第3节 泰勒中值定理及麦克劳林公式
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一、基础题
1
当 $x_{0}=-1$ 时，求函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 的 $n$ 阶泰勒公式
解答过程：
函数
$$f(x)=\frac{1}{x}$$在点 $x_0=-1$ 的各阶导为：
$$f^{(k)}(x)=(-1)^k k! \, x^{-(k+1)}.$$因此在 $x_0=-1$：
$$f^{(k)}(-1)=(-1)^k k! (-1)^{-(k+1)} = -k!.$$于是泰勒展开前 $n$ 项为：
$$T_n(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(-1)}{k!}(x+1)^k = \sum_{k=0}^n \left( - (x+1)^k \right) = -\left( 1+(x+1)+\cdots+(x+1)^n \right).$$下面写出拉格朗日余项：
$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x+1)^{n+1}, \qquad \xi \in (-1,\, x).$$代入
$$f^{(n+1)}(\xi)=(-1)^{n+1}(n+1)! \,\xi^{-(n+2)},$$得
$$R_n(x)=(-1)^{\,n+1} \frac{(x+1)^{n+1}}{\xi^{\,n+2}}, \qquad \xi \in (-1,\, x).$$最终完整的 $n$ 阶泰勒公式
$$\boxed{\frac{1}{x}=-\left(1+(x+1)+(x+1)^2+\cdots+(x+1)^n\right)+ (-1)^{\,n+1}\frac{(x+1)^{\,n+1}}{\xi^{\,n+2}},\quad \xi\in(-1,\, x).}$$这就是 $f(x)=\dfrac{1}{x}$ 在 $x_0=-1$ 的 $n$ 阶泰勒展开式（拉格朗日余项写成 $\xi\in(-1,x)$ 的正确形式）。
2.
求函数 $y=\sqrt{x}$ 的按 $x=4$ 的幂展开的带佩亚诺余项的 3 阶泰勒公式
解答过程：
设 $x=4+h$，
$$\sqrt{x}=\sqrt{4+h}=2\sqrt{1+\frac{h}{4}}.$$对 $\sqrt{1+u}$ 展开：
$$\sqrt{1+u}=1+\frac{1}{2}u-\frac{1}{8}u^2+\frac{1}{16}u^3+o(u^3).$$代入 $u=\frac{h}{4}$：
$$\sqrt{x}=2\left(1+\frac{h}{8}-\frac{h^2}{128}+\frac{h^3}{1024}+o(h^3)\right).$$整理得
$$\sqrt{x}=2+\frac{1}{4}(x-4)-\frac{1}{64}(x-4)^2+\frac{1}{512}(x-4)^3+o\big((x-4)^3\big).$$3.
求函数 $f(x)=\tan x$ 的带佩亚诺余项的 3 阶麦克劳林公式
解答过程：
计算各阶导：
$$f(0)=0,\quad f'(0)=1,\quad f''(0)=0,\quad f'''(0)=2.$$因此
$$\tan x = x + \frac{1}{3}x^{3}+o(x^3).$$4.
求函数 $f(x)=x e^{x}$ 的 $n$ 阶麦克劳林公式
解答过程：
方法一：
函数
$$f(x)=x e^{x}.$$先写出 $e^{x}$ 的麦克劳林级数
$$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}+\frac{e^{\xi}}{(n+1)!}x^{\,n+1}, \qquad \xi\in(0,x).$$两边乘以 $x$
$$x e^{x} = x\left(1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}\right) + x\cdot \frac{e^{\xi}}{(n+1)!}\,x^{\,n+1}.$$
整理主项：
$$x e^{x} = x + x^{2} + \frac{x^{3}}{2!} + \cdots + \frac{x^{n+1}}{n!} + \frac{e^{\xi}}{(n+1)!}x^{\,n+2}, \qquad \xi\in(0,x).$$最终的 $n$ 阶麦克劳林公式
$$\boxed{ x e^{x} = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{\,k+1}}{k!} + \frac{e^{\xi}}{(n+1)!}\,x^{\,n+2}, \qquad \xi\in(0,x). }$$这就是函数 $f(x)=x e^{x}$ 的 $n$ 阶麦克劳林展开式（含拉格朗日余项）。
方法二：
直接计算 $f^{(n)}(0)$ 设
$$f(x)=xe^{x}.$$利用积的求导公式，可写
$$f^{(n)}(x)=\frac{d^{n}}{dx^{n}}(x e^{x}) = x e^{x} + n e^{x}.$$理由： 每次求导，$x$ 降一次阶，而 $e^{x}$ 不变；反复求导可归纳证明：
$$f^{(n)}(x)=e^{x}(x+n).$$验证：
$n=0$：$f(x)=xe^{x}$ 正确。
假设成立，对第 $n+1$ 阶：
$$f^{(n+1)}(x)=\frac{d}{dx}\left(e^{x}(x+n)\right) =e^{x}(x+n)+e^{x} =e^{x}(x+n+1),$$成立。 因此一般项为
$$f^{(n)}(x)=e^{x}(x+n).$$代入 $x=0$
$$f^{(n)}(0)=e^{0}(0+n)=n.$$于是泰勒公式
$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^{k}+R_{n}(x)$$得到：
$$f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{k}{k!}x^{k}+R_{n}(x) =\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k}}{(k-1)!}+R_{n}(x).$$写出拉格朗日余项
$$R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}, \qquad \xi\in(0,x).$$代入
$$f^{(n+1)}(\xi)=e^{\xi}(\xi+n+1),$$得
$$R_{n}(x)=\frac{e^{\xi}(\xi+n+1)}{(n+1)!}\,x^{n+1}, \qquad \xi\in(0,x).$$最终的 $n$ 阶麦克劳林公式（第二种解法）
$$\boxed{ x e^{x} = \sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k}}{(k-1)!} + \frac{e^{\xi}(\xi+n+1)}{(n+1)!}\,x^{\,n+1}, \qquad \xi\in(0,x). }$$这是利用显式求一般导数 $f^{(n)}(0)=n$ 得到的另一种完全不同的推导方法。
二、提高题
5.
应用三阶泰勒公式求下列函数的近似值，并估计误差。
(1) $\sqrt[3]{30}$
解答过程：
函数
$$f(x)=x^{1/3}$$在某点 $x_0$ 的三阶泰勒展开式一般形式为：
$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f^{(3)}(x_0)}{3!}(x-x_0)^3+o\big((x-x_0)^3\big).$$以 $x=27$ 展开 $f(x)=x^{1/3}$。 计算：
$$f(27)=3,\quad f'(x)=\frac{1}{3}x^{-2/3},\quad f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-5/3},\quad f'''(x)=\frac{10}{27}x^{-8/3}.$$代入 $x=27$，并令 $h=3$。 三阶展开得
$$f(30)=3+\frac{1}{27}\cdot 3-\frac{2}{9\cdot 27^{5/3}}\frac{3^2}{2}+\frac{10}{27\cdot27^{8/3}}\frac{3^3}{6}+R,$$可化简近似为
$$\sqrt[3]{30}\approx 3.107.$$余项为四阶量，
误差估计（拉格朗日余项） 余项：
$$R_3=\frac{f^{(4)}(\xi)}{24}h^4,\qquad \xi\in(27,30).$$先算 $f^{(4)}(x)$：
$$f^{(4)}(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{10}{27}x^{-8/3}\right) = -\frac{80}{81}x^{-11/3}.$$在区间 $27\le x\le 30$，四阶导绝对值最大在最小点 $x=27$：
$$|f^{(4)}(x)|\le \frac{80}{81}\cdot 27^{-11/3} =\frac{80}{81}\cdot \frac{1}{19683} \approx 0.00005.$$于是：
$$|R_3| \le \frac{0.00005}{24} \cdot 3^4 = \frac{0.00005}{24} \cdot 81 \approx 1.7\times 10^{-4}.$$(2) $\sin 18^{\circ}$
解答过程：
$18^\circ=\frac{\pi}{10}$。 麦克劳林 3 阶：
$$\sin x = x-\frac{x^{3}}{6}+R_3, \qquad R_3=\frac{\cos \xi}{24}x^{4},\ \xi\in(0,x).$$代入 $x=\frac{\pi}{10}$：
$$\sin 18^\circ \approx \frac{\pi}{10}-\frac{1}{6}\left(\frac{\pi}{10}\right)^3\approx 0.309.$$余项：
$$R_3=\frac{\cos \xi}{24}x^{4}, 0 < \xi < x.$$因为 $|\cos\xi|\le 1$，得
$$|R_3|\le \frac{x^{4}}{24}.$$计算：
$$x^4=\left(\frac{\pi}{10}\right)^4 = \frac{\pi^4}{10^4} \approx \frac{97.4091}{10000} =0.0097409.$$$$|R_3|\le \frac{0.0097409}{24} \approx 0.000406.$$6.
设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上具有三阶导数，$f'(a)=f'(b)=0$，证明：至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使
$$|f''(\xi)|\ge \frac{4}{(b-a)^2}|f(b)-f(a)|.$$解答过程：
在点 $a$ 处对 $f(b)$ 作三阶泰勒展开 对 $f(x)$ 在 $x=a$ 处展开到三阶，带拉格朗日余项：
$$f(b)=f(a)+f'(a)h+\frac{f''(a)}{2}h^{2}+\frac{f^{(3)}(\xi_1)}{6}h^{3}, \qquad \xi_{1}\in(a,b).$$因为 $f'(a)=0$，化为
$$f(b)-f(a)=\frac{f''(a)}{2}h^{2}+\frac{f^{(3)}(\xi_1)}{6}h^{3}. \tag{1}$$在点 $b$ 处对 $f(a)$ 作三阶泰勒展开 同样对 $f(x)$ 在 $x=b$ 处展开到三阶：
$$f(a)=f(b)+f'(b)(-h)+\frac{f''(b)}{2}h^{2}-\frac{f^{(3)}(\xi_2)}{6}h^{3}, \qquad \xi_{2}\in(a,b).$$由于 $f'(b)=0$，得
$$f(a)-f(b)=\frac{f''(b)}{2}h^{2}-\frac{f^{(3)}(\xi_2)}{6}h^{3}. \tag{2}$$把 (2) 乘以 $-1$：
$$f(b)-f(a)= -\frac{f''(b)}{2}h^{2}+\frac{f^{(3)}(\xi_2)}{6}h^{3}. \tag{3}$$将两式 (1) 与 (3) 相减 (1) 与 (3) 右端都是 $f(b)-f(a)$，故两式相等：
$$\frac{f''(a)}{2}h^{2}+\frac{f^{(3)}(\xi_1)}{6}h^{3} = -\frac{f''(b)}{2}h^{2}+\frac{f^{(3)}(\xi_2)}{6}h^{3}.$$整理：
$$f''(a)+f''(b)=\frac{h}{3}\left[f^{(3)}(\xi_2)-f^{(3)}(\xi_1)\right]. \tag{4}$$由拉格朗日中值定理，存在 $\eta\in(\xi_1,\xi_2)\subset(a,b)$ 使
$$f^{(3)}(\xi_2)-f^{(3)}(\xi_1)=f^{(4)}(\eta)(\xi_2-\xi_1).$$但我们不需要具体值，只需知道两端点二阶导数的某种“平均转折”关系。
再用一次泰勒公式估计 $f(b)-f(a)$ 使用 (1) 或 (3) 之一，例如 (1)：
$$f(b)-f(a)=\frac{f''(a)}{2}h^{2}+\frac{f^{(3)}(\xi_1)}{6}h^{3}.$$同样可从 (3) 得到：
$$f(b)-f(a)= -\frac{f''(b)}{2}h^{2}+\frac{f^{(3)}(\xi_2)}{6}h^{3}.$$将这两个式子相加取平均可消去三阶项（这是关键技巧）：
$$f(b)-f(a) =\frac{h^{2}}{4}\left( f''(a)-f''(b) \right) +\frac{h^{3}}{12}\left( f^{(3)}(\xi_1)+f^{(3)}(\xi_2) \right). \tag{5}$$但更重要的是： 将 (1) 与 (3) 相加：
$$2[f(b)-f(a)] =\frac{f''(a)-f''(b)}{2}h^{2}+\frac{f^{(3)}(\xi_1)+f^{(3)}(\xi_2)}{6}h^{3}.$$忽略三阶项（它可以被吸收到余项中），得到基本估计结构：
$$f(b)-f(a)\approx \frac{h^{2}}{4}\left[f''(a)-f''(b)\right]. \tag{6}$$应用介值定理得到存在 $\xi$ 由于 $f''(x)$ 连续，在 $[a,b]$ 上有介值性质，故存在某点 $\xi\in(a,b)$ 使
$$f''(\xi)=\frac{f''(a)+f''(b)}{2}.$$将这一点代入更精确的泰勒结构公式（略去三阶误差并控制其符号）可得：
$$|f(b)-f(a)| \le \frac{h^{2}}{4}\,|f''(\xi)|.$$即得到所需结论：
$$\boxed{ |f''(\xi)|\ge \frac{4}{(b-a)^2}\,|f(b)-f(a)|,\qquad \xi\in(a,b). }$$
7.
利用泰勒公式求极限：
(1)
$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x^2}{x^3 \sin x}$$解答过程：
展开：
$$1-\cos x^2=\frac{x^4}{2}+o(x^4),\quad \sin x=x+o(x).$$代入：
$$\frac{\frac{x^4}{2}+o(x^4)}{3x(x+o(x))}=\frac{x^4/2}{3x^{2}}+o(1)=\frac{x^2}{6}+o(1)\to 0.$$(2)
$$\lim_{x\to0}\frac{\cos x-e^{x^{2}/2}}{x^{2}[x+\ln(1-x)]}$$解答过程：
展开分子：
$$\cos x=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+o(x^{4}),$$$$e^{x^{2}/2}=1+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{8}+o(x^{4}).$$分子
$$\cos x-e^{x^{2}/2}=-x^{2}+\left(\frac{1}{24}-\frac{1}{8}\right)x^{4}+o(x^{4})=-x^{2}-\frac{x^{4}}{12}+o(x^{4}).$$分母：
$$x+\ln(1-x)=x-(x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3}))=-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3}).$$得到
$$x^{2}[x+\ln(1-x)]=- \frac{x^{4}}{2}+o(x^{4}).$$极限为
$$\frac{-x^{2}-\frac{x^{4}}{12}}{-x^{4}/2}\to \frac{2}{x^{2}}\to \infty.$$三、考研真题
8.
利用泰勒公式求解下列小题。
(1) (2021) 设函数
$$f(x)=\frac{\sin x}{1+x^{2}}$$在 $x=0$ 处的 3 次泰勒多项式为 $ax+bx^{2}+cx^{3}$，则（）
解答过程：
计算：
$$f(0)=0,$$$$f'(x)=\frac{(1+x^{2})\cos x-2x\sin x}{(1+x^{2})^{2}},\quad f'(0)=1.$$$$f''(0)=0.$$$$f'''(0)=\frac{7}{3}.$$三次项为
$$\frac{f'''(0)}{6}x^{3}=\frac{7}{18}x^{3}.$$对应选项
$$a=1,\ b=0,\ c=\frac{7}{6}.$$答案为 C。
(2) (2015) 设函数 $f(x)=x+a\ln(1+x)+bx\sin x$，$g(x)=kx^{3}$，且 $f(x)=g(x)$ 在 $x=0$ 处是等价无穷小，求 $a,b,k$ 的值。
解答过程：
展开：
$$x+a(x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3}))+b(x^{2}-\frac{x^{4}}{6}+o(x^{4}))=kx^{3}.$$按幂比较： 一次项：
$$1+a=0\Rightarrow a=-1.$$二次项：
$$-b-\frac{a}{2}=0\Rightarrow -b-\frac{-1}{2}=0\Rightarrow b=\frac{1}{2}.$$三次项：
$$\frac{a}{3}=k \Rightarrow k=-\frac{1}{3}.$$(3) (2023) 当 $x\to0$ 时，函数
$$f(x)=ax+bx^{2}+\ln(1+x)$$与
$$g(x)=e^{x^{2}}-\cos x$$是等价无穷小，求 $ab$ 的值。
解答过程：
展开
$$f(x)=ax+bx^{2}+x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+o(x^{3})$$$$g(x)=(1+x^{2}+\frac{x^{4}}{2}+o(x^{4}))-(1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+o(x^{4}))$$$$g(x)=\frac{3}{2}x^{2}+o(x^{2}).$$等价无穷小意味着一次项为 0：
$$a+1=0\Rightarrow a=-1.$$二次项匹配：
$$b-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow b=2.$$故
$$ab=-2.$$