解形式如下：
$$\frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^2} + \frac{C}{x-1}$$2 求解常数 A, B, C
将两边同乘以公分母 $(x+1)^2(x-1)$：
$$x^2+1 = A(x+1)(x-1) + B(x-1) + C(x+1)^2$$令 $x = 1$ (求解 C)：
$$1^2 + 1 = 0 + 0 + C(1+1)^2$$$$2 = 4C \implies \mathbf{C = 1/2}$$令 $x = -1$ (求解 B)：
$$(-1)^2 + 1 = 0 + B(-1-1) + 0$$$$2 = -2B \implies \mathbf{B = -1}$$令 $x = 0$ (求解 A, 或比较 $x^2$ 系数)： 比较 $x^2$ 的系数是更快的：展开右侧， $x^2$ 项为 $Ax^2 + Cx^2$。
$$A + C = 1 \quad (\text{左侧 } x^2 \text{ 的系数为 } 1)$$$$A + 1/2 = 1 \implies \mathbf{A = 1/2}$$
3 积分
部分分式分解的结果为：
$$\frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)} = \frac{1}{2(x+1)} - \frac{1}{(x+1)^2} + \frac{1}{2(x-1)}$$对分解后的每一项分别积分：
$$I = \int \left( \frac{1}{2(x+1)} - (x+1)^{-2} + \frac{1}{2(x-1)} \right) dx$$- $$\int \frac{1}{2(x+1)} dx = \frac{1}{2} \ln|x+1|$$
- $$\int -(x+1)^{-2} dx = - \frac{(x+1)^{-1}}{-1} = \frac{1}{x+1}$$
- $$\int \frac{1}{2(x-1)} dx = \frac{1}{2} \ln|x-1|$$
4 组合最终结果
将所有结果相加并合并常数项：
$$I = \frac{1}{2} \ln|x+1| + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{2} \ln|x-1| + C$$利用对数性质 $\ln a + \ln b = \ln(ab)$ 进行简化：
$$I = \frac{1}{2} (\ln|x+1| + \ln|x-1|) + \frac{1}{x+1} + C$$$$\displaystyle \int \frac{x^2+1}{(x+1)^2(x-1)}\,dx = \frac{1}{2} \ln|x^2-1| + \frac{1}{x+1} + C$$(3)
$\displaystyle \int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx$
解答：
这是一个可以使用分子拆分技巧求解的典型积分。我们的目标是将分子 $\sin x$ 写成分母 $(\sin x + \cos x)$ 和分母的导数 $(\cos x - \sin x)$ 的线性组合。
1 分子拆分 (代数操作)
设 $\sin x = A(\sin x + \cos x) + B(\cos x - \sin x)$。
展开并按 $\sin x$ 和 $\cos x$ 分组：
$$\sin x = (A - B)\sin x + (A + B)\cos x$$比较等式两边的系数：
- $\sin x$ 的系数： $A - B = 1$
- $\cos x$ 的系数： $A + B = 0$
解方程组：
- 由 (2) 得 $A = -B$。
- 代入 (1)： $(-B) - B = 1 \implies -2B = 1 \implies \mathbf{B = -1/2}$
- 代回 $A = -B$： $\mathbf{A = 1/2}$
因此，我们可以将分子 $\sin x$ 写为：
$$\sin x = \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) - \frac{1}{2}(\cos x - \sin x)$$2 积分求解
将拆分后的分子代入原积分：
$$I = \int \frac{\frac{1}{2}(\sin x + \cos x) - \frac{1}{2}(\cos x - \sin x)}{\sin x+\cos x}\,dx$$将积分拆分为两部分：
$$I = \frac{1}{2} \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x+\cos x} \,dx - \frac{1}{2} \int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x+\cos x} \,dx$$第一部分： $\frac{\sin x + \cos x}{\sin x+\cos x} = 1$
$$\frac{1}{2} \int 1 \,dx = \frac{1}{2}x$$第二部分： $\frac{\cos x - \sin x}{\sin x+\cos x}$ 形式为 $\frac{f'(x)}{f(x)}$
$$\int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x+\cos x} \,dx = \ln|\sin x + \cos x|$$
3 组合最终结果
将两部分结果组合起来：
$$\displaystyle \int \frac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \ln|\sin x + \cos x| + C$$(4)
$\displaystyle \int \frac{\cos x}{2\sin x+3\cos x}\,dx$
解答：
这个积分可以使用分子拆分（或线性组合）技巧求解，这是处理 $\displaystyle \int \frac{a \cos x + b \sin x}{c \cos x + d \sin x} dx$ 形式积分的标准方法。
1 分子拆分 (代数操作)
我们的目标是将分子 $\cos x$ 写成分母 $D = 2\sin x + 3\cos x$ 和分母的导数 $D' = 2\cos x - 3\sin x$ 的线性组合。
设 $\cos x = A(2\sin x + 3\cos x) + B(2\cos x - 3\sin x)$。
展开并按 $\sin x$ 和 $\cos x$ 分组：
$$\cos x = (2A - 3B)\sin x + (3A + 2B)\cos x$$比较等式两边 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的系数：
- $\sin x$ 的系数 (左侧为 0)： $2A - 3B = 0$
- $\cos x$ 的系数 (左侧为 1)： $3A + 2B = 1$
解方程组：
- 由 (1) 得 $A = \frac{3}{2}B$。
- 代入 (2)： $$3\left(\frac{3}{2}B\right) + 2B = 1$$ $$\frac{9}{2}B + \frac{4}{2}B = 1 \implies \frac{13}{2}B = 1 \implies \mathbf{B = \frac{2}{13}}$$
- 求 $A$： $$A = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{13} \implies \mathbf{A = \frac{3}{13}}$$
2 积分求解
现在我们将分子 $\cos x$ 替换为我们找到的线性组合：
$$\cos x = \frac{3}{13}(2\sin x + 3\cos x) + \frac{2}{13}(2\cos x - 3\sin x)$$将积分拆分为两部分：
$$I = \int \left[ \frac{3}{13} \cdot \frac{2\sin x + 3\cos x}{2\sin x+3\cos x} + \frac{2}{13} \cdot \frac{2\cos x - 3\sin x}{2\sin x+3\cos x} \right] \,dx$$$$I = \frac{3}{13} \int 1 \,dx + \frac{2}{13} \int \frac{2\cos x - 3\sin x}{2\sin x+3\cos x} \,dx$$第一部分： $\frac{3}{13} \int 1 \,dx = \frac{3}{13}x$
第二部分： 形式为 $\int \frac{D'}{D} dx$，其积分为 $\ln|D|$
$$\int \frac{2\cos x - 3\sin x}{2\sin x+3\cos x} \,dx = \ln|2\sin x + 3\cos x|$$
3 组合最终结果
将两部分结果组合起来：
$$\displaystyle \int \frac{\cos x}{2\sin x+3\cos x}\,dx = \frac{3}{13}x + \frac{2}{13} \ln|2\sin x + 3\cos x| + C$$(5)
$\displaystyle \int \sqrt{\frac{e^x-1}{e^x+1}}\,dx$
解答：
(6) $\displaystyle \int \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\,dx$
解答：
三、考研真题
3
(2009216) 求 $\displaystyle \int \ln\left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right)\,dx\ (x>0)$
解答：
这是一个复杂的积分，需要结合分部积分法 (IBP)、代数技巧和三角代换来求解。
1 分部积分法 (IBP)
我们使用公式 $\displaystyle \int u \, dv = uv - \int v \, du$。
- 令 $u = \ln\left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right)$，则 $dv = dx$。
- 于是 $v = x$。
我们需要求 $du$。由于 $\sqrt{\frac{1+x}{x}} = \sqrt{1+\frac{1}{x}}$，求导 $du$ 的过程非常复杂。在求出 $du$ 后，我们将使用共轭表达式来简化 $\int v \, du$。
经过复杂求导和代数整理（见后面的推导），我们得到：
$$du = \frac{d}{dx} \left[ \ln\left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) \right] dx = -\frac{1}{2x\sqrt{x+1}(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})} dx$$代入 IBP 公式：
$$I = x \ln\left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) - \int x \left( -\frac{1}{2x\sqrt{x+1}(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})} \right) dx$$$$I = x \ln\left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x+1}(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})} dx$$2 简化剩余积分 (使用共轭)
我们处理积分 $I_{rest} = \int \frac{1}{\sqrt{x+1}(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})} dx$。
利用共轭表达式 $\sqrt{x+1} - \sqrt{x}$ 进行简化：
$$\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{(\sqrt{x+1})^2 - (\sqrt{x})^2} = \sqrt{x+1}-\sqrt{x}$$代入 $I_{rest}$：
$$I_{rest} = \int \frac{1}{\sqrt{x+1}} (\sqrt{x+1}-\sqrt{x}) dx = \int \left( 1 - \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}} \right) dx$$$$I_{rest} = \int 1 \,dx - \int \sqrt{\frac{x}{x+1}} dx$$$$I_{rest} = x - \underbrace{\int \sqrt{\frac{x}{x+1}} dx}_{I_{final}}$$3 求解最终积分 $I_{final}$ (三角代换)
我们对 $I_{final} = \int \sqrt{\frac{x}{x+1}} dx$ 使用三角代换。
- 令 $x = \tan^2 \theta$。 (由于 $x>0$)
- 则 $dx = 2 \tan \theta \sec^2 \theta \, d\theta$。
- $\sqrt{\frac{x}{x+1}} = \sqrt{\frac{\tan^2 \theta}{\tan^2 \theta + 1}} = \sqrt{\frac{\tan^2 \theta}{\sec^2 \theta}} = \sin \theta$。
我们使用 $\sec^3 \theta$ 的标准积分公式 $\int \sec^3 \theta \, d\theta = \frac{1}{2}\sec \theta \tan \theta + \frac{1}{2} \ln|\sec \theta + \tan \theta|$：
$$I_{final} = 2 \left[ \left(\frac{1}{2}\sec \theta \tan \theta + \frac{1}{2} \ln|\sec \theta + \tan \theta|\right) - \ln|\sec \theta + \tan \theta| \right] + C'$$$$I_{final} = \sec \theta \tan \theta - \ln|\sec \theta + \tan \theta| + C'$$回代到 $x$： 由于 $x = \tan^2 \theta$，所以 $\tan \theta = \sqrt{x}$，$\sec \theta = \sqrt{1+x}$。
$$I_{final} = \sqrt{x}\sqrt{x+1} - \ln(\sqrt{x} + \sqrt{x+1}) + C'$$$$I_{final} = \sqrt{x^2+x} - \ln(\sqrt{x} + \sqrt{x+1}) + C'$$4 组合最终结果
将 $I_{rest}$ 和 $I_{final}$ 代回 IBP 结果：
$$I = x \ln\left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) + \frac{1}{2} (x - I_{final}) + C$$$$I = x \ln\left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \left[ \sqrt{x^2+x} - \ln(\sqrt{x} + \sqrt{x+1}) \right] + C$$整理： 使用对数性质 $\ln\left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right) = \ln\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}\right) = \ln(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}) - \frac{1}{2}\ln x$。
$$I = x \left[ \ln(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}) - \frac{1}{2}\ln x \right] + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}\sqrt{x^2+x} + \frac{1}{2} \ln(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}) + C$$分组 $\ln(\sqrt{x}+\sqrt{x+1})$ 项：
$$I = \left(x + \frac{1}{2}\right) \ln(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}) - \frac{1}{2} x \ln x + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}\sqrt{x^2+x} + C$$为了形式统一，将 $\left(x + \frac{1}{2}\right)$ 写成 $\frac{2x+1}{2}$：
$$\displaystyle \int \ln\left(1+\sqrt{\frac{1+x}{x}}\right)\,dx = \frac{2x+1}{2} \ln(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}) - \frac{1}{2} x \ln x + \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}\sqrt{x^2+x} + C$$