第1节 函数
一、基础题
1.求下列函数值
(1) 设$f(x)=\arcsin x$，求$f(0),f(-1),f\left(\frac{\sqrt3}{2}\right),f\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)$ 解答：
$$f(0)=\arcsin 0=0$$$$f(-1)=\arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}$$$$f\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)=\arcsin\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{\pi}{3}$$$$f\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=\arcsin\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{\pi}{4}$$.
(2) 设
$$ f(x)= \begin{cases} |\cos x|,\ |x|<\frac{\pi}{3},\\[6pt] 0,\ |x|\ge \frac{\pi}{3}, \end{cases} $$求$f\left(\frac{\pi}{4}\right),f\left(-\frac{\pi}{6}\right),f(-3)$。 解答：
$$\left|\frac{\pi}{4}\right|<\frac{\pi}{3},\quad f\left(\frac{\pi}{4}\right)=|\cos \frac{\pi}{4}|=\frac{\sqrt2}{2}$$$$\left|-\frac{\pi}{6}\right|<\frac{\pi}{3},\quad f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=|\cos(-\frac{\pi}{6})|=\frac{\sqrt3}{2}$$$$|-3|> \frac{\pi}{3},\quad f(-3)=0$$.
2.下列函数中，哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些既非奇又非偶函数？
(1) $y=x^2(1-x^2)$
解答：
$$f(-x)=(-x)^2(1-(-x)^2)=x^2(1-x^2)=f(x)$$为偶函数。
(2) $y=\ln\frac{x-1}{x+1}$
解答：
$$f(-x)=\ln\frac{-x-1}{-x+1}=\ln\frac{-(x+1)}{-(x-1)}=\ln\frac{x+1}{x-1}=-f(x)$$为奇函数。
(3) $y=\frac{1-x^2}{\cos x}$
解答： 分子是偶函数，分母是偶函数，因此整体为偶函数。
(4) $y=\frac{a^x+a^{-x}}{2}$
解答：
$$f(-x)=\frac{a^{-x}+a^{x}}{2}=f(x)$$为偶函数。
(5) $y=\arcsin x-\cos x+1$
解答： $\arcsin x$是奇函数，$-\cos x$是偶函数，加常数1破坏对称，因此非奇非偶。
(6)
$$ y= \begin{cases} -x^2+x,\ x>0,\\[4pt] x^2-x,\ x<0. \end{cases} $$解答： 要验证奇偶性，需要分别计算 $f(-x)$ 与 $\pm f(x)$。 令 $x>0$（只需考虑正的，再用定义）： 原函数在 $x>0$ 时：
$$f(x)=-x^2+x.$$计算 $f(-x)$： 因为 $-x<0$，应代入第二段：
$$f(-x)=(-x)^2-(-x)=x^2+x.$$现在比较：
$$f(-x)=x^2+x,\qquad -f(x)= -(-x^2+x)=x^2-x.$$显然：
$$f(-x)\ne f(x),\qquad f(-x)\ne -f(x).$$因此该函数 既不是奇函数，也不是偶函数。
3.设$f(x)$为定义在$(-a,a)$内的偶函数，且$f(x)$在$(0,a)$内单调递减，证明：$f(x)$在$(-a,0)$内单调递增$(a>0)$
解答：
任取$-a \lt x_1 \lt x_2 \lt 0$. 因偶函数满足
$$f(x)=f(-x)$$则
$$f(x_1)=f(-x_1),\quad f(x_2)=f(-x_2)$$且
$$0 \lt -x_2 \lt -x_1 \lt a$$而 $f(x)$ 在 $(0,a)$ 上单调递减，故
$$f(-x_2)>f(-x_1).$$于是
$$f(x_2)=f(-x_2)>f(-x_1)=f(x_1).$$即 $f(x)$ 在 $(-a,0)$ 上单调递增。
4.求下列函数的反函数
(1) $y=\sqrt[3]{x-1}$
解答：
$$y=\sqrt[3]{x-1}\ \Rightarrow\ x-1=y^3\ \Rightarrow\ x=y^3+1$$反函数：
$$f^{-1}(x)=x^3+1.$$.
(2) $y=\frac{1-2x}{1+2x}$
解答：
$$y(1+2x)=1-2x$$$$y+2xy=1-2x$$$$2x(y+1)=1-y$$$$x=\frac{1-y}{2(y+1)}$$反函数：
$$f^{-1}(x)=\dfrac{1-x}{2(x+1)}.$$.
(3) $y=2\sin 3x\quad \left(\frac{\pi}{6}\le x\le\frac{\pi}{6}\right)$
解答：
$$\sin 3x=\frac{y}{2}$$$$3x=\arcsin\frac{y}{2}$$$$x=\frac{1}{3}\arcsin\frac{y}{2}$$反函数：
$$f^{-1}(x)=\frac{1}{3}\arcsin\frac{x}{2}.$$.
(4) $y=\frac{3^x}{1+3^x}$ 解答：
$$y(1+3^x)=3^x$$$$y+y_{3}^x=3^x$$$$y=3^x(1-y)$$$$3^x=\frac{y}{1-y}$$$$x=\log_3\frac{y}{1-y}$$反函数：
$$f^{-1}(x)=\log_3\dfrac{x}{1-x}.$$.
二、提高题
5.设
$$ f(x)= \begin{cases} (x-1)^2,\ x\le 1,\\[4pt] \frac{1}{1-x},\ x>1, \end{cases} \quad g(x)= \begin{cases} 2x,\ x>0,\\ 3x,\ x\le 0. \end{cases} $$求$f[g(x)]$。 解答： 考虑$g(x)$的取值范围：
若$x>0$，则$g(x)=2x>0$，需区分$2x\le1$ 与 $2x>1$。
$$2x\le1\ \Rightarrow\ x\le\frac12,\quad f(g(x))=(2x-1)^2.$$$$2x>1\ \Rightarrow\ x>\frac12,\quad f(g(x))=\frac{1}{1-2x}.$$若$x\le0$，则$g(x)=3x\le0\le1$，取第一段：
$$f(g(x))=(3x-1)^2.$$最终：
\[ f[g(x)] = \begin{cases} (3x-1)^2, & x \le 0 \\[4pt] (2x-1)^2, & 0 < x \le \frac{1}{2} \\[4pt] \dfrac{1}{1-2x},\ x>\dfrac12. \end{cases} \]6.设
$$ f(x)= \begin{cases} 1,\ |x|\lt 1,\\ 0,\ |x|=1,\\ -1,\ |x|\gt 1,\\ \end{cases} \quad g(x)=e^x. $$求$f[g(x)]$和$g[f(x)]$，并画出两个函数的图形。
解答： 一、求 $f[g(x)]$ 先判断 $g(x)=e^x$ 的取值范围：
$$e^x>0,\quad \forall x.$$因此只需讨论 $e^x$ 与 1 的大小关系。
情况 1：$|g(x)|<1$ 即：
$$e^x<1 \quad \Longleftrightarrow\quad x<0.$$此时：
$$f[g(x)]=1.$$情况 2：$|g(x)|=1$ 即：
$$e^x=1 \quad \Longleftrightarrow\quad x=0.$$因此：
$$f[g(0)]=0.$$情况 3：$|g(x)|>1$ 即：
$$e^x>1 \quad \Longleftrightarrow\quad x>0.$$因此：
$$f[g(x)]=-1.$$
结果
\[ f[g(x)] = \begin{cases} 1, & x < 0 \\[4pt] 0, & x = 0 \\[4pt] -1, & x > 0 \end{cases} \]二、求 $g[f(x)]$ 利用：
$$ f(x)= \begin{cases} 1,\ |x|<1,\\ 0,\ |x|=1,\\ -1,\ |x|>1, \end{cases} $$代入 $g(x)=e^x$ 得：
若 $|x|<1$
$$f(x)=1 \quad\Rightarrow\quad g[f(x)]=e^1=e.$$若 $|x|=1$
$$f(x)=0 \quad\Rightarrow\quad g[f(x)]=e^0=1.$$若 $|x|>1$
$$f(x)=-1 \quad\Rightarrow\quad g[f(x)]=e^{-1}=\frac{1}{e}.$$
结果
\[ g[f(x)] = \begin{cases} e, & |x| < 1 \\[4pt] 1, & |x| = 1 \\[4pt] \dfrac{1}{e}, & |x| > 1 \end{cases} \]三、图形
- $f[g(x)]$ 的图形
这是一个三段常值函数：
当 $x<0$ 时，函数值为 1（水平线段）
当 $x=0$ 时，函数值为 0（单独的点）
当 $x>0$ 时，函数值为 -1（水平线段）
图形形状：三段水平直线，中间“跳变”，在 $x=0$ 处为 0 点。
- $g[f(x)]$ 的图形
分三段水平线：
区间 $(-1,1)$ 上恒为 $e$
点 $x=\pm 1$ 时取值为 1
区间 $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$ 上恒为 $1/e$
图形为三段水平线，中间高，两边低，在 $x=\pm1$ 处为单独的点。
三、考研真题
7.（19900306）设函数$f(x)=xe^{\sin x}\tan x$，则$f(x)$是（ ）
A. 偶函数 B. 无界函数 C. 周期函数 D. 单调函数
解答：
分别判断：
$$f(-x)=(-x)e^{\sin(-x)}\tan(-x)=(-x)e^{-\sin x}(-\tan x)=xe^{-\sin x}\tan x\neq\pm f(x),$$故不是奇偶函数，排除A。 当$x\to \frac{\pi}{2}^-$，$\tan x\to +\infty$，且$xe^{\sin x}>0$，故
$$f(x)\to +\infty,$$为无界函数，应选B。 该函数包含$x$，不是周期函数，排除C。 同时在不同区间符号改变与震荡，不可能是单调函数，排除D。 正确答案：B
