第5节 对坐标的曲⾯积分
一、基础题
题目 1：
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} z^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y$, 其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2
- y^2 + (z - R)2 = R2$ 的外侧.
解答：
利用高斯公式（Gauss’s Theorem）。由于积分曲面 $\Sigma$ 是封闭的球面外侧，构成了闭区域 $V: x^2 + y^2 + (z - R)^2 \le R^2$ 的整个边界。
原积分对应的向量场为 $\mathbf{F} = (0, 0, z^2)$，其散度为 $\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial (z^2)}{\partial z} = 2z$。
根据高斯公式：
$$\iint_{\Sigma} z^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_{V} 2z \mathrm{d}V$$为了方便计算，作积分变量代换，令 $z' = z - R$（即将坐标系原点平移至球心 $(0,0,R)$）。此时积分 区域变为标准球体 $V': x^2 + y^2 + (z')^2 \le R^2$。
$$\iiint_{V} 2z \mathrm{d}V = \iiint_{V'} 2(z' + R) \mathrm{d}V' = 2 \iiint_{V'} z' \mathrm{d}V' + 2R \iiint_{V'} \mathrm{d}V'$$由对称性可知，被积函数为奇函数 $z'$ 在关于原点对称的球体 $V'$ 上的积分为 $0$。而 $\iiint_ {V'} \mathrm{d}V'$ 即为球体体积 $\frac{4}{3}\pi R^3$。
因此：
$$\iint_{\Sigma} z^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 0 + 2R \cdot \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right) = \frac{8}{3}\pi R^4$$题目 2：
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} x\mathrm{d}y\mathrm{d}z + y\mathrm{d}z\mathrm{d}x + z\mathrm{d}x\mathrm{d}y$, 其中 $\Sigma$ 是旋转抛物面 $z = x^2 + y^2$ ($z \le 1$) 的上 侧.
解答：
采用化为二重积分的方法。$\Sigma$ 的方程为 $z = x^2 + y^2$，其在 $xy$ 平面上的投影区域为 $D: x^2 + y^2 \le 1$。
由于曲面取“上侧”，法向量与 $z$ 轴正向夹角为锐角，积分前取正号。
曲面的偏导数为 $z_x = 2x, z_y = 2y$。
根据曲面积分的计算公式：
$$\iint_{\Sigma} P\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\mathrm{d} x\mathrm{d}y = \iint_{D} \left( -P z_x - Q z_y + R \right) \mathrm{d}x\mathrm{d} y$$代入 $P=x, Q=y, R=z = x^2+y^2$ 以及偏导数：
$$\iint_{\Sigma} = \iint_{D} \left( -x(2x) - y(2y) + (x^2 + y^2) \right) \mathrm {d}x\mathrm{d}y$$$$= \iint_{D} \left( -2x^2 - 2y^2 + x^2 + y^2 \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{D} -(x^2 + y^2) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$采用极坐标系进行计算：
$$= \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{1} -r^2 \cdot r \mathrm{d}r = 2\pi \left[ -\frac{r^4}{4} \right]_{0}^{1} = 2\pi \left( -\frac{1}{4} \right) = -\frac {\pi}{2}$$题目 3：
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} \frac{e^z}{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$, 其 中 $\Sigma$ 为锥面 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ 介于平面 $z=1$ 与 $z=2$ 之间的部分的下侧.
解答：
$\Sigma$ 为锥面 $z = \sqrt{x^2+y^2}$。其在 $xy$ 平面上的投影区域是由 $z=1$ 和 $z=2$ 确定 的圆环区域 $D: 1 \le x^2 + y^2 \le 4$。
由于取锥面的“下侧”，法向量指向下方，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 的投影带负号。
将 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ 代入被积函数，化为二重积分：
$$\iint_{\Sigma} \frac{e^z}{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = - \iint_{D} \frac{e^{\sqrt{x^2+y^2}}}{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$采用极坐标系进行计算，投影区域 $D$ 对应 $1 \le r \le 2$：
$$= - \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{1}^{2} \frac{e^r}{r} \cdot r \mathrm {d}r$$$$= - 2\pi \int_{1}^{2} e^r \mathrm{d}r = -2\pi \left[ e^r \right]_{1}^{2} = -2\pi (e^2 - e)$$二、提高题
题目 4：
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma} [x - f(x,y,z)]\mathrm{d}y\mathrm{d}z + [2f(x,y,z) + y] \mathrm{d}z\mathrm{d}x + [f(x,y,z) + z]\mathrm{d}x\mathrm{d}y$, 其中 $f(x,y,z)$ 为 连续函数, $\Sigma$ 是平面 $2x + 3y - 4z = 1$ 在第五卦限的部分的下侧.
解答：
由于积分曲面是一个平面，使用两类曲面积分的联系公式最为简便。
第五卦限指的是 $x \ge 0, y \ge 0, z \le 0$ 的区域。平面 $2x + 3y - 4z = 1$ 取“下侧”，意 味着单位法向量 $\mathbf{n}$ 的 $z$ 分量小于 $0$。
令 $F(x,y,z) = 2x + 3y - 4z - 1 = 0$，其梯度为 $\nabla F = (2, 3, -4)$。
因为 $z$ 分量为 $-4 < 0$，该向量恰好指向下侧。归一化后得到单位法向量：
$$\mathbf{n} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) = \frac{1}{\sqrt{2^2 + 3^2 + (-4)^2}} (2, 3, -4) = \frac{1}{\sqrt{29}} (2, 3, -4)$$将原第二类曲面积分化为第一类曲面积分：
$$I = \iint_{\Sigma} \left[ (x - f)\cos\alpha + (2f + y)\cos\beta + (f + z) \cos\gamma \right] \mathrm{d}S$$$$= \iint_{\Sigma} \frac{1}{\sqrt{29}} \left[ 2(x - f) + 3(2f + y) - 4(f + z) \right] \mathrm{d}S$$展开化简被积函数：
$$2x - 2f + 6f + 3y - 4f - 4z = 2x + 3y - 4z$$注意 $f(x,y,z)$ 被完美消去！且在平面 $\Sigma$ 上，恒有 $2x + 3y - 4z = 1$。
所以积分化为：
$$I = \iint_{\Sigma} \frac{1}{\sqrt{29}} \cdot 1 \mathrm{d}S = \frac{1}{\sqrt {29}} S_{\Sigma}$$其中 $S_{\Sigma}$ 是 $\Sigma$ 在第五卦限内的面积。
平面与坐标轴的交点分别为 $(\frac{1}{2}, 0, 0)$, $(0, \frac{1}{3}, 0)$, $(0, 0, -\frac {1}{4})$。投影在 $xy$ 平面上的区域 $D_{xy}$ 是由点 $(0,0), (\frac{1}{2}, 0), (0, \frac {1}{3})$ 构成的直角三角形，其面积为 $\sigma = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$。
根据面积微元关系 $S_{\Sigma} = \frac{\sigma}{|\cos\gamma|} = \frac{1/12}{|-4/\sqrt {29}|} = \frac{\sqrt{29}}{48}$。
因此：
$$I = \frac{1}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{48} = \frac{1}{48}$$题目 5：
计算 $\iint_{\Sigma} (-y)\mathrm{d}z\mathrm{d}x + (z+1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$, 其 中 $\Sigma$ 是圆柱面 $x^2 + y^2 = 4$ 被平面 $x+z=2$ 和 $z=0$ 所截取的部分的外侧.
解答：
利用高斯公式。原曲面 $\Sigma$ 不是闭曲面，我们通过添加顶面 $\Sigma_1$（位于 $x+z=2$ 上，取上 侧）和底面 $\Sigma_2$（位于 $z=0$ 上，取下侧）使其封闭。
设闭合曲面 $S = \Sigma + \Sigma_1 + \Sigma_2$ 包围的体积为 $V$。
向量场 $\mathbf{F} = (0, -y, z+1)$，其散度为 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 0 - 1 + 1 = 0$。
由高斯公式：
$$\oiint_{S} (-y)\mathrm{d}z\mathrm{d}x + (z+1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_ {V} 0 \mathrm{d}V = 0$$所以 $\iint_{\Sigma} = - \iint_{\Sigma_1} - \iint_{\Sigma_2}$。
计算 $\Sigma_1$ 上的积分：
$\Sigma_1$ 的方程为 $z = 2-x$，方向向上，在 $xy$ 面投影为 $D: x^2+y^2 \le 4$。
由于曲面积分中 $P=0, Q=-y, R=z+1$：
$$\iint_{\Sigma_1} = \iint_{D} \left( -(-y)z_y + (z+1) \right) \mathrm{d}x\mathrm {d}y = \iint_{D} \left( 0 + (2-x+1) \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{D} (3-x) \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$由对称性，$\iint_{D} x \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 0$，故：
$$\iint_{\Sigma_1} = 3 \iint_{D} \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 3 \cdot (\pi \cdot 2^2) = 12\pi$$计算 $\Sigma_2$ 上的积分：
$\Sigma_2$ 的方程为 $z = 0$，方向向下，$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 前取负号，且 $\mathrm {d}z=0$。
$$\iint_{\Sigma_2} = \iint_{D} -(0+1) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = - \iint_{D} 1 \mathrm{d}x\mathrm{d}y = -4\pi$$最后求和：
$$\iint_{\Sigma} = - (12\pi - 4\pi) = -8\pi$$三、考研真题
题目 6：
（2020118）设 $\Sigma$ 是曲面 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ ($1 \le x^2+y^2 \le 4$) 的下侧, $f (x)$ 是连续函数, 计算 $I = \iint_{\Sigma} [xf(xy) + 2x - y]\mathrm{d}y\mathrm{d}z + [yf(xy) + 2y + x]\mathrm{d}z\mathrm{d}x + [zf(xy) + z]\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.
解答：
化为二重积分。$\Sigma$ 为锥面，方程为 $z = \sqrt{x^2+y^2}$，投影区域为圆环 $D: 1 \le x^2 +y^2 \le 4$。
由于取“下侧”，法向量朝下，运用公式化二重积分时要在前面加负号。
计算偏导数：$z_x = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{x}{z}, z_y = \frac{y}{\sqrt{x^2 +y^2}} = \frac{y}{z}$。
$$I = - \iint_{D} \left( -P z_x - Q z_y + R \right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{D} \left( P \frac{x}{z} + Q \frac{y}{z} - R \right) \mathrm{d}x\mathrm{d} y$$将被积项 $P, Q, R$ 代入并合并同类项：
$$P\frac{x}{z} + Q\frac{y}{z} - R = \frac{x}{z}[xf(xy) + 2x - y] + \frac{y}{z}[yf (xy) + 2y + x] - [zf(xy) + z]$$$$= \frac{1}{z} \left[ (x^2+y^2)f(xy) + 2(x^2+y^2) - xy + xy - z^2 f(xy) - z^2 \right]$$因为在曲面 $\Sigma$ 上有 $x^2+y^2 = z^2$，代入上式得：
$$= \frac{1}{z} \left[ z^2 f(xy) + 2z^2 - z^2 f(xy) - z^2 \right] = \frac{1}{z} \left[ z^2 \right] = z$$因此复杂的被积函数被大幅化简，原积分变为：
$$I = \iint_{D} z \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{D} \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{d} x\mathrm{d}y$$采用极坐标计算该二重积分：
$$I = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{1}^{2} r \cdot r \mathrm{d}r = 2\pi \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{1}^{2} = 2\pi \left( \frac{8 - 1}{3} \right) = \frac {14\pi}{3}$$题目 7：
（2008112）设曲面 $\Sigma$ 是 $z = \sqrt{4-x^2-y^2}$ 的上侧, 求 $\iint_{\Sigma} xy\mathrm{d}y\mathrm{d}z + x\mathrm{d}z\mathrm{d}x + x^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y$.
解答：
为了使用高斯公式，添加辅助面闭合曲面。设 $\Sigma_1$ 为 $z=0$ （$x^2+y^2 \le 4$） 取下侧， 则 $S = \Sigma + \Sigma_1$ 构成闭合半球体表面，方向均朝外，包围体积 $V$。
向量场 $\mathbf{F} = (xy, x, x^2)$ 的散度为 $\nabla \cdot \mathbf{F} = y + 0 + 0 = y$。
由高斯公式得：
$$\iint_{\Sigma} + \iint_{\Sigma_1} = \iiint_{V} y \mathrm{d}V$$由 $V$ 关于 $xz$ 平面的对称性且被积函数 $y$ 为奇函数，可知 $\iiint_{V} y \mathrm{d}V = 0$。
故 $\iint_{\Sigma} = - \iint_{\Sigma_1}$。
在底面 $\Sigma_1$ 上，$z=0$ 所以 $\mathrm{d}z=0$；取下侧所以 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 取负号。
$$\iint_{\Sigma_1} x^2\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{x^2+y^2 \le 4} x^2 (-\mathrm {d}x\mathrm{d}y) = - \iint_{D} x^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y$$利用极坐标计算二重积分：
$$\iint_{D} x^2 \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{0}^{2\pi} \cos^2\theta \mathrm{d} \theta \int_{0}^{2} r^2 \cdot r \mathrm{d}r = \pi \cdot \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{2} = 4\pi$$因此 $\iint_{\Sigma_1} = -4\pi$。
最终结果为：
$$\iint_{\Sigma} = - (-4\pi) = 4\pi$$题目 8：
（2006103）设 $\Sigma$ 是锥面 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ ($0 \le z \le 1$) 的下侧, 则 $\iint_{\Sigma} x\mathrm{d}y\mathrm{d}z + 2y\mathrm{d}z\mathrm{d}x + 3(z-1)\mathrm {d}x\mathrm{d}y = \text{\_\_\_\_\_\_\_}$.
解答：
使用高斯公式。添加辅助平面 $\Sigma_1$：$z=1$ 内部对应 $x^2+y^2 \le 1$ 的圆盘，取上侧。
闭合曲面 $S = \Sigma + \Sigma_1$ 包围的圆锥体区域为 $V$。注意，由于 $\Sigma$ 取下侧， $\Sigma_1$ 取上侧，此时闭合曲面 $S$ 的法向量恰好全部指向区域 $V$ 的外侧。
计算向量场 $\mathbf{F} = (x, 2y, 3z-3)$ 的散度：
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 2 + 3 = 6$$根据高斯公式：
$$\iint_{\Sigma} + \iint_{\Sigma_1} = \iiint_{V} 6 \mathrm{d}V = 6 \cdot V_{\text {圆锥}} = 6 \cdot \left( \frac{1}{3}\pi \cdot 1^2 \cdot 1 \right) = 2\pi$$接着计算 $\Sigma_1$ 上的积分：
在 $\Sigma_1$ 上 $z=1$（$\mathrm{d}z=0$），且法向朝上，带入积分式得：
$$\iint_{\Sigma_1} 3(1-1)\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_{\Sigma_1} 0 \mathrm{d} x\mathrm{d}y = 0$$所以：
$$\iint_{\Sigma} = 2\pi - 0 = 2\pi$$