第6章 微分方程
【思考题 6.1】
题目： 求微分方程 $(x+y)y' = 0$ 的通解？它是微分方程全部的解吗？
解答过程：
- 求通解：
由方程 $(x+y)y' = 0$ 可得，要么 $y' = 0$，要么 $x+y = 0$。
- 当 $y' = 0$ 时，对其积分得到 $y = C$（$C$ 为任意常数）。由于该解包含了任意常数，因此方程的通解为 $y = C$。
- 判断是否为全部解：
当 $x+y = 0$ 时，即 $y = -x$。
验证 $y = -x$ 是否满足原方程：将 $y = -x$ 及其导数 $y' = -1$ 代入原方程左边，得 $(x - x) \cdot (-1) = 0 \cdot (-1) = 0$，等于右边。
因此，$y = -x$ 也是该微分方程的一个解。
但是，无论常数 $C$ 取何值，通解 $y = C$ 都无法包含解 $y = -x$。
结论： 通解 $y = C$ 不是微分方程全部的解，方程还有一个解为 $y = -x$（通常称为奇解或特解）。
【思考题 6.2】
题目： 方程 $y' = \sin^2(x-y+1)$ 是可分离变量的微分方程吗？能否将其化为可分离变量的微分方程并求其通解。
解答过程：
判断： 原方程右端 $\sin^2(x-y+1)$ 无法表示为形如 $f(x)g(y)$ 的乘积形式，因此它不是可分离变量的微分方程。
变量代换：
令 $u = x - y + 1$，则 $u$ 是关于 $x$ 的函数。两边对 $x$ 求导，得：
$u' = 1 - y' \implies y' = 1 - u'$
将 $y'$ 和 $x-y+1$ 替换回原方程，得到：
$1 - u' = \sin^2 u \implies u' = 1 - \sin^2 u$
即 $\frac{du}{dx} = \cos^2 u$。
此时，方程已转化为可分离变量的微分方程。
- 求通解：
分离变量得：$\frac{du}{\cos^2 u} = dx \implies \sec^2 u \, du = dx$ （当 $\cos u \neq 0$ 时）
两边同时积分：
$\int \sec^2 u \, du = \int dx$
$\tan u = x + C$
将 $u = x - y + 1$ 代回，得到原方程的通解：
$\tan(x - y + 1) = x + C$ （$C$ 为任意常数）
【思考题 6.3】
题目： 设函数 $f(x)$ 连续，且积分 $\int_0^1 [f(x) + xf(xt)] \text{d}t$ 与 $x$ 无关，求 $f(x)$。
解答过程：
- 化简积分式：
设 $I(x) = \int_0^1 [f(x) + xf(xt)] \text{d}t$。利用积分的线性性质展开：
$I(x) = \int_0^1 f(x) \text{d}t + \int_0^1 xf(xt) \text{d}t$
对于第一项，$f(x)$ 相对于积分变量 $t$ 是常数，因此：$\int_0^1 f(x) \text{d}t = f(x) \cdot t \Big|_0^1 = f(x)$。
对于第二项，作变量代换：令 $u = xt$，则 $\text{d}u = x \text{d}t$。积分下限 $t=0$ 对应 $u=0$，上限 $t=1$ 对应 $u=x$。
所以 $\int_0^1 xf(xt) \text{d}t = \int_0^x f(u) \text{d}u$。
由此得到：$I(x) = f(x) + \int_0^x f(u) \text{d}u$。
- 利用“与 $x$ 无关”的条件：
因为 $I(x)$ 与 $x$ 无关，所以其对 $x$ 的导数为 $0$。两边对 $x$ 求导：
$I'(x) = f'(x) + f(x) = 0$
- 解微分方程：
得到一阶线性齐次微分方程：$f'(x) = -f(x)$
分离变量得 $\frac{\text{d}f}{f} = -\text{d}x$
两边积分得 $\ln|f(x)| = -x + C_1$
解得 $f(x) = C e^{-x}$ （$C$ 为常数）。
【思考题 6.4】
题目： 下列方程哪些是一阶线性微分方程？
(1) $\frac{\text{d}x}{\text{d}t} = x\sin t + t^2$.
(2) $y' + xy = x + y - 1$.
(3) $x\text{d}y + (x^2 \sin x - y)\text{d}x = 0$.
(4) $y' - \cos y = x$.
解答过程：
一阶线性微分方程的标准形式为 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q(x)$ 或 $\frac{\text{d}x}{\text{d}t} + P(t)x = Q(t)$，即未知函数及其一阶导数都是一次的。
(1) $\frac{\text{d}x}{\text{d}t} - (\sin t)x = t^2$。它是关于未知函数 $x(t)$ 的一阶线性微分方程。
(2) 移项整理得 $y' + (x-1)y = x - 1$。它是关于未知函数 $y(x)$ 的一阶线性微分方程。
(3) 两边同除以 $x\text{d}x$ 整理得 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} - \frac{1}{x}y = -x\sin x$。它是关于未知函数 $y(x)$ 的一阶线性微分方程。
(4) 方程中包含 $\cos y$，未知函数 $y$ 不是一次的，属于非线性微分方程。
结论：(1)、(2)、(3) 是一阶线性微分方程。
【思考题 6.5】
题目： 求微分方程 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{1}{x+y}$ 的通解？
解答过程：
- 方程变形：
原方程直接作为关于 $y$ 的函数不易求解。我们将其反转，看作 $x$ 是 $y$ 的函数：
$\frac{\text{d}x}{\text{d}y} = x + y \implies \frac{\text{d}x}{\text{d}y} - x = y$
这变成了一个关于 $x(y)$ 的一阶线性非齐次微分方程，其中 $P(y) = -1, Q(y) = y$。
- 求通解：
使用常数变易法或积分因子法。积分因子为 $\mu(y) = e^{\int -1 \text{d}y} = e^{-y}$。
方程两边同乘 $e^{-y}$：
$e^{-y}\frac{\text{d}x}{\text{d}y} - e^{-y}x = y e^{-y} \implies \frac{\text{d}}{\text{d}y}(x e^{-y}) = y e^{-y}$
两边对 $y$ 积分：
$x e^{-y} = \int y e^{-y} \text{d}y$
利用分部积分法求解右侧积分：
$\int y e^{-y} \text{d}y = -y e^{-y} - \int (-e^{-y}) \text{d}y = -y e^{-y} - e^{-y} + C$
于是得到：
$x e^{-y} = -y e^{-y} - e^{-y} + C$
两边同乘 $e^y$，整理得到通解：
$x = C e^y - y - 1$ （$C$ 为任意常数，或者写为 $x+y+1 = C e^y$）。
【思考题 6.6】
题目： 对于微分方程 $y'' = (y')^2$，如何利用代换求解？请用本节介绍的两种方法，求其通解。
解答过程：
这是一个缺 $x$ 也缺 $y$ 的二阶微分方程。
方法一：将其视为缺 $y$ 的微分方程
令 $y' = p$，则 $y'' = p'$ (即 $\frac{\text{d}p}{\text{d}x}$)。代入原方程：
$p' = p^2 \implies \frac{\text{d}p}{\text{d}x} = p^2$
- 若 $p \neq 0$，分离变量得 $\frac{\text{d}p}{p^2} = \text{d}x$。
积分得 $-\frac{1}{p} = x + C_1 \implies p = -\frac{1}{x+C_1}$。
因为 $p = y'$，所以 $y' = -\frac{1}{x+C_1}$。
再次积分得通解：$y = -\ln|x+C_1| + C_2$。
- 若 $p = 0$，则 $y' = 0 \implies y = C$。
方法二：将其视为缺 $x$ 的微分方程
令 $y' = p$，则 $y'' = p \frac{\text{d}p}{\text{d}y}$。代入原方程：
$p \frac{\text{d}p}{\text{d}y} = p^2$
- 若 $p \neq 0$，两边约去 $p$ 得 $\frac{\text{d}p}{\text{d}y} = p \implies \frac{\text{d}p}{p} = \text{d}y$。
积分得 $\ln|p| = y + C_3 \implies p = \pm e^{y+C_3} = C_4 e^y$ （设 $C_4 = \pm e^{C_3} \neq 0$）。
因为 $p = \frac{\text{d}y}{\text{d}x}$，所以 $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = C_4 e^y \implies e^{-y} \text{d}y = C_4 \text{d}x$。
积分得 $-e^{-y} = C_4 x + C_5 \implies e^{-y} = -C_4 x - C_5$。
解出 $y$，得到 $y = -\ln(-C_4 x - C_5)$。这与方法一的结果 $y = -\ln|x+C_1| + C_2$ 本质上是等价的（常数形式不同）。
- 若 $p = 0$，同样得到 $y = C$。
通解为：$y = -\ln|x+C_1| + C_2$（且 $y=C$ 也是解）。
【思考题 6.7】
题目： 设线性无关函数 $y_1, y_2, y_3$ 都是二阶非齐次线性微分方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)$ 的解，$C_1, C_2$ 为任意常数，则下列哪个是该方程的通解？
(1) $C_1 y_1 + C_2 y_2 + y_3$
(2) $C_1 y_1 + C_2 y_2 + (C_1+C_2)y_3$
(3) $C_1 y_1 + C_2 y_2 - (1-C_1-C_2)y_3$
(4) $C_1 y_1 + C_2 y_2 + (1-C_1-C_2)y_3$
解答过程：
非齐次线性方程的解的结构定理指出：非齐次方程的通解 $y$ 等于其对应的齐次方程的通解 $Y$ 加上非齐次方程的一个特解 $y^*$，即 $y = Y + y^*$。
因为 $y_1, y_2, y_3$ 都是非齐次方程的解，根据叠加原理，它们的差 $y_1 - y_3$ 和 $y_2 - y_3$ 必定是对应齐次方程 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0$ 的解。
由于 $y_1, y_2, y_3$ 线性无关，可以证明 $y_1 - y_3$ 与 $y_2 - y_3$ 也是线性无关的，因此它们构成了二阶齐次方程的基础解系。齐次方程的通解为 $Y = C_1(y_1 - y_3) + C_2(y_2 - y_3)$。
取 $y_3$ 作为非齐次方程的特解 $y^*$。
则非齐次方程的通解为：
$y = Y + y^* = C_1(y_1 - y_3) + C_2(y_2 - y_3) + y_3 = C_1 y_1 + C_2 y_2 + (1 - C_1 - C_2)y_3$。
正确答案选：(4)。
【思考题 6.8】
题目： 已知 $y'' + P(x)y' + Q(x)y = f(x)$ 有 3 个解 $y_1=x, y_2=e^x, y_3=e^{2x}$，求此方程满足初值条件 $y(0)=1, y'(0)=3$ 的特解。
解答过程：
- 写出通解形式：
利用上一题 (思考题 6.7) 的结论，该二阶非齐次方程的通解可以表示为：
$y(x) = C_1 y_1 + C_2 y_2 + (1 - C_1 - C_2)y_3 = C_1 x + C_2 e^x + (1 - C_1 - C_2)e^{2x}$
- 利用初值条件求解常数：
计算其导数：
$y'(x) = C_1 + C_2 e^x + 2(1 - C_1 - C_2)e^{2x}$
代入条件 $y(0) = 1$：
$y(0) = C_1(0) + C_2 e^0 + (1 - C_1 - C_2)e^0 = C_2 + 1 - C_1 - C_2 = 1 - C_1 = 1 \implies C_1 = 0$
代入条件 $y'(0) = 3$（此时已知 $C_1 = 0$）：
$y'(0) = 0 + C_2 e^0 + 2(1 - 0 - C_2)e^0 = C_2 + 2 - 2C_2 = 2 - C_2 = 3 \implies C_2 = -1$
- 得出特解：
将 $C_1 = 0, C_2 = -1$ 代回通解公式：
$y = 0 \cdot x + (-1)e^x + (1 - 0 - (-1))e^{2x} = -e^x + 2e^{2x}$
特解为：$y = 2e^{2x} - e^x$。
【思考题 6.9】
题目： 求一个以 $y_1=e^x, y_2=2xe^x, y_3=\cos 2x, y_4=3\sin 2x$ 为特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求其通解。
解答过程：
- 分析特征根：
由特解 $e^x, xe^x$ （忽略常数倍数不影响齐次方程基础解系的判定），说明特征方程含有二重实根 $r_1 = r_2 = 1$。
由特解 $\cos 2x, \sin 2x$，说明特征方程含有一对共轭复根 $r_{3,4} = \pm 2i$。
- 写出特征方程：
特征方程为：$(r - 1)^2 (r^2 + 4) = 0$
展开该多项式：
$(r^2 - 2r + 1)(r^2 + 4) = r^4 + 4r^2 - 2r^3 - 8r + r^2 + 4 = r^4 - 2r^3 + 5r^2 - 8r + 4 = 0$
- 构造微分方程：
根据特征方程直接写出对应的四阶常系数齐次线性微分方程：
$y^{(4)} - 2y''' + 5y'' - 8y' + 4y = 0$
- 求通解：
基础解系为 $e^x, xe^x, \cos 2x, \sin 2x$。因此通解为这些特解的线性组合：
$y = (C_1 + C_2 x)e^x + C_3 \cos 2x + C_4 \sin 2x$ （其中 $C_1, C_2, C_3, C_4$ 为任意常数）。
【思考题 6.10】
题目： 已知函数 $y_1=xe^x+e^{2x}, y_2=xe^x+e^{-x}, y_3=xe^x+e^{2x}-e^{-x}$ 是某二阶非齐次线性微分方程的 3 个解，求此微分方程。
解答过程：
- 求对应齐次方程的解：
非齐次方程解的差是对应齐次方程的解：
$y_1 - y_2 = e^{2x} - e^{-x}$
$y_1 - y_3 = e^{-x}$
显然 $e^{2x}$ 和 $e^{-x}$ 可以作为齐次方程的两个线性无关的基础解。
- 求齐次方程：
由基础解 $e^{2x}, e^{-x}$ 可知，特征根为 $r_1 = 2, r_2 = -1$。
特征方程为：$(r - 2)(r + 1) = 0 \implies r^2 - r - 2 = 0$。
对应的齐次微分方程为：$y'' - y' - 2y = 0$。
- 求非齐次方程的自由项 $f(x)$：
设非齐次方程为 $y'' - y' - 2y = f(x)$。
将已知的一个特解 $y_1 = xe^x + e^{2x}$ 代入求 $f(x)$。由于 $e^{2x}$ 已经是齐次方程的解（代入左边等于0），为了简化计算，我们只需将 $y_p = xe^x$ 代入方程左边：
$y_p' = e^x + xe^x = (x+1)e^x$
$y_p'' = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$
代入方程左侧：
$f(x) = y_p'' - y_p' - 2y_p = (x+2)e^x - (x+1)e^x - 2xe^x = e^x(x + 2 - x - 1 - 2x) = e^x(1 - 2x)$
- 写出最终方程：
该二阶非齐次线性微分方程为：$y'' - y' - 2y = (1 - 2x)e^x$。