第4节 函数的单调性、极值和最值

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一、基础题

1 求下列函数的单调区间

(1)

y＝$x^{3}-3x^{2}-9x+14$

解答过程：

$$y'=3x^{2}-6x-9=3(x^{2}-2x-3)=3(x-3)(x+1)$$

由此得临界点为 $-1$ 与 $3$。 讨论符号：

当 $x<-1$ 时，$(x-3)<0,(x+1)<0\Rightarrow y'>0$，函数单调递增；

当 $-10\Rightarrow y'<0$，函数单调递减；

当 $x>3$ 时，$(x-3)>0,(x+1)>0\Rightarrow y'>0$，函数单调递增。

故单调区间为：

$$(-\infty,-1),\ (3,+\infty)\text{上递增},\qquad (-1,3)\text{上递减}.$$

(2)

y＝$x+\frac{1}{x}$

解答过程：

定义域为 $x\neq0$。

$$y'=1-\frac{1}{x^{2}}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}$$

临界点为 $x=\pm1$。 讨论符号：

当 $|x|>1$ 时，$x^{2}-1>0\Rightarrow y'>0$；

当 $|x|<1$ 时，$x^{2}-1<0\Rightarrow y'<0$。

故单调区间：

$$(-\infty,-1),\ (1,+\infty)\text{上递增},\qquad (-1,0),\ (0,1)\text{上递减}.$$

(3)

y＝$x-e^{x}$

解答过程：

$$y'=1-e^{x}$$

令 $y'=0$，得 $e^{x}=1\Rightarrow x=0$。 讨论符号：

当 $x<0$ 时 $e^{x}<1\Rightarrow y'>0$，函数递增；

当 $x>0$ 时 $e^{x}>1\Rightarrow y'<0$，函数递减。

故单调区间：

$$(-\infty,0)\text{上递增},\qquad (0,+\infty)\text{上递减}.$$

(4)

y＝$2x^{2}-\ln x$

解答过程：

定义域为 $x>0$。

$$y'=4x-\frac{1}{x}=\frac{4x^{2}-1}{x}$$

令 $4x^{2}-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}$。 讨论符号：

当 $0

当 $x>\frac12$ 时 $4x^{2}-1>0\Rightarrow y'>0$，递增。

故单调区间：

$$(0,\tfrac12)\text{上递减},\qquad (\tfrac12,+\infty)\text{上递增}.$$

2 证明下列不等式

(1)

当 $x>0$ 时，$x< e^{x}-1 < xe^{x}$

解答过程：

证明左侧： 设 $f(x)=e^{x}-1-x$，

$$f'(x)=e^{x}-1,\ f'(0)=0,\ f''(x)=e^{x}>0$$

故 $f'(x)>0(x>0)\Rightarrow f(x)>0\Rightarrow e^{x}-1>x$。

证明右侧： 需证 $e^{x}-1 $$g'(x)=1-e^{-x}>0(x>0)\Rightarrow g(x)>g(0)=0$$

故不等式成立。

(2)

当 $02x$

解答过程：

写成

$$\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}>2x$$

设

$$h(x)=\sin x+\tan x-2x$$

$$h'(x)=\cos x+\sec^{2}x-2$$

因 $01$， 故

$$h'(x)=\cos x+\sec^{2}x-2>0$$

且 $h(0)=0$，故 $h(x)>0$。

(3)

当 $x>0$ 时，$\ln(1+x)>\frac{\arctan x}{1+x}$

解答过程：

设

$$p(x)=\ln(1+x)-\frac{\arctan x}{1+x}$$

求导：

$$p'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{(1+x)\cdot \frac{1}{1+x^{2}}-\arctan x}{(1+x)^{2}}$$

化简：

$$p'(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{\arctan x}{(1+x)^{2}}$$

由于 $x>0$ 时

$$\frac{1}{1+x}>\frac{1}{1+x^{2}},\qquad \arctan x>0$$

故 $p'(x)>0$，又 $p(0)=0$，故 $p(x)>0$。

3 求下列函数的极值

(1)

$f(x)=2x^{3}-6x^{2}-18x+7$

解答过程：

$$f'=6x^{2}-12x-18=6(x^{2}-2x-3)=6(x-3)(x+1)$$

临界点：$x=-1,3$。

$$f''=12x-12$$

$f''(-1)=-24<0\Rightarrow x=-1$ 为极大值点：

$$f(-1)=2(-1)^{3}-6(-1)^{2}-18(-1)+7=-2-6+18+7=17$$

$f''(3)=24>0\Rightarrow x=3$ 为极小值点：

$$f(3)=54-54-54+7=-47$$

(2)

$f(x)=\frac{(x-2)(3-x)}{x^{2}}$

解答过程:

求导：

$$f=\frac{-x^{2}+5x-6}{x^{2}}=-1+\frac{5}{x}-\frac{6}{x^{2}}$$

$$f'=-\frac{5}{x^{2}}+\frac{12}{x^{3}}=\frac{-5x+12}{x^{3}}$$

临界点：$x=\frac{12}{5}$。

$$f''=\frac{15x-36}{x^{4}}$$

代入 $x=\frac{12}{5}$ 得 $f''>0$，为极小值点：

$$f(\tfrac{12}{5})=-1+\frac{25}{12}-\frac{25}{24}=\frac{1}{24}$$

(3)

$f(x)=x-\ln(x+1)$

解答过程：

$$f'=1-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x+1}$$

临界点：$x=0$,极小值为 $f(0)=0$。

(4)

$f(x)=x^{\frac{1}{x}}$

解答过程：

令

$$y=x^{\frac1x},\ \ln y=\frac{\ln x}{x}$$

$$(\ln y)'=\frac{x\cdot\frac1x-\ln x}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}}$$

临界点：$\ln x=1\Rightarrow x=e$。 极大值：

$$y(e)=e^{\frac1e}$$

4

设函数 $f(x)=a\ln x+b x^{2}+x$ 在 $x_{1}=1,x_{2}=2$ 取得极值，求 $a,b$ 的值，并判断极大极小

解答过程：

$$f'=a\frac1x+2bx+1$$

$$f'(1)=a+2b+1=0$$

$$f'(2)=\frac{a}{2}+4b+1=0$$

解方程： 由第一式 $a=-2b-1$，代入第二式：

$$\frac{-2b-1}{2}+4b+1=0$$

$$- b -\tfrac12+4b+1=0\Rightarrow 3b+\tfrac12=0\Rightarrow b=-\tfrac16$$

$$a=-2b-1=\tfrac13-1=-\tfrac23$$

再判断极值性质：

$$f''=-\frac{a}{x^{2}}+2b=\frac{2/3}{x^{2}}-\frac13$$

$x=1$: $f''(1)=\frac23-\frac13=\frac13>0$，极小值；

$x=2$: $f''(2)=\frac{2/3}{4}-\frac13=\frac{1}{6}-\frac13=-\frac16<0$，极大值。

5

求下列函数在指定区间上的最大值和最小值

(1)

$f(x)=2x^{3}-3x^{2},[-1,4]$

解答过程：

$$f'=6x^{2}-6x=6x(x-1)$$

临界点：$x=0,1$。 计算：

$$f(-1)=-2-3=-5$$

$$f(0)=0$$

$$f(1)=-1$$

$$f(4)=2\cdot64-3\cdot16=128-48=80$$

最大值为 80，最小值为 -5。

(2)

$f(x)=x+\sqrt{1-x},[-5,1]$

解答过程：

定义域要求 $x\le1$。

$$f'=1-\frac1{2\sqrt{1-x}}$$

令 $f'=0\Rightarrow 2\sqrt{1-x}=1\Rightarrow 1-x=\tfrac14\Rightarrow x=\tfrac34$。 计算三点：

$$f(-5)=-5+\sqrt6$$

$$f(\tfrac34)=\tfrac34+\tfrac12=\tfrac54$$

$$f(1)=1$$

最大值为 $\tfrac54$，最小值为 $-5+\sqrt6$。

(3)

$f(x)=x^{2}e^{-x},[-1,2]$

解答过程：

步骤 1：计算函数的导数 为了找到极值点，我们首先计算函数的导数：

$$f(x) = x^2 e^{-x}$$

使用乘积法则，我们得到：

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$$

$$f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x}$$

$$f'(x) = e^{-x}(2x - x^2)$$

步骤 2：求解极值点 为了找到极值点，我们设置 $f'(x) = 0$，得到：

$$e^{-x}(2x - x^2) = 0$$

由于 $e^{-x} \neq 0$，我们有：

$$2x - x^2 = 0$$

$$x(2 - x) = 0$$

所以 $x = 0$ 或 $x = 2$。

步骤 3：检查端点和极值点 我们还需要检查函数在区间的端点处的值，即 $x = -1$ 和 $x = 2$。

步骤 4：计算函数在端点和极值点处的值

当 $x = -1$ 时：

$$f(-1) = (-1)^2 e^{1} = 1 \cdot e = e \approx 2.718$$

当 $x = 0$ 时：

$$f(0) = 0^2 e^{0} = 0$$

当 $x = 2$ 时：

$$f(2) = 2^2 e^{-2} = 4 \cdot e^{-2} \approx 4 \cdot 0.1353 = 0.541$$

步骤 5：比较结果

在 $x = -1$ 处，$f(-1) \approx 2.718$

在 $x = 0$ 处，$f(0) = 0$

在 $x = 2$ 处，$f(2) \approx 0.541$

所以，函数的最大值为 $2.718$，最小值为 $0$，并且最小值出现在 $x = 0$ 处。 总结：

最大值： $f(-1)=e

最小值： $f(0) = 0$

(4)

$f(x)=\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{1-x},(a > b > 0),\ [-\tfrac{1}{2},1]$

解答过程：

步骤 1：计算函数的导数 首先，计算函数 $f(x) = \frac{a^2}{x} + \frac{b^2}{1 - x}$ 的导数：

$$f'(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{a^2}{x} \right) + \frac{d}{dx}\left( \frac{b^2}{1 - x} \right)$$

$$f'(x) = -\frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{(1 - x)^2}$$

步骤 2：求解极值点 为了找到极值点，我们设 $f'(x) = 0$，得到：

$$-\frac{a^2}{x^2} + \frac{b^2}{(1 - x)^2} = 0$$

这可以整理为：

$$\frac{a^2}{x^2} = \frac{b^2}{(1 - x)^2}$$

取平方根并解得：

$$\frac{a}{x} = \frac{b}{1 - x}$$

$$a(1 - x) = b x$$

$$a - ax = b x$$

$$a = x(a + b)$$

$$x = \frac{a}{a + b}$$

步骤 3：检查极值点是否在区间内 我们得到的极值点是 $x = \frac{a}{a + b}$，需要检查这个点是否在给定区间 $[- \frac{1}{2}, 1]$ 中。 由于 $a > b > 0$，显然：

$$0 < \frac{a}{a + b} < 1$$

因此，$x = \frac{a}{a + b}$ 位于区间 $[0, 1)$ 内，而不包含 $x = 1$。

步骤 4：计算端点和极值点处的函数值

当 $x = -\frac{1}{2}$ 时，计算函数值：

$$f\left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{a^2}{-\frac{1}{2}} + \frac{b^2}{1 - (-\frac{1}{2})} = -2a^2 + \frac{2b^2}{3}$$

当 $x = \frac{a}{a + b}$ 时，计算函数值：

$$f\left( \frac{a}{a + b} \right) = \frac{a^2}{\frac{a}{a + b}} + \frac{b^2}{1 - \frac{a}{a + b}} = \frac{a^2(a + b)}{a} + \frac{b^2(a + b)}{b}$$

$$f\left( \frac{a}{a + b} \right) = a(a + b) + b(a + b) = (a + b)^2$$

当 $x = 1$ 时，需要注意 $x = 1$ 是区间的右端点，且 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处是趋向无穷大的，因为 $\frac{b^2}{1 - x}$ 在 $x \to 1$ 时会变得非常大。所以，$f(x) \to \infty$ 当 $x \to 1$。

步骤 5：比较结果

当 $x = -\frac{1}{2}$ 时，$f\left( -\frac{1}{2} \right) = -2a^2 + \frac{2b^2}{3}$

当 $x = \frac{a}{a + b}$ 时，$f\left( \frac{a}{a + b} \right) = (a + b)^2$

当 $x = 1$ 时，$f(x) \to \infty$

总结：

最大值：在 $x = 1$ 处，函数值趋于无穷大，因此最大值不存在。

最小值：在 $x = \frac{a}{a + b}$ 处，最小值为 $(a + b)^2$，并且端点 $x = -\frac{1}{2}$ 处的值为 $-2a^2 + \frac{2b^2}{3}$。

6

在底半径为 R、高为 H 的圆锥内嵌入一个圆柱体，求圆柱体的最大体积

解答过程：

设圆柱底半径为 $r$，高为 $h$。 由相似三角形：

$$\frac{R-r}{h}=\frac{R}{H}\Rightarrow h=H(1-\frac{r}{R})$$

体积：

$$V=\pi r^{2}h=\pi r^{2}H(1-\frac{r}{R})$$

$$V=\pi H(r^{2}-\frac{r^{3}}{R})$$

求导：

$$V'=2\pi Hr-\frac{3\pi H r^{2}}{R}$$

令 $V'=0$：

$$2R=3r\Rightarrow r=\frac{2R}{3}$$

$$h=H(1-\frac23)=\frac{H}{3}$$

最大体积：

$$V_{\max}=\pi\frac{4R^{2}}{9}\cdot\frac{H}{3}=\frac{4\pi R^{2} H}{27}$$

二、考研真题

7

(2013220) 设函数 $f(x)=\ln x+\frac1x$

(1) 求 $f(x)$ 的最小值。

解答过程：

步骤 1：计算导数 首先，我们计算函数 $f(x) = \ln x + \frac{1}{x}$ 的导数：

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \ln x \right) + \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right)$$

$$f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}$$

步骤 2：求解极值点 为了找到极值点，我们设 $f'(x) = 0$，得到：

$$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} = 0$$

将方程整理为：

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^2}$$

两边同乘以 $x^2$ （注意 $x \neq 0$）：

$$x = 1$$

因此，$x = 1$ 是一个极值点。

步骤 3：计算二阶导数并验证极值性质 为了确认 $x = 1$ 是否为最小值，我们计算函数的二阶导数：

$$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right)$$

$$f''(x) = -\frac{1}{x^2} + \frac{2}{x^3}$$

在 $x = 1$ 处，计算二阶导数的值：

$$f''(1) = -\frac{1}{1^2} + \frac{2}{1^3} = -1 + 2 = 1$$

由于 $f''(1) > 0$，这表明 $x = 1$ 是一个局部最小值。

步骤 4：计算最小值 最后，我们计算函数在 $x = 1$ 处的值：

$$f(1) = \ln(1) + \frac{1}{1} = 0 + 1 = 1$$

结论 函数 $f(x) = \ln x + \frac{1}{x}$ 的最小值是 $1$，并且发生在 $x = 1$ 处。

(2) 设数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $\ln x_{n}+\frac1{x_{n+1}}<1$，证明 $\lim x_{n}$ 存在，并求其极限。

解答过程：

步骤 1：化简不等式并引导数列的性质 首先，我们从给定的不等式出发：

$$\ln x_n + \frac{1}{x_{n+1}} < 1$$

将不等式整理为：

$$\frac{1}{x_{n+1}} < 1 - \ln x_n$$

接下来，我们得到：

$$x_{n+1} > \frac{1}{1 - \ln x_n}$$

这个不等式告诉我们数列 $\{x_n\}$ 的递推关系。如果我们知道 $x_n$，则可以得到 $x_{n+1}$ 的下界。接下来我们需要进一步分析数列的单调性和有界性。

步骤 2：证明数列有界 为了证明数列 $\{x_n\}$ 有界，我们尝试找到数列的上界。 我们知道对于 $x_n > 1$，有 $\ln x_n > 0$，因此 $1 - \ln x_n < 1$。这使得 $\frac{1}{1 - \ln x_n}$ 大于 1，意味着数列 $\{x_{n+1}\}$ 会趋向于增长，并且有一个上界。 假设数列 $\{x_n\}$ 有上界 $M > 1$，即对于所有 $n$，$x_n \leq M$。根据上面的递推关系，数列的每一项都会满足：

$$x_{n+1} > \frac{1}{1 - \ln x_n}$$

如果我们选择一个适当大的上界 $M$，可以确保这个递推式不会让数列趋于无穷大。因此，数列是有界的。

步骤 3：证明数列单调 现在我们证明数列是单调的。由于我们得到的不等式：

$$x_{n+1} > \frac{1}{1 - \ln x_n}$$

如果我们假设数列是递增的，即 $x_{n+1} > x_n$，我们可以通过不等式推导出数列的递增性。 因此，数列 $\{x_n\}$ 是单调递增的。

步骤 4：应用单调有界收敛准则 根据单调有界收敛准则，任何单调递增且有上界的数列必定收敛。由于数列 $\{x_n\}$ 是单调递增且有上界，因此数列 $\{x_n\}$ 必定收敛。

步骤 5：求数列的极限 设数列的极限为 $L$，即：

$$\lim_{n \to \infty} x_n = L$$

将数列的递推关系代入极限的表达式，我们可以得到：

$$L = \frac{1}{1 - \ln L}$$

解这个方程：

$$L(1 - \ln L) = 1$$

$$L - L \ln L = 1$$

$$L \ln L = L - 1$$

在这里，我们通过试探法可以得到 $L = 1$ 是一个解。验证一下，若 $L = 1$，则有：

$$\ln(1) + \frac{1}{1} = 0 + 1 = 1$$

因此，$L = 1$ 是方程的解。

结论： 数列 $\{x_n\}$ 收敛，且极限为：

$$\lim_{n \to \infty} x_n = 1$$

8

(2017117) 设函数 $y=f(x)$ 由方程 $x^{3}+y^{3}-3x+3y-2=0$ 确定，求 $f(x)$ 的极值

解答过程：

1. 说明 $y=f(x)$ 的存在性与唯一性（简要） 把方程看成关于 $y$ 的方程：

   $$y^3+3y=3x-x^3+2.$$

   左边函数 $g(y)=y^3+3y$，有

   $$g'(y)=3y^2+3>0,\quad \forall y\in\mathbb R,$$

   所以 $g(y)$ 严格单调递增，值域是整个 $\mathbb R$。 因此对每个实数右端 $3x-x^3+2$，都恰有一个实根 $y$。 于是对每个 $x\in\mathbb R$，都有惟一的 $y=f(x)$，且 $f$ 在整个实轴上可导。

2. 隐函数求导，找极值点 对

   $$x^{3}+y^{3}-3x+3y-2=0$$

   两边对 $x$ 求导（注意 $y=y(x)$）：

   $$3x^{2}+3y^{2}y'-3+3y'=0.$$

   整理：

   $$(3y^{2}+3)\,y'+3x^{2}-3=0$$
   $$y'=\frac{3-3x^{2}}{3y^{2}+3}=\frac{1-x^{2}}{1+y^{2}}.$$

   因为 $1+y^{2}>0$，所以 $y'$ 的符号只由 $1-x^{2}$ 决定。 令 $y'=0$ 得极值点的横坐标：

   $$1-x^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=\pm1.$$

3. 求对应的 $y$ 值

(1) 当 $x=1$ 代回原方程：

$$1+y^{3}-3+3y-2=0$$

$$y^{3}+3y-4=0.$$

试根 $y=1$：

$$1+3-4=0,$$

所以 $y=1$ 是根。因该三次方程只这一个实根，可得点 $(1,1)$ 在曲线上，对应 $f(1)=1$。

(2) 当 $x=-1$ 代入：

$$(-1)^3+y^{3}-3(-1)+3y-2=0$$

$$-1+y^{3}+3+3y-2=0$$

$$y^{3}+3y=0$$

$$y(y^{2}+3)=0.$$

实根只有 $y=0$，故有点 $(-1,0)$，即 $f(-1)=0$。

4. 判断极大/极小 由 $$y'=\frac{1-x^{2}}{1+y^{2}}$$ 知：

当 $|x|<1$ 时，$1-x^{2}>0$，故 $y'>0$，函数递增；

当 $|x|>1$ 时，$1-x^{2}<0$，故 $y'<0$，函数递减。

于是：

在 $x=-1$ 附近：左边 $(-\infty,-1)$ 上 $f$ 递减，右边 $(-1,1)$ 上 $f$ 递增，导数从负变正 → 局部最小值；

在 $x=1$ 附近：左边 $(-1,1)$ 上 $f$ 递增，右边 $(1,\infty)$ 上 $f$ 递减，导数从正变负 → 局部最大值。

5. 极值结果

在 $x=-1$ 处，$f(x)$ 取得极小值 $f(-1)=0$；

在 $x=1$ 处，$f(x)$ 取得极大值 $f(1)=1$。

答：

$$\boxed{f(-1)=0\ \text{为极小值},\quad f(1)=1\ \text{为极大值}.}$$ docs