第3节 幂级数

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一、基础题

1. 求下列幂级数的收敛半径和收敛域.

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(n+1)\cdot 5^n}$

解答：

设 $a_n = \frac{1}{(n+1)\cdot 5^n}$，由比值判别法求收敛半径 $R$：

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)\cdot 5^n}{(n+2)\cdot 5^{n+1}} = \frac{1}{5}$

因此，收敛半径 $R = 5$。

考察端点情况：

当 $x = 5$ 时，原级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1}$，这是调和级数，发散。

当 $x = -5$ 时，原级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}$，由交错级数的莱布尼茨判别法可知，该级数收敛。

所以，该幂级数的收敛域为 $[-5, 5)$。

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n}$

解答：

将原级数提取一个 $x$，得 $x \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n} (x^2)^n$。

令 $t = x^2$，对于幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n} t^n$，其系数 $a_n = \frac{(-1)^n}{2n}$。

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{2(n+1)} = 1$，所以关于 $t$ 的收敛半径为 $1$。

即 $|x^2| < 1 \implies |x| < 1$，故原级数收敛半径 $R = 1$。

考察端点情况：

当 $x = 1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n}$，交错级数收敛。

当 $x = -1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2n}$，交错级数收敛。

所以，该幂级数的收敛域为 $[-1, 1]$。

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n \cdot 2^n}$

解答：

设 $a_n = \frac{1}{n \cdot 2^n}$。

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot 2^n}{(n+1) \cdot 2^{n+1}} = \frac{1}{2}$

因此，收敛半径 $R = 2$。收敛区间为 $|x-1| < 2$，即 $-1 < x < 3$。

考察端点情况：

当 $x = 3$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n \cdot 2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，发散（调和级数）。

当 $x = -1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-2)^n}{n \cdot 2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，收敛（莱布尼茨判别法）。

所以，该幂级数的收敛域为 $[-1, 3)$。

(4) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2+1}$

解答：

设 $a_n = \frac{1}{n^2+1}$。

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+1}{(n+1)^2+1} = 1$

因此，收敛半径 $R = 1$。

考察端点情况：

当 $x = 1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}$，由于 $\frac{1}{n^2+1} < \frac{1}{n^2}$ 且 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛（$p$-级数，$p=2>1$），该级数收敛。

当 $x = -1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2+1}$，绝对收敛。

所以，该幂级数的收敛域为 $[-1, 1]$。

2. 利用逐项求导或逐项积分求下列级数的和函数.

(1) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n+1}$

解答：

设和函数为 $S(x)$，该级数收敛域为 $[-1, 1)$。

当 $x \neq 0$ 时，两边同乘 $x$：

$x S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$

对等式两边在开区间内逐项求导：

$(x S(x))' = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ ($|x|<1$)

两边从 $0$ 到 $x$ 积分：

$x S(x) = \int_0^x \frac{1}{1-t} dt = -\ln(1-x)$

因此，$S(x) = -\frac{\ln(1-x)}{x}$。

当 $x = 0$ 时，代入原级数得 $S(0) = 1$，正好是极限 $\lim_{x \to 0} -\frac{\ln(1-x)}{x} = 1$。

所以和函数 $S(x) = \begin{cases} -\frac{\ln(1-x)}{x}, & x \in [-1, 1) \setminus \{0\} \\ 1, & x = 0 \end{cases}$。

(2) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{(n+1) \cdot 2^n}$

解答：

可将其写为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1} \left(\frac{x}{2}\right)^n$。

令 $t = \frac{x}{2}$，则级数化为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n+1}$。

由 (1) 题可知，该级数和为 $-\frac{\ln(1-t)}{t}$ （$t \neq 0$）。

将 $t = \frac{x}{2}$ 代回，得到：

$S(x) = -\frac{\ln(1-\frac{x}{2})}{\frac{x}{2}} = -\frac{2}{x}\ln\left(1-\frac{x}{2}\right)$。

收敛域为 $t \in [-1, 1) \implies x \in [-2, 2)$。

所以和函数 $S(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x}\ln\left(1-\frac{x}{2}\right), & x \in [-2, 2) \setminus \{0\} \\ 1, & x = 0 \end{cases}$。

(3) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} x^{n+1}$

解答：

设和函数为 $S(x)$，该级数收敛域为 $(-1, 1]$。

对级数逐项求导：

$S'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n = \frac{1}{1-(-x)} = \frac{1}{1+x}$ ($|x|<1$)

两边从 $0$ 到 $x$ 积分：

$S(x) = \int_0^x \frac{1}{1+t} dt = \ln(1+x)$

在端点 $x=1$ 处由阿贝尔定理，和函数连续。

所以和函数 $S(x) = \ln(1+x)$，定义域为 $x \in (-1, 1]$。

(4) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2n-1}}{2n-1}$

解答：

设和函数为 $S(x)$，该级数收敛域为 $[-1, 1]$。

逐项求导得：

$S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} x^{2n-2} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k (x^2)^k = \frac{1}{1+x^2}$ ($|x|<1$)

两边从 $0$ 到 $x$ 积分：

$S(x) = \int_0^x \frac{1}{1+t^2} dt = \arctan x$

端点 $x=\pm 1$ 处同样成立。

所以和函数 $S(x) = \arctan x$，定义域为 $x \in [-1, 1]$。

二、提高题

3. 求下列幂级数的收敛域.

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{2^n}{\sqrt{n}} \left(x-\frac{1}{2}\right)^n$

(注：题目图片中下界疑似为 $n=0$，但分母 $\sqrt{n}$ 在 $n=0$ 时无意义，故按 $n=1$ 修正求解)

解答：

设 $a_n = \frac{(-1)^n 2^n}{\sqrt{n}}$。

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}\sqrt{n}}{2^n\sqrt{n+1}} = 2$

因此，收敛半径 $R = \frac{1}{2}$。收敛区间为 $\left|x-\frac{1}{2}\right| < \frac{1}{2}$，即 $0 < x < 1$。

考察端点：

当 $x = 1$ 时，级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，交错级数收敛。

当 $x = 0$ 时，级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$，$p$-级数 ($p=\frac{1}{2} \le 1$) 发散。

所以，收敛域为 $(0, 1]$。

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{n \cdot 2^n}$

解答：

提取 $\frac{1}{x}$ （假设 $x \neq 0$），级数为 $\frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x^2)^n}{n \cdot 2^n}$。

令 $t = x^2$，对于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{n \cdot 2^n}$，$\lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{2}$，故 $t$ 的收敛半径为 $2$。

由 $|x^2| < 2 \implies |x| < \sqrt{2}$，所以 $R = \sqrt{2}$。

考察端点：

当 $x = \sqrt{2}$ 时，级数化为 $\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，发散。

当 $x = -\sqrt{2}$ 时，级数化为 $-\frac{1}{\sqrt{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，发散。

所以，收敛域为 $(-\sqrt{2}, \sqrt{2})$。

(3) $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln n} (x-1)^n$

解答：

设 $a_n = \frac{(-1)^n}{\ln n}$。

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\ln n}{\ln(n+1)} = 1$

收敛半径 $R = 1$。收敛区间为 $|x-1| < 1$，即 $0 < x < 2$。

考察端点：

当 $x = 2$ 时，级数化为 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln n}$，由莱布尼茨判别法知其收敛。

当 $x = 0$ 时，级数化为 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n(-1)^n}{\ln n} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}$，因 $\frac{1}{\ln n} > \frac{1}{n}$ 且调和级数发散，故该级数发散。

所以，收敛域为 $(0, 2]$。

(4) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^n}{3^n} x^n$

解答：

设系数 $a_n = \frac{3+(-1)^n}{3^n}$。

利用根值判别法求上极限：$\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \limsup_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{3+(-1)^n}}{3} = \frac{1}{3}$

收敛半径 $R = 3$。收敛区间为 $(-3, 3)$。

考察端点：

当 $x = 3$ 时，级数的一般项为 $3+(-1)^n$，极限不为零，发散。

当 $x = -3$ 时，级数的一般项为 $(3+(-1)^n)(-1)^n$，极限同样不为零，发散。

所以，收敛域为 $(-3, 3)$。

4. 求下列幂级数的和函数.

(1) $\sum_{n=0}^{\infty} (2n+1) x^n$

解答：

原级数可拆分为两部分：$2\sum_{n=1}^{\infty} n x^n + \sum_{n=0}^{\infty} x^n$

已知 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$ （$|x|<1$）

对于第一部分，提出一个 $x$：

$2x \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = 2x \left(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\right)' = 2x \left(\frac{1}{1-x}\right)' = \frac{2x}{(1-x)^2}$

所以，和函数 $S(x) = \frac{2x}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x} = \frac{x+1}{(1-x)^2}$，收敛域 $(-1, 1)$。

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2n-1} x^{2n}$

解答：

构造恒等变形：$\frac{n}{2n-1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2n-1+1}{2n-1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2(2n-1)}$

因此，$S(x) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} x^{2n} + \frac{x}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{2n-1}$

第一项是公比为 $x^2$ 的等比级数（缺常数项）：

$\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} (x^2)^n = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{1-x^2}$

对于第二部分，令 $g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2n-1}}{2n-1}$，对其求导得 $g'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x^{2n-2} = \frac{1}{1-x^2}$。

积分回去：$g(x) = \int_0^x \frac{1}{1-t^2} dt = \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$。

代回得 $S(x) = \frac{x^2}{2(1-x^2)} + \frac{x}{4}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)$，收敛域 $(-1, 1)$。

(3) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!} x^n$

解答：

将分子变形：$\frac{n}{(n+1)!} = \frac{n+1-1}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$

所以，级数拆分为：

$S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(n+1)!}$

利用泰勒展开 $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$

第一部分：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = e^x - 1$

第二部分：当 $x \neq 0$ 时，$\frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{1}{x} (e^x - 1 - x) = \frac{e^x - 1}{x} - 1$

因此 $S(x) = (e^x - 1) - \left(\frac{e^x - 1}{x} - 1\right) = e^x - \frac{e^x - 1}{x}$。

当 $x=0$ 时，级数各项为 0，$S(0)=0$。同样是其极限。

收敛域为 $(-\infty, +\infty)$。

5. 如果幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 2, 则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x-1)^n$ 的收敛区间为？

解答：

幂级数逐项求导不改变其收敛半径。所以，$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$ 的收敛半径仍为 2，进而 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^n$ 的收敛半径也是 2。

新级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x-1)^n$ 仅仅是将其平移了中心点至 $x_0 = 1$。

所以收敛区间为 $|x-1| < 2$，即 $-1 < x < 3$。即收敛区间为 $(-1, 3)$。

6. 设 $a_n$ 为曲线 $y=x^n$、$y=x^{n+1}$ ($n=1,2,\cdots$) 所围成区域的面积, 令 $S_1 = \sum_{n=1}^{\infty} a_n$, $S_2 = \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1}$, 求 $S_1$、$S_2$ 的值.

解答：

在 $[0, 1]$ 区间内，$x^n \ge x^{n+1}$，两曲线的交点为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。

求出面积 $a_n$：

$a_n = \int_0^1 (x^n - x^{n+1}) dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} - \frac{x^{n+2}}{n+2} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}$

求 $S_1$（利用裂项相消）：

$S_1 = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \dots = \frac{1}{2}$

求 $S_2$：

$S_2 = \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1} = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+1} \right)$

展开即为：$S_2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots$

我们已知 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

令 $x=1$，有 $\ln 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$

所以 $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots = 1 - \ln 2$。

故 $S_2 = 1 - \ln 2$。

7. 求极限 $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{a} + \frac{2}{a^2} + \dots + \frac{n}{a^n}\right)$, 其中 $a > 1$.

解答：

令 $x = \frac{1}{a}$，因为 $a>1$，所以 $0 < x < 1$。

题目转化为求级数和：$S = \sum_{k=1}^{\infty} k x^k$

利用逐项求导：

$S = x \sum_{k=1}^{\infty} k x^{k-1} = x \left( \sum_{k=0}^{\infty} x^k \right)' = x \left( \frac{1}{1-x} \right)' = \frac{x}{(1-x)^2}$

将 $x = \frac{1}{a}$ 代回：

$S = \frac{\frac{1}{a}}{(1-\frac{1}{a})^2} = \frac{\frac{1}{a}}{\frac{(a-1)^2}{a^2}} = \frac{a}{(a-1)^2}$

所以极限值为 $\frac{a}{(a-1)^2}$。

三、考研真题

8. (2020117) 设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$, $(n+1)a_{n+1} = \left(n+\frac{1}{2}\right)a_n$, 证明: 当 $|x|<1$ 时, 幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$ 收敛, 并求其和函数.

解答：

由递推关系可得：$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{n+\frac{1}{2}}{n+1} = \frac{2n+1}{2n+2}$

极限 $\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1$，因此收敛半径 $R = 1$。故当 $|x|<1$ 时，幂级数绝对收敛。

设和函数 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$，则 $S'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$。且易知 $S(0) = 0$。

将递推关系式改写为：$2(n+1)a_{n+1} = (2n+1)a_n = 2n a_n + a_n$

两边同乘 $x^n$ 并从 $n=1$ 到 $\infty$ 求和：

$\sum_{n=1}^{\infty} 2(n+1)a_{n+1} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} 2n a_n x^n + \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$

等式左边：$2 \sum_{n=1}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^n = 2(2a_2 x + 3a_3 x^2 + \dots) = 2(S'(x) - a_1) = 2S'(x) - 2$ （因为 $a_1=1$）

等式右边：$2x \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} + S(x) = 2x S'(x) + S(x)$

联立得到微分方程：

$2S'(x) - 2 = 2x S'(x) + S(x) \implies 2(1-x)S'(x) - S(x) = 2$

将其化为标准线性微分方程：

$S'(x) - \frac{1}{2(1-x)} S(x) = \frac{1}{1-x}$

积分因子为 $e^{\int -\frac{1}{2(1-x)} dx} = e^{\frac{1}{2}\ln(1-x)} = \sqrt{1-x}$

方程两边同乘积分因子得到：

$\left(\sqrt{1-x} S(x)\right)' = \frac{1}{1-x} \sqrt{1-x} = (1-x)^{-1/2}$

两边积分：

$\sqrt{1-x} S(x) = \int (1-x)^{-1/2} dx = -2\sqrt{1-x} + C$

由初始条件 $S(0) = 0$，代入得 $0 = -2(1) + C \implies C=2$。

所以 $\sqrt{1-x} S(x) = 2 - 2\sqrt{1-x}$

$S(x) = \frac{2}{\sqrt{1-x}} - 2$ （$|x|<1$）。

9. (2021118) 设 $u_n(x) = e^{-nx} + \frac{1}{n(n+1)}x^{n+1}$ ($n=1,2,\cdots$), 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 的收敛域及和函数.

解答：

级数可分为两部分：$S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} e^{-nx} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$。

第一部分是等比级数，公比为 $e^{-x}$。收敛条件为 $e^{-x} < 1 \implies x > 0$。其和为 $\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} = \frac{1}{e^x-1}$。

第二部分设 $g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$。由于 $\lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = 1$，其收敛半径为 1。当 $x=\pm 1$ 时级数绝对收敛，收敛域为 $[-1, 1]$。

要求原级数收敛，必须两部分同时收敛，取交集得收敛域为 $(0, 1]$。

对于 $g(x)$ 的和，通过两次求导：

$g''(x) = \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} = \frac{1}{1-x}$

$g'(x) = \int_0^x \frac{1}{1-t} dt = -\ln(1-x)$

$g(x) = \int_0^x -\ln(1-t) dt$

使用分部积分法：

$\int -\ln(1-t) dt = t(-\ln(1-t)) - \int t \cdot \frac{1}{1-t} dt = -t\ln(1-t) + \int \left(1-\frac{1}{1-t}\right)dt = -t\ln(1-t) + t + \ln(1-t)$

所以 $g(x) = (1-x)\ln(1-x) + x$。

因此，总和函数为 $S(x) = \frac{1}{e^x-1} + (1-x)\ln(1-x) + x$。

(注：当 $x \to 1$ 时 $(1-x)\ln(1-x) \to 0$，在 $x=1$ 处 $S(1) = \frac{1}{e-1} + 1$)。

10. (2022320) 求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-4)^n + 1}{4^n (2n+1)} x^{2n}$ 的收敛域及和函数.

解答：

将级数拆分为两项：

$S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2n+1} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n}$

第一部分 $S_1(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n}$。收敛半径 $R_1=1$。在 $x=\pm 1$ 时收敛，域为 $[-1, 1]$。

当 $x \neq 0$ 时，$\frac{1}{x} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = \frac{\arctan x}{x}$。

第二部分 $S_2(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2n+1} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n}$。令 $t = \frac{x}{2}$，得 $\sum \frac{t^{2n}}{2n+1}$。$t$ 的收敛半径为 1，即 $|x|<2$。在 $x=\pm 2$ 时发散，域为 $(-2, 2)$。

当 $x \neq 0$ 时，$\frac{1}{x/2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2n+1} \left(\frac{x}{2}\right)^{2n+1} = \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x/2}{1-x/2}\right) = \frac{1}{x}\ln\left(\frac{2+x}{2-x}\right)$。

总收敛域为二者交集，即 $[-1, 1]$。

总和函数为：$S(x) = \frac{\arctan x}{x} + \frac{1}{x}\ln\left(\frac{2+x}{2-x}\right)$ ($x \in [-1, 1], x \neq 0$)。

当 $x=0$ 时，代入原级数 $n=0$ 的项，得 $S(0) = \frac{1+1}{1\cdot 1} = 2$（由极限求法也是相符的）。