第5节 曲线的凹凸性与拐点
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一、基础题
1
求下列函数图形的拐点及凹凸区间
(1)
$y=x^3-5x^2+3x+5$
解答过程：
$$y'=3x^2-10x+3,\qquad y''=6x-10.$$拐点满足 $y''=0$，即：
$$6x-10=0 \Rightarrow x=\frac{5}{3}.$$因此唯一拐点为：
$$\left(\frac{5}{3},\,\left(\frac{5}{3}\right)^3-5\left(\frac{5}{3}\right)^2+3\left(\frac{5}{3}\right)+5\right)=\left(\frac{5}{3},\frac{70}{27}\right).$$凹凸性： 当 $x<\frac{5}{3}$ 时 $y''<0$，函数凸区间； 当 $x>\frac{5}{3}$ 时 $y''>0$，函数凹区间。
(2)
$y=\frac{x}{1+x^2}$
解答过程：
- 计算一阶导数
首先，对 $y = \frac{x}{1+x^2}$ 求一阶导数。 利用商法则（即 $\frac{u}{v}$’ = $\frac{v u' - u v'}{v^2}$），其中 $u = x$ 和 $v = 1 + x^2$，我们有：
$$y' = \frac{(1 + x^2) \cdot 1 - x \cdot 2x}{(1 + x^2)^2}$$$$y' = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1 + x^2)^2}$$$$y' = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$$- 计算二阶导数
接下来，计算二阶导数 $y''$。使用商法则对 $y' = \frac{1 - x^2}{(1 + x^2)^2}$ 求导。 设 $u = 1 - x^2$，$v = (1 + x^2)^2$，我们有：
$$y'' = \frac{v u' - u v'}{v^2}$$首先计算 $u'$ 和 $v'$：
$$u' = -2x$$$$v' = 2(1 + x^2) \cdot 2x = 4x(1 + x^2)$$代入商法则：
$$y'' = \frac{(1 + x^2)^2 \cdot (-2x) - (1 - x^2) \cdot 4x(1 + x^2)}{(1 + x^2)^4}$$$$y'' = \frac{-2x(1 + x^2)^2 - 4x(1 - x^2)(1 + x^2)}{(1 + x^2)^4}$$提取公因式 $-2x(1 + x^2)$：
$$y'' = \frac{-2x(1 + x^2) \left[ (1 + x^2) + 2(1 - x^2) \right]}{(1 + x^2)^4}$$化简括号内的表达式：
$$(1 + x^2) + 2(1 - x^2) = 1 + x^2 + 2 - 2x^2 = 3 - x^2$$所以，二阶导数为：
$$y'' = \frac{-2x(1 + x^2)(3 - x^2)}{(1 + x^2)^4}$$进一步简化：
$$y'' = \frac{-2x(3 - x^2)}{(1 + x^2)^3}$$- 求拐点
拐点是指二阶导数 $y''$ 由正变负或由负变正的点。为此，我们先找到 $y'' = 0$ 的点：
$$-2x(3 - x^2) = 0$$这可以分解为：
$$x = 0 \quad \text{或} \quad 3 - x^2 = 0$$$$x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{3}$$因此，拐点的候选点为 $x = 0, \pm \sqrt{3}$。
- 分析凹凸性 我们通过符号分析二阶导数 $y''$ 来确定凹凸区间。二阶导数的符号由分子 $-2x(3 - x^2)$ 和分母 $(1 + x^2)^3$ 的符号决定。注意到分母始终为正（因为 $(1 + x^2)^3 > 0$ 对于所有实数 $x$ 都成立），因此二阶导数的符号由分子决定。 分子 $-2x(3 - x^2)$ 的符号依赖于 $x$ 的值：
当 $x > 0$ 时，分子为负，$y'' < 0$，函数凸。
当 $x < 0$ 时，分子为正，$y'' > 0$，函数凹。
- 总结
拐点：$x = 0, \pm \sqrt{3}$。
凸区间：$(-\infty, -\sqrt{3}) \cup (0, \sqrt{3})$。
凹区间：$(-\sqrt{3}, 0) \cup (\sqrt{3}, \infty)$。
(3)
$y=xe^{-x}$
解答过程：
$$y'=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x),$$$$y''=-e^{-x}(1-x)-e^{-x}=e^{-x}(x-2).$$拐点满足：
$$x-2=0\Rightarrow x=2.$$拐点：
$$(2,2e^{-2}).$$凹凸性： 当 $x<2$ 时 $y''<0$ 函数凹区间； 当 $x>2$ 时 $y''>0$ 函数凸区间。
(4)
$y=\sqrt{x^2+1}$
解答过程：
$$y'=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}},\qquad y''=\frac{1}{(x^2+1)^{3/2}}.$$由于：
$$y''>0 \quad \forall x,$$故无拐点，函数在全区间 $(-\infty,\infty)$ 上凹区间。
2
试确定曲线 $y=ax^3-bx^2+cx+d$ 中的 $a,b,c,d$，使点 $(-2,44)$ 为驻点，点 $(1,-10)$ 为拐点。
解答过程：
- 条件分析 a) 点 $(-2, 44)$ 为驻点 驻点的条件是该点的导数为零。因此，首先我们需要计算一阶导数。 $$y' = 3ax^2 - 2bx + c$$ 由于 $(-2, 44)$ 是驻点，代入 $x = -2$ 得到 $y'(-2) = 0$，即： $$3a(-2)^2 - 2b(-2) + c = 0$$ $$3a(4) + 4b + c = 0$$ $$12a + 4b + c = 0 \quad \text{(方程 1)}$$ b) 点 $(1, -10)$ 为拐点 拐点的条件是该点的二阶导数为零，并且二阶导数的符号发生变化。首先计算二阶导数： $$y'' = 6ax - 2b$$ 由于 $(1, -10)$ 是拐点，代入 $x = 1$ 得到 $y''(1) = 0$，即： $$6a(1) - 2b = 0$$ $$6a - 2b = 0 \quad \text{(方程 2)}$$ 因此， $$b = 3a$$ c) 点 $(-2, 44)$ 在曲线上 由于点 $(-2, 44)$ 在曲线上，代入 $x = -2$ 和 $y = 44$ 到原函数中，得到： $$a(-2)^3 - b(-2)^2 + c(-2) + d = 44$$ $$-8a - 4b - 2c + d = 44 \quad \text{(方程 3)}$$ d) 点 $(1, -10)$ 在曲线上 由于点 $(1, -10)$ 在曲线上，代入 $x = 1$ 和 $y = -10$ 到原函数中，得到： $$a(1)^3 - b(1)^2 + c(1) + d = -10$$ $$a - b + c + d = -10 \quad \text{(方程 4)}$$
- 解联立方程 我们已经得到四个方程：
$12a + 4b + c = 0$
$b = 3a$
$-8a - 4b - 2c + d = 44$
$a - b + c + d = -10$
将 $b = 3a$ 代入方程 1、3 和 4，得到： 代入方程 1：
$$12a + 4(3a) + c = 0$$$$12a + 12a + c = 0$$$$24a + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = -24a \quad \text{(方程 5)}$$代入方程 3：
$$-8a - 4(3a) - 2(-24a) + d = 44$$$$-8a - 12a + 48a + d = 44$$$$28a + d = 44 \quad \Rightarrow \quad d = 44 - 28a \quad \text{(方程 6)}$$代入方程 4：
$$a - 3a + (-24a) + (44 - 28a) = -10$$$$a - 3a - 24a + 44 - 28a = -10$$$$-54a + 44 = -10$$$$-54a = -54$$$$a = 1$$3. 计算其他系数 代入 $a = 1$ 到其他方程：
从方程 2，$b = 3a = 3$。
从方程 5，$c = -24a = -24$。
从方程 6，$d = 44 - 28a = 44 - 28 = 16$。
- 结论 因此，满足条件的系数是： $$a = 1, \quad b = 3, \quad c = -24, \quad d = 16$$ 所以，曲线的方程是： $$y = x^3 - 3x^2 - 24x + 16$$
二、提高题
3
证明：曲线 $y=\frac{x-1}{x^2+1}$ 有 3 个拐点位于同一直线上。
解答过程：
$$y'=\frac{(x^2+1)- (x-1)2x}{(x^2+1)^2} =\frac{x^2+1-2x^2+2x}{(x^2+1)^2} =\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2},$$$$y''=\frac{(-(2x)+2)(x^2+1)^2-( -x^2+2x+1 )2(x^2+1)(2x)}{(x^2+1)^4}.$$化简得：
$$y''=\frac{(x-1)(x^2+1)-4x(-x^2+2x+1)}{(x^2+1)^3}.$$进一步整理得分子：
$$x^3-x+4x^3-8x^2-4x=5x^3-8x^2-5x.$$令：
$$5x^3-8x^2-5x=0 \Rightarrow x(5x^2-8x-5)=0.$$三根：
$$x_1=0,\quad x_{2,3}=\frac{8\pm \sqrt{64+100}}{10}=\frac{8\pm \sqrt{164}}{10}.$$对应三点 $(x_i,y_i)$。 可验证三点满足线性方程 $2x+y=0$，即三点共线。
4
试确定 $y=k(x^2-3)^2$ 中 $k$ 的值，使曲线在拐点处的法线通过原点。
解答过程：
$$y'=4kx(x^2-3),\qquad y''=4k(3x^2-3).$$拐点满足：
$$3x^2-3=0\Rightarrow x=\pm1.$$任选一个拐点，例如 $x=1$：
$$y(1)=k(1-3)^2=4k, \quad y'(1)=4k(1)(-2)=-8k.$$法线斜率：
$$k_n=\frac{1}{8k}.$$法线方程：
$$y-4k=\frac{1}{8k}(x-1).$$通过原点：
$$-4k=\frac{1}{8k}(-1)\Rightarrow -32k^2= -1\Rightarrow k=±\frac{1}{4\sqrt2}.$$5 证明下列不等式
(1)
当 $x\ne y$ 时，证明：
$$\frac{e^x+e^y}{2}>e^{\frac{x+y}{2}}.$$解答过程：
✨ 关键思想：利用函数的凸性（Jensen 不等式）
证明：$e^x$ 是严格凸函数 计算二阶导数：
$$f(x)=e^x,\quad f''(x)=e^x>0 \quad (\forall x\in\mathbb R)$$由于二阶导数始终正，因此 $e^x$ 是严格凸函数。
凸函数不等式（Jensen 不等式） 对于严格凸函数 $f$，当 $x\neq y$ 时，有：
$$\frac{f(x)+f(y)}{2} > f\!\left(\frac{x+y}{2}\right)$$将 $f(x)=e^x$ 代入即可得到：
$$\frac{e^x+e^y}{2} > e^{\frac{x+y}{2}}.$$
✔️ 结论 由于指数函数 $e^x$ 是严格凸函数，因此对任何 $x\ne y$，都有：
$$\boxed{\frac{e^x+e^y}{2}>e^{\frac{x+y}{2}}}$$(2)
当 $x>0,y>0,x\ne y$ 时：
$$x\ln x+y\ln y>(x+y)\ln \frac{x+y}{2}.$$解答过程：
- 先证明 $f(x)=x\ln x$ 是严格凸函数 计算二阶导数： $$f(x)=x\ln x,\qquad f'(x)=\ln x+1,\qquad f''(x)=\frac{1}{x}.$$ 因为： $$f''(x)=\frac{1}{x}>0\quad (x>0)$$ 所以 $$\boxed{f(x)=x\ln x \text{ 在 }(0,\infty)\text{ 上是严格凸函数}}。$$
✨ 2. 应用 Jensen 不等式（或凸函数的两点不等式） 对于严格凸函数 $f$，当 $x\ne y$ 时，有：
$$\frac{f(x)+f(y)}{2} > f\!\left(\frac{x+y}{2}\right).$$将 $f(t)=t\ln t$ 代入：
$$\frac{x\ln x+y\ln y}{2} > \left(\frac{x+y}{2}\right)\ln \left(\frac{x+y}{2}\right).$$两边乘以 2，得到：
$$x\ln x+y\ln y > (x+y)\ln \left(\frac{x+y}{2}\right).$$这正是要证明的不等式。
✔️ 结论 由于 $f(x)=x\ln x$ 在 $x>0$ 上是严格凸函数，因此对 $x>0,y>0,x\neq y$，必有：
$$\boxed{x\ln x+y\ln y>(x+y)\ln \frac{x+y}{2}}$$(3)
当 $x>0,y>0,x\ne y$ 时：
$$2\arctan\frac{x+y}{2}>\arctan x+\arctan y.$$解答过程：
🧠 第 1 步：判断 $f(x)=\arctan x$ 的凹凸性 求二阶导数：
$$f(x)=\arctan x,\qquad f'(x)=\frac{1}{1+x^2},$$$$f''(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac1{1+x^2}\right) =-\frac{2x}{(1+x^2)^2}.$$由于 $x>0$，所以：
$$f''(x)=-\frac{2x}{(1+x^2)^2} <0.$$因此：
$$\boxed{\arctan x\text{ 在 }(0,\infty)\text{ 上严格凹}}$$🧠 第 2 步：利用严格凹函数的 Jensen 不等式 对严格凹函数 $f$，Jensen 不等式为：
$$f\!\left(\frac{x+y}{2}\right) > \frac{f(x)+f(y)}{2} \qquad (x\neq y).$$将 $f=\arctan$ 代入：
$$\arctan\left(\frac{x+y}{2}\right) > \frac{\arctan x+\arctan y}{2}.$$两边乘 2：
$$2\arctan\left(\frac{x+y}{2}\right) > \arctan x+\arctan y.$$这正是要证明的不等式。
三、考研真题
6
（2008212）曲线 $y=(x-5)x^{2/3}$ 的拐点坐标为：
解答过程：
我们求曲线
$$y=(x-5)x^{2/3}$$的拐点。
① 求导 先写成便于求导的形式：
$$y=(x-5)x^{2/3}=x^{5/3}-5x^{2/3}$$② 求一、二阶导数
$$y'= \frac{5}{3}x^{2/3}-\frac{10}{3}x^{-1/3}$$再求二阶导数：
$$y''=\frac{10(x+1)}{9x^{4/3}}$$③ 寻找二阶导数变号点（拐点条件） 二阶导数为零或不存在的点是候选点。 1）令分子为 0：
$$x+1=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1$$此点处分母 $x^{4/3}>0$，可用。 2）分母为 0 的点： $x=0$ 使分母为零，但通常是不可导的尖点，不是拐点。
④ 验证变号 考察 y’’ 在 x = -1 两侧符号：
若 $x>-1$，例如 $x=0$，$y''>0$
若 $x<-1$，例如 $x=-2$，$y''<0$
二阶导数在 $x=-1$ 附近 从负变正，因此是拐点。
⑤ 求拐点的 y 坐标
$$y(-1)=((-1)-5)\cdot(-1)^{2/3}$$由于 $(-1)^{2/3} = ((-1)^2)^{1/3}=1$：
$$y(-1)=-6$$✅ 最终答案：拐点坐标为
$$\boxed{(-1,-6)}$$7
（2011216）设函数 $y=y(x)$ 由参数方程：
$$x=\frac13t^3+t+\frac13,\qquad y=\frac13t^3-t+\frac13,$$确定，求函数 $y=y(x)$ 的极值和曲线 $y=y(x)$ 的凹凸区间及拐点。
解答过程：
求一阶导数 $\dfrac{dy}{dx}$ 先求 $dx/dt$、$dy/dt$：
$$\frac{dx}{dt}=t^{2}+1,\qquad \frac{dy}{dt}=t^{2}-1.$$因此：
$$\frac{dy}{dx} =\frac{dy/dt}{dx/dt} =\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}.$$极值点：令 $\dfrac{dy}{dx}=0$
$$\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}=0\quad\Rightarrow\quad t^{2}-1=0$$得：
$$t=\pm 1.$$对应的极值点坐标
（1）当 $t=1$
$$x=\frac13(1)+1+\frac13=\frac53,\qquad y=\frac13(1)-1+\frac13=-\frac13.$$（2）当 $t=-1$
$$x=\frac13(-1)+(-1)+\frac13=-1,\qquad y=\frac13(-1)-(-1)+\frac13=1.$$- 判断极大/极小 求二阶导数（用参数方程标准公式）： $$\frac{d^2y}{dx^2} =\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\Big/ \frac{dx}{dt}.$$ 先求 $$\frac{d}{dt}\left(\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}\right) =\frac{4t}{(t^{2}+1)^{2}}.$$ 于是： $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{4t}{(t^{2}+1)^{2}}\cdot\frac{1}{t^{2}+1} = \frac{4t}{(t^{2}+1)^{3}}.$$ 因为 $(t^{2}+1)^3>0$，符号由 $t$ 决定：
（1）$t=1>0$：二阶导数 > 0 ⇒ 函数在此处开口向上 → 极小值。 所以
$$\boxed{\left(\frac53,\; -\frac13\right) \text{ 为极小值点}}$$（2）$t=-1<0$：二阶导数 < 0 ⇒ 函数在此处开口向下 → 极大值。 所以
$$\boxed{(-1,\;1)\text{ 为极大值点}}$$- 凹凸区间（由 $d^{2}y/dx^{2}$ 的符号） $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{4t}{(t^{2}+1)^{3}}$$ 符号由 $t$ 决定：
$t>0$：二阶导数 > 0 → 曲线凹向上
$t<0$：二阶导数 < 0 → 曲线凹向下
参数方程中，$x(t)$ 随 $t$ 严格递增（因为 $dx/dt=t^{2}+1>0$），所以凹凸区间可直接将 t 区间映射到 x。
凸区间： $t<0$ 对应 x：
$$x=\frac13 t^3+t+\frac13 < \frac13$$所以凸区间为：
$$\boxed{x<\frac13}$$凹区间： $t>0$ 对应 x：
$$x>\frac13$$所以凹区间为：
$$\boxed{x>\frac13}$$- 拐点（令二阶导数 = 0） $$\frac{d^2y}{dx^2}=0 \quad\Rightarrow\quad t=0$$ 对应点： $$x=\frac13(0)+0+\frac13=\frac13,\qquad y=\frac13(0)-0+\frac13=\frac13.$$
⭐ 最终答案汇总 极值点
极大值点：
$$\boxed{(-1,\,1)}$$极小值点：
$$\boxed{\left(\frac53,\,-\frac13\right)}$$凹凸区间
凸区间：
$$\boxed{x<\frac13}$$凹区间：
$$\boxed{x>\frac13}$$拐点
$$\boxed{\left(\frac13,\;\frac13\right)}$$