第7章 空间解析集合与向量代数
思考题 7.1
题目：
$n$个向量 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \cdots, \boldsymbol{a}_n$（$n \ge 3$）相加可写成 $\boldsymbol{a}_1 + \boldsymbol{a}_2 + \cdots + \boldsymbol{a}_n$，根据向量加法的三角形法则，给出$n$个向量相加的法则。
解答过程：
$n$个向量相加可以推广为向量加法的多边形法则。
具体法则为：将这$n$个向量进行平移，使其首尾顺次相接。即把 $\boldsymbol{a}_2$ 的起点放在 $\boldsymbol{a}_1$ 的终点，把 $\boldsymbol{a}_3$ 的起点放在 $\boldsymbol{a}_2$ 的终点，依此类推，直到把 $\boldsymbol{a}_n$ 的起点放在 $\boldsymbol{a}_{n-1}$ 的终点。
那么这$n$个向量的和 $\boldsymbol{a}_1 + \boldsymbol{a}_2 + \cdots + \boldsymbol{a}_n$ 就是一个从第一个向量 $\boldsymbol{a}_1$ 的起点指向最后一个向量 $\boldsymbol{a}_n$ 的终点的新向量。
思考题 7.2
题目：
已知三角形的顶点分别是 $A(1,2,3)$、$B(3,4,5)$、$C(2,4,7)$，求 $\Delta ABC$ 的面积。
解答过程：
首先求出向量 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 的坐标：
$$\overrightarrow{AB} = (3-1, 4-2, 5-3) = (2, 2, 2)$$$$\overrightarrow{AC} = (2-1, 4-2, 7-3) = (1, 2, 4)$$利用向量叉乘的几何意义，三角形面积为 $S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$。
计算叉乘 $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$：
$$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(8-4) - \mathbf{j}(8-2) + \mathbf{k}(4-2) = (4, -6, 2)$$计算该向量的模长：
$$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 36 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}$$因此，$\Delta ABC$ 的面积为：
$$S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{14} = \sqrt{14}$$思考题 7.3
题目：
求平行于平面 $6x+y+6z+5=0$，且与 $3$ 个坐标面所围成的四面体的体积为 $1$ 的平面的方程。
解答过程：
因为所求平面平行于已知平面 $6x+y+6z+5=0$，故可设所求平面方程为：
$$6x+y+6z+D=0 \quad (D \neq 0)$$分别求出该平面与三个坐标轴的交点：
令 $y=0, z=0$，得 $x = -\frac{D}{6}$；交点为 $(-\frac{D}{6}, 0, 0)$。
令 $x=0, z=0$，得 $y = -D$；交点为 $(0, -D, 0)$。
令 $x=0, y=0$，得 $z = -\frac{D}{6}$；交点为 $(0, 0, -\frac{D}{6})$。
该平面与三个坐标面围成的四面体体积为：
$$V = \frac{1}{6} \left| x_0 y_0 z_0 \right| = \frac{1}{6} \left| \left(-\frac{D}{6}\right) \cdot (-D) \cdot \left(-\frac{D}{6}\right) \right| = \frac{1}{6} \cdot \frac{|D|^3}{36} = \frac{|D|^3}{216}$$已知体积 $V = 1$，则有：
$$\frac{|D|^3}{216} = 1 \implies |D|^3 = 216 \implies |D| = 6$$解得 $D = 6$ 或 $D = -6$。
所以，所求平面的方程为：
$$6x+y+6z+6=0 \quad \text{或} \quad 6x+y+6z-6=0$$思考题 7.4
题目：
求点 $(2,1,0)$ 到平面 $3x+4y+5z=0$ 的距离。
解答过程：
利用点到平面的距离公式 $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$，直接代入已知数据：
点 $(x_0, y_0, z_0) = (2, 1, 0)$，平面参数 $A=3, B=4, C=5, D=0$。
$$d = \frac{|3 \times 2 + 4 \times 1 + 5 \times 0 + 0|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}}$$$$d = \frac{|6 + 4 + 0|}{\sqrt{9 + 16 + 25}} = \frac{10}{\sqrt{50}}$$$$d = \frac{10}{5\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$故点到平面的距离为 $\sqrt{2}$。
思考题 7.5
题目：
利用平面束方程，求直线 $\begin{cases} x+y-z-1=0, \\ x-y+z+1=0 \end{cases}$ 在平面 $x+3y+2z=0$ 上的投影直线的方程。
解答过程：
首先，求过已知直线的投影平面（即包含已知直线且垂直于平面 $x+3y+2z=0$ 的平面）。
设过已知直线的平面束方程为：
$$\lambda(x+y-z-1) + \mu(x-y+z+1) = 0$$整理合并同类项得到投影平面的一般方程形式：
$$(\lambda+\mu)x + (\lambda-\mu)y + (-\lambda+\mu)z + (-\lambda+\mu) = 0$$该投影平面的法向量为 $\boldsymbol{n}_1 = (\lambda+\mu, \lambda-\mu, -\lambda+\mu)$。
已知平面 $x+3y+2z=0$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}_2 = (1, 3, 2)$。
因为投影平面与已知平面垂直，所以它们的法向量互相垂直，即 $\boldsymbol{n}_1 \cdot \boldsymbol{n}_2 = 0$：
$$1 \cdot (\lambda+\mu) + 3 \cdot (\lambda-\mu) + 2 \cdot (-\lambda+\mu) = 0$$$$\lambda + \mu + 3\lambda - 3\mu - 2\lambda + 2\mu = 0$$合并后得：
$$2\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$将 $\lambda=0$ 代入平面束方程（此时可取 $\mu=1$），得到投影平面的方程为：
$$x-y+z+1=0$$投影直线即为投影平面与已知平面的交线，故投影直线的方程为：
$$\begin{cases} x-y+z+1=0 \\ x+3y+2z=0 \end{cases}$$思考题 7.6
题目：
利用建立旋转曲面方程的思想，求直线 $\frac{x-b}{0} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ （$b, c \neq 0$）绕 $z$ 轴旋转所形成的旋转曲面的方程，它表示什么曲面？
解答过程：
将已知直线方程化为参数或方程组形式。由 $\frac{x-b}{0} = \frac{y}{b}$ 可知 $x=b$（因为分母为0意味着分子必须为0）。
由 $\frac{y}{b} = \frac{z}{c}$ 可知 $y = \frac{b}{c}z$。
故直线的方程组表示为：
$$\begin{cases} x = b \\ y = \frac{b}{c}z \end{cases}$$设旋转曲面上任意一点为 $M(x, y, z)$，它是由母线（直线）上一点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ 绕 $z$ 轴旋转而来的。根据绕 $z$ 轴旋转的特点：
$$\begin{cases} z = z_0 \\ x^2 + y^2 = x_0^2 + y_0^2 \end{cases}$$因为点 $M_0(x_0, y_0, z_0)$ 在直线上，所以满足母线方程：
$$\begin{cases} x_0 = b \\ y_0 = \frac{b}{c}z_0 \end{cases}$$将 $x_0, y_0, z_0$ 代入旋转特征方程：
$$x^2 + y^2 = b^2 + \left(\frac{b}{c}z\right)^2$$整理后得到：
$$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$$该方程表示的曲面是单叶双曲面。
思考题 7.7
题目：
三元二次方程 $z=xy$ 表示什么曲面？
解答过程：
为了识别该曲面，我们可以对 $xOy$ 坐标系进行旋转变换来消去交叉乘积项 $xy$。
令坐标系逆时针旋转 $45^\circ$，作如下代换：
$$x = \frac{u+v}{\sqrt{2}}, \quad y = \frac{u-v}{\sqrt{2}}$$代入原方程 $z = xy$ 中：
$$z = \left( \frac{u+v}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{u-v}{\sqrt{2}} \right) = \frac{u^2 - v^2}{2}$$改写为标准形式：
$$\frac{u^2}{(\sqrt{2})^2} - \frac{v^2}{(\sqrt{2})^2} = z$$符合形如 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2cz$ 的标准方程。
由此可知，原方程表示的曲面是双曲抛物面（又称马鞍面）。
思考题 7.8
题目：
求圆柱螺旋线 $\begin{cases} x = a \cos \theta, \\ y = a \sin \theta, \\ z = b \theta \end{cases}$ 在 $3$ 个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程。
解答过程：
求空间曲线在坐标面上的投影，只需从原方程组中消去不需要的变量，再联立该坐标面的方程即可。
- 在 $xOy$ 面上的投影曲线：
消去参数 $\theta$ 且只考虑 $x, y$ 的关系：
$$x^2 + y^2 = (a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2 = a^2$$结合投影所在平面的方程 $z=0$，投影曲线方程为：
$$\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2 \\ z = 0 \end{cases}$$（这是一个位于 $xOy$ 面上，圆心在原点，半径为 $a$ 的圆）。
- 在 $xOz$ 面上的投影曲线：
消去变量 $y$（即利用 $x, z$ 建立关系）。
由 $z = b \theta$ 得到 $\theta = \frac{z}{b}$，将其代入 $x$ 的方程中：
$$x = a \cos\left(\frac{z}{b}\right)$$结合投影所在平面的方程 $y=0$，投影曲线方程为：
$$\begin{cases} x = a \cos\left(\frac{z}{b}\right) \\ y = 0 \end{cases}$$（这是一条位于 $xOz$ 面上的余弦曲线）。
- 在 $yOz$ 面上的投影曲线：
消去变量 $x$（即利用 $y, z$ 建立关系）。
同样将 $\theta = \frac{z}{b}$ 代入 $y$ 的方程中：
$$y = a \sin\left(\frac{z}{b}\right)$$结合投影所在平面的方程 $x=0$，投影曲线方程为：
$$\begin{cases} y = a \sin\left(\frac{z}{b}\right) \\ x = 0 \end{cases}$$（这是一条位于 $yOz$ 面上的正弦曲线）。