第7节托克斯公式、环流量与旋度

第7节托克斯公式、环流量与旋度

待校验 2、6

一、基础题

1. 计算曲线积分 $\oint_\Gamma 2y\text{d}x + 3x\text{d}y - z^2\text{d}z$，其中 $\Gamma$ 是球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 9$ 及平面 $z = 0$ 的交线，从 $z$ 轴正向看 $\Gamma$ 呈逆时针方向。

解答：

曲线 $\Gamma$ 为球面与平面 $z=0$ 的交线，即 $xy$ 平面上的圆周 $x^2 + y^2 = 9$，$z=0$。

由于从 $z$ 轴正向看呈逆时针方向，符合斯托克斯公式（Stokes’ Theorem）中关于积分曲面取上侧（法向量 $\mathbf{n} = (0, 0, 1)$）的右手法则。

记 $\Gamma$ 所围成的平面区域为 $\Sigma: x^2 + y^2 \le 9, z = 0$。

计算向量场 $\mathbf{F} = (2y, 3x, -z^2)$ 的旋度：

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial} {\partial z} \\ 2y & 3x & -z^2 \end{vmatrix} = (0 - 0)\mathbf{i} - (0 - 0)\mathbf {j} + (3 - 2)\mathbf{k} = (0, 0, 1)$$

应用斯托克斯公式：

$$\oint_\Gamma 2y\text{d}x + 3x\text{d}y - z^2\text{d}z = \iint_\Sigma (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \text{d}S = \iint_\Sigma (0, 0, 1) \cdot (0, 0, 1) \text{d}S = \iint_\Sigma 1 \text{d}S$$

积分值即为区域 $\Sigma$ 的面积。圆的半径 $r=3$，因此：

$$\iint_\Sigma \text{d}S = \pi \cdot 3^2 = 9\pi$$

最终结果：$9\pi$

2. 计算曲线积分 $\oint_\Gamma x^2 y\text{d}x + (x^2 + y^2)\text{d}y + (x + y + 1) \text{d}z$，其中 $\Gamma$ 是球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 5$ 及抛物面 $z = x^2 + y^2 + 1$ 的交线，从 $z$ 轴正向看 $\Gamma$ 呈顺时针方向。

解答：

首先求交线 $\Gamma$ 的方程。由 $z - 1 = x^2 + y^2$，代入球面方程得：

$$(z - 1) + z^2 = 5 \implies z^2 + z - 6 = 0 \implies (z + 3)(z - 2) = 0$$

因为 $z = x^2 + y^2 + 1 \ge 1$，故取 $z = 2$。此时 $x^2 + y^2 = 1$。

所以 $\Gamma$ 是平面 $z=2$ 上的单位圆。

记 $\Gamma$ 所围成的圆盘面为 $\Sigma: x^2 + y^2 \le 1, z=2$。

由于从 $z$ 轴正向看 $\Gamma$ 呈顺时针方向，根据右手法则，曲面 $\Sigma$ 的法向量应朝下，即 $\mathbf{n} = (0, 0, -1)$。

计算向量场 $\mathbf{F} = (x^2y, x^2+y^2, x+y+1)$ 的旋度：

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial} {\partial z} \\ x^2y & x^2+y^2 & x+y+1 \end{vmatrix} = (1 - 0)\mathbf{i} - (1 - 0) \mathbf{j} + (2x - x^2)\mathbf{k} = (1, -1, 2x - x^2)$$

应用斯托克斯公式并投影到 $xy$ 平面（区域 $D: x^2 + y^2 \le 1$）：

$$\oint_\Gamma \mathbf{F} \cdot \text{d}\mathbf{r} = \iint_\Sigma (1, -1, 2x - x^2) \cdot (0, 0, -1) \text{d}S = \iint_D (x^2 - 2x) \text{d}x\text{d}y$$

采用极坐标 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$ 计算该二重积分：

$$\iint_D (x^2 - 2x) \text{d}x\text{d}y = \int_0^{2\pi} \text{d}\theta \int_0^1 (r^2\cos^2\theta - 2r\cos\theta) r \text{d}r$$

由于 $\int_0^{2\pi} \cos\theta \text{d}\theta = 0$，包含 $2r\cos\theta$ 的项积分为0：

$$= \int_0^{2\pi} \cos^2\theta \text{d}\theta \int_0^1 r^3 \text{d}r = (\pi) \cdot \left[ \frac{1}{4}r^4 \right]_0^1 = \frac{\pi}{4}$$

最终结果：$\frac{\pi}{4}$

3. 计算曲线积分 $\oint_\Gamma y\text{d}x + z\text{d}y + x\text{d}z$，其中 $\Gamma$ 是球面 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ 及平面 $x + y + z = 0$ 的交线，从 $x$ 轴正向看 $\Gamma$ 呈顺时针方向。

解答：

$\Gamma$ 为过原点的平面截球面所得的大圆。记 $\Gamma$ 在平面 $x+y+z=0$ 上围成的圆盘形曲面为 $\Sigma$。

根据“从 $x$ 轴正向看呈顺时针方向”，由右手法则，曲面 $\Sigma$ 的法向量与 $x$ 轴正向所成角应为钝角（即 $x$ 分量为负）。平面 $x+y+z=0$ 的单位法向量取为 $\mathbf{n} = (-\frac{1}{\sqrt {3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}})$。

计算向量场 $\mathbf{F} = (y, z, x)$ 的旋度：

应用斯托克斯公式：

$$\oint_\Gamma y\text{d}x + z\text{d}y + x\text{d}z = \iint_\Sigma (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} \text{d}S = \iint_\Sigma (-1, -1, -1) \cdot \left (-\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}, -\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \text{d}S$$$$= \iint_\Sigma \left(\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt {3}}\right) \text{d}S = \sqrt{3} \iint_\Sigma \text{d}S$$

$\iint_\Sigma \text{d}S$ 是平面切大圆的面积，半径为 $a$，面积为 $\pi a^2$。

因此，原积分 $= \sqrt{3}\pi a^2$。

最终结果：$\sqrt{3}\pi a^2$

4. 求向量场 $\mathbf{F} = yz^2\mathbf{i} + xz^2\mathbf{j} + xyz\mathbf{k}$ 的旋度。

解答：

旋度的定义为 $\text{curl}\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F}$。

分别计算各分量：

$\mathbf{i}$ 分量：$\frac{\partial}{\partial y}(xyz) - \frac{\partial}{\partial z}(xz^2) = xz - 2xz = -xz$
$\mathbf{j}$ 分量：$-\left(\frac{\partial}{\partial x}(xyz) - \frac{\partial} {\partial z}(yz^2)\right) = -(yz - 2yz) = yz$
$\mathbf{k}$ 分量：$\frac{\partial}{\partial x}(xz^2) - \frac{\partial}{\partial y}(yz^2) = z^2 - z^2 = 0$

最终结果：$\text{curl}\mathbf{F} = -xz\mathbf{i} + yz\mathbf{j}$ （或写成 $(-xz, yz, 0)$）

二、提高题

5. 求向量场 $\mathbf{F} = (y^2 - z^2)\mathbf{i} + (z^2 - x^2)\mathbf{j} + (x^2 - y^2)\mathbf{k}$ 沿曲线 $\Gamma$ 的环流量，其中 $\Gamma$ 是用 $x+y+z=1$ 截立方体 $0 \le x, y, z \le 1$ 的表面所得的截痕，从 $z$ 轴正向看 $\Gamma$ 呈顺时针方向。

解答：

曲线 $\Gamma$ 位于平面 $x+y+z=1$ 上，且在第一卦限内构成一个三角形。记该三角形面为 $\Sigma$。

“从 $z$ 轴正向看呈顺时针方向”意味着法向量 $\mathbf{n}$ 的 $z$ 分量为负。对于平面 $x+y +z=1$，取单位法向量 $\mathbf{n} = -\frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, 1)$。

计算向量场 $\mathbf{F}$ 的旋度：

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial} {\partial z} \\ y^2-z^2 & z^2-x^2 & x^2-y^2 \end{vmatrix} = (-2y - 2z, -2z - 2x, -2x - 2y)$$

在平面 $\Sigma$ 上有 $x+y+z=1$，因此：

$y+z = 1-x$；$z+x = 1-y$；$x+y = 1-z$。

代入旋度表达式：$\nabla \times \mathbf{F} = (-2(1-x), -2(1-y), -2(1-z))$。

应用斯托克斯公式，将曲面积分化为在 $xy$ 平面上区域 $D$ 的二重积分。$\Sigma$ 的投影 $D$ 是顶点为 $(0,0), (1,0), (0,1)$ 的直角三角形。

面积元向量 $\text{d}\mathbf{S} = \mathbf{n} \text{d}S = (-1, -1, -1)\text{d}x\text {d}y$ （注意这里将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 和法线余弦投影相互抵消抵消，用投影公式）。

$$\iint_\Sigma (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \text{d}\mathbf{S} = \iint_D (-2 (1-x), -2(1-y), -2(1-z)) \cdot (-1, -1, -1) \text{d}x\text{d}y$$$$= \iint_D 2[(1-x) + (1-y) + (1-z)] \text{d}x\text{d}y$$

因为 $x+y+z=1$，所以 $(1-x)+(1-y)+(1-z) = 3 - (x+y+z) = 2$。

$$= \iint_D 2(2) \text{d}x\text{d}y = 4 \iint_D \text{d}x\text{d}y$$

区域 $D$ 的面积为 $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$。

$$I = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$

最终结果：$2$

三、考研真题

6. (2022119) 设 $\Sigma$ 为 $4x^2 + y^2 + z^2 = 1$ ($x \ge 0, y \ge 0, z \ge 0$) 的上侧，$\Sigma$ 的边界 $\Gamma$ 的正向与 $\Sigma$ 的侧符合右手规则，求 $I = \oint_\Gamma (yz^2 - \cos z)\text{d}x + 2xy^2\text{d}y + (2xyz + x\sin z)\text{d} z$。

解答：

使用斯托克斯公式。$\Sigma$ 为第一卦限内椭球面的一部分，取上侧意味着法向量 $\mathbf{n}$ 指向外上方。

设 $z = \sqrt{1 - 4x^2 - y^2}$。其有向面积元投影为 $\text{d}\mathbf{S} = (-z_x, -z_y, 1)\text{d}x\text{d}y$。

$$z_x = \frac{-4x}{z}, \quad z_y = \frac{-y}{z} \implies \text{d}\mathbf{S} = \left(\frac{4x}{z}, \frac{y}{z}, 1\right)\text{d}x\text{d}y$$

计算旋度 $\nabla \times \mathbf{F}$：

$\mathbf{i}$ 分量：$\frac{\partial}{\partial y}(2xyz+x\sin z) - \frac{\partial} {\partial z}(2xy^2) = 2xz - 0 = 2xz$
$\mathbf{j}$ 分量：$\frac{\partial}{\partial z}(yz^2-\cos z) - \frac{\partial} {\partial x}(2xyz+x\sin z) = (2yz+\sin z) - (2yz+\sin z) = 0$
$\mathbf{k}$ 分量：$\frac{\partial}{\partial x}(2xy^2) - \frac{\partial} {\partial y}(yz^2-\cos z) = 2y^2 - z^2$

所以 $\nabla \times \mathbf{F} = (2xz, 0, 2y^2 - z^2)$。

计算点积并积分，投影区域 $D_{xy}$ 为 $4x^2 + y^2 \le 1$ ($x \ge 0, y \ge 0$)：

$$I = \iint_{D_{xy}} \left( 2xz \cdot \frac{4x}{z} + 0 + (2y^2 - z^2) \cdot 1 \right) \text{d}x\text{d}y = \iint_{D_{xy}} (8x^2 + 2y^2 - z^2) \text{d}x\text{d} y$$

将 $z^2 = 1 - 4x^2 - y^2$ 代入：

$$8x^2 + 2y^2 - (1 - 4x^2 - y^2) = 12x^2 + 3y^2 - 1 = 3(4x^2 + y^2) - 1$$

做广义极坐标变换：$x = \frac{1}{2}r\cos\theta, y = r\sin\theta$。雅可比行列式 $J = \frac{1}{2}r$。

$D_{xy}$ 对应 $0 \le r \le 1, 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$。

$$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{d}\theta \int_0^1 (3r^2 - 1) \cdot \frac{1}{2} r \text{d}r = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_0^1 (3r^3 - r) \text{d}r$$$$= \frac{\pi}{4} \left[ \frac{3}{4}r^4 - \frac{1}{2}r^2 \right]_0^1 = \frac{\pi} {4} \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{16}$$

最终结果：$\frac{\pi}{16}$

7. (2011112) 设 $\Gamma$ 是柱面 $x^2 + y^2 = 1$ 与平面 $z = x + y$ 的交线，从 $z$ 轴正向看 $\Gamma$ 呈逆时针方向，则曲线积分 $I = \oint_\Gamma xz\text{d}x + x\text{d}y + \frac{y^2}{2}\text{d}z = \underline{\hspace{2cm}}$。

解答：

利用斯托克斯公式。$\Gamma$ 围成曲面 $\Sigma$ 为平面 $z = x + y$ 在圆柱体内部的部分。“从 $z$ 轴正向看呈逆时针方向”意味着法向量 $\mathbf{n}$ 向上取正。

平面投影面积元为 $\text{d}\mathbf{S} = (-z_x, -z_y, 1)\text{d}x\text{d}y = (-1, -1, 1)\text{d}x\text{d}y$。

计算旋度：

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial} {\partial z} \\ xz & x & y^2/2 \end{vmatrix} = (y - 0)\mathbf{i} - (0 - x)\mathbf {j} + (1 - 0)\mathbf{k} = (y, x, 1)$$

投影区域 $D$ 为单位圆盘 $x^2 + y^2 \le 1$：

$$I = \iint_D (y, x, 1) \cdot (-1, -1, 1) \text{d}x\text{d}y = \iint_D (-y - x +

\text{d}x\text{d}y$$

由于区域 $D$ 关于原点对称，奇函数 $x$ 和 $y$ 在此区域上的二重积分为零：

$$\iint_D (-x) \text{d}x\text{d}y = 0, \quad \iint_D (-y) \text{d}x\text{d}y = 0$$$$I = \iint_D 1 \text{d}x\text{d}y = \text{Area}(D) = \pi \cdot 1^2 = \pi$$

最终结果：$\pi$

8. (2001114) 计算曲线积分 $\oint_\Gamma (y^2 - z^2)\text{d}x + (2z^2 - x^2)\text {d}y + (3x^2 - y^2)\text{d}z$，其中 $\Gamma$ 是柱面 $|x| + |y| = 1$ 及平面 $x + y + z = 2$ 的交线，从 $z$ 轴正向看 $\Gamma$ 呈逆时针方向。

解答：

利用斯托克斯公式。曲面 $\Sigma$ 取平面 $z = 2 - x - y$ 被 $|x| + |y| = 1$ 所截的部分。 “从 $z$ 轴正向看呈逆时针方向”代表法向量 $\mathbf{n}$ 取上侧。

面积元投影 $\text{d}\mathbf{S} = (-z_x, -z_y, 1)\text{d}x\text{d}y = (1, 1, 1)\text {d}x\text{d}y$。

计算旋度：

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial} {\partial z} \\ y^2-z^2 & 2z^2-x^2 & 3x^2-y^2 \end{vmatrix} = (-2y - 4z)\mathbf {i} - (6x - (-2z))\mathbf{j} + (-2x - 2y)\mathbf{k}$$$$= (-2y - 4z, -2z - 6x, -2x - 2y)$$

点积并代入平面方程 $z = 2 - x - y$：

被积函数 $= (-2y - 4z) \cdot 1 + (-2z - 6x) \cdot 1 + (-2x - 2y) \cdot 1 = -8x - 4y - 6z$

将 $z$ 替换掉：

$$-8x - 4y - 6(2 - x - y) = -8x - 4y - 12 + 6x + 6y = -2x + 2y - 12$$

积分区域 $D$ 是 $xy$ 平面上由 $|x| + |y| \le 1$ 围成的正方形区域。

$$I = \iint_D (-2x + 2y - 12) \text{d}x\text{d}y$$

由于区域 $D$ 关于 $x$ 轴和 $y$ 轴均对称，$-2x$ 和 $2y$ 都是奇函数，其积分为0。

$$I = \iint_D (-12) \text{d}x\text{d}y = -12 \times \text{Area}(D)$$

正方形 $|x| + |y| \le 1$ 对角线长为2，其面积为 $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$。

$$I = -12 \times 2 = -24$$

最终结果：$-24$

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第7节 托克斯公式、环流量与旋度

一、基础题

二、提高题

三、考研真题