第4章 不定积分
思考题 4.1
题目：
若 $f(x)$ 的导函数为 $\sin x$，则 $f(x)$ 的一个原函数是（ ）.
A. $1 + \sin x$
B. $1 - \sin x$
C. $1 + \cos x$
D. $1 - \cos x$
解答过程：
本题可以通过“两次求导”的逆向思维来快速判定。
已知 $f'(x) = \sin x$。
设 $f(x)$ 的一个原函数为 $F(x)$，则根据定义有 $F'(x) = f(x)$，进而有 $F''(x) = f'(x) = \sin x$。
我们将各选项作为 $F(x)$ 进行两次求导检验：
A选项：$(1 + \sin x)'' = (\cos x)' = -\sin x \neq \sin x$
B选项：$(1 - \sin x)'' = (-\cos x)' = \sin x = \sin x$ （符合）
C选项：$(1 + \cos x)'' = (-\sin x)' = -\cos x \neq \sin x$
D选项：$(1 - \cos x)'' = (\sin x)' = \cos x \neq \sin x$
因此，正确答案选 B。
思考题 4.2
题目：
一物体从原点出发沿 $x$ 轴直行，已知它的速度为 $v = 2t + \sin t$，求该物体的位置函数 $x = s(t)$.
解答过程：
已知速度 $v(t) = s'(t) = 2t + \sin t$，对速度函数求不定积分即可得到位置函数的形式：
$$s(t) = \int v(t) \mathrm{d}t = \int (2t + \sin t) \mathrm{d}t = t^2 - \cos t + C$$由题意“物体从原点出发”，可知初始条件为 $s(0) = 0$。
代入初始条件求常数 $C$：
$$0^2 - \cos 0 + C = 0 \implies -1 + C = 0 \implies C = 1$$所以，该物体的位置函数为：
$$s(t) = t^2 - \cos t + 1$$思考题 4.3
题目：
设 $f(x) = \begin{cases} x + 1, & x \leqslant 1, \\ 2x, & x > 1, \end{cases}$ 求 $\int f(x) \mathrm{d}x$.
解答过程：
求分段函数的不定积分，需要分段积分，并利用原函数连续性确定常数关系。
设 $F(x) = \int f(x) \mathrm{d}x$。
当 $x \leqslant 1$ 时：
$$F(x) = \int (x+1) \mathrm{d}x = \frac{1}{2}x^2 + x + C_1$$当 $x > 1$ 时：
$$F(x) = \int 2x \mathrm{d}x = x^2 + C_2$$因为 $f(x)$ 含有原函数，所以其原函数 $F(x)$ 在分段点 $x=1$ 处必须连续，即：
$$\lim_{x \to 1^-} F(x) = \lim_{x \to 1^+} F(x)$$$$\frac{1}{2}(1)^2 + 1 + C_1 = 1^2 + C_2 \implies \frac{3}{2} + C_1 = 1 + C_2 \implies C_2 = C_1 + \frac{1}{2}$$令 $C_1 = C$，则 $C_2 = C + \frac{1}{2}$。
综合可得：
$$\int f(x) \mathrm{d}x = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2 + x + C, & x \leqslant 1 \\ x^2 + \frac{1}{2} + C, & x > 1 \end{cases}$$思考题 4.4
题目：
在下面的括号中填上正确答案.
(1) $\mathrm{d}x = (\quad)\mathrm{d}(ax+b)$.
(2) $x^{n-1}\mathrm{d}x = (\quad)\mathrm{d}(ax^n+b)$.
(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x = (\quad)\mathrm{d}(\sqrt{x})$.
(4) $\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x = (\quad)\mathrm{d}(\frac{1}{x})$.
(5) $\frac{1}{x}\mathrm{d}x = (\quad)\mathrm{d}(\ln x)$.
(6) $\mathrm{e}^{3x}\mathrm{d}x = (\quad)\mathrm{d}(\mathrm{e}^{3x})$.
(7) $\sin x\mathrm{d}x = (\quad)\mathrm{d}(\cos x)$.
(8) $\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x = \mathrm{d}(\quad)$.
(9) $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x = \mathrm{d}(\quad)$.
(10) $\frac{x\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} = (\quad)\mathrm{d}(\sqrt{1-x^2})$.
(11) $\frac{1}{\cos^2 x}\mathrm{d}x = \sec^2 x \mathrm{d}x = \mathrm{d}(\quad)$.
(12) $\frac{1}{\sin^2 x}\mathrm{d}x = (\quad)\mathrm{d}x = (\quad)\mathrm{d}(\cot x)$.
解答过程：
本题主要考察凑微分（第一换元法）的基本公式。
(1) $\mathrm{d}(ax+b) = a \mathrm{d}x \implies$ 填 $\frac{1}{a}$
(2) $\mathrm{d}(ax^n+b) = anx^{n-1} \mathrm{d}x \implies$ 填 $\frac{1}{an}$
(3) $\mathrm{d}(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \mathrm{d}x \implies$ 填 $2$
(4) $\mathrm{d}(\frac{1}{x}) = -\frac{1}{x^2} \mathrm{d}x \implies$ 填 $-1$ （或负号）
(5) $\mathrm{d}(\ln x) = \frac{1}{x} \mathrm{d}x \implies$ 填 $1$
(6) $\mathrm{d}(\mathrm{e}^{3x}) = 3\mathrm{e}^{3x} \mathrm{d}x \implies$ 填 $\frac{1}{3}$
(7) $\mathrm{d}(\cos x) = -\sin x \mathrm{d}x \implies$ 填 $-1$ （或负号）
(8) 基本积分表 $\implies$ 填 $\arctan x$ （或 $-\mathrm{arccot} x$）
(9) 基本积分表 $\implies$ 填 $\arcsin x$ （或 $-\arccos x$）
(10) $\mathrm{d}(\sqrt{1-x^2}) = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm{d}x \implies$ 填 $-1$ （或负号）
(11) 基本导数公式 $\implies$ 填 $\tan x$
(12) $\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$，且 $\mathrm{d}(\cot x) = -\csc^2 x \mathrm{d}x \implies$ 第一空填 $\csc^2 x$，第二空填 $-1$
思考题 4.5
题目：
分别用凑微分法和三角换元法求 $\int \frac{x}{\sqrt{9-x^2}} \mathrm{d}x$.
解答过程：
方法一：凑微分法
$$\int \frac{x}{\sqrt{9-x^2}} \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \int (9-x^2)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{d}(9-x^2)$$$$= -\frac{1}{2} \cdot \frac{(9-x^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -\sqrt{9-x^2} + C$$方法二：三角换元法
令 $x = 3\sin t, \; t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$，则 $\mathrm{d}x = 3\cos t \mathrm{d}t$，且 $\sqrt{9-x^2} = 3\cos t$。
$$\int \frac{x}{\sqrt{9-x^2}} \mathrm{d}x = \int \frac{3\sin t}{3\cos t} \cdot 3\cos t \mathrm{d}t = \int 3\sin t \mathrm{d}t = -3\cos t + C$$回代变量，由于 $\cos t = \sqrt{1-\sin^2 t} = \sqrt{1-(\frac{x}{3})^2} = \frac{\sqrt{9-x^2}}{3}$，所以：
$$-3\cos t + C = -3 \cdot \frac{\sqrt{9-x^2}}{3} + C = -\sqrt{9-x^2} + C$$思考题 4.6
题目：
计算下列不定积分，并比较其计算方法有何不同.
(1) $\int \frac{\mathrm{d}x}{4+x}$ (2) $\int \frac{\mathrm{d}x}{4+x^2}$ (3) $\int \frac{x}{4+x^2}\mathrm{d}x$ (4) $\int \frac{x^2}{4+x^2}\mathrm{d}x$
(5) $\int \frac{\mathrm{d}x}{4-x^2}$ (6) $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-x^2}}$ (7) $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4x-x^2}}$ (8) $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4+x^2}}$
(9) $\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-4}}$ (10) $\int \sqrt{4-x^2}\mathrm{d}x$
解答过程：
(1) 凑微分法：$\int \frac{\mathrm{d}x}{4+x} = \int \frac{\mathrm{d}(4+x)}{4+x} = \ln|4+x| + C$
(2) 基本公式：$\int \frac{\mathrm{d}x}{4+x^2} = \frac{1}{2}\arctan \frac{x}{2} + C$
(3) 凑微分法：$\int \frac{x}{4+x^2}\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}(4+x^2)}{4+x^2} = \frac{1}{2}\ln(4+x^2) + C$
(4) 代数变形：$\int \frac{x^2}{4+x^2}\mathrm{d}x = \int \frac{x^2+4-4}{4+x^2}\mathrm{d}x = \int (1 - \frac{4}{4+x^2})\mathrm{d}x = x - 2\arctan \frac{x}{2} + C$
(5) 裂项法(有理函数积分)：$\int \frac{\mathrm{d}x}{4-x^2} = \frac{1}{4} \int (\frac{1}{2+x} + \frac{1}{2-x})\mathrm{d}x = \frac{1}{4}\ln\left|\frac{2+x}{2-x}\right| + C$
(6) 基本公式：$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-x^2}} = \arcsin \frac{x}{2} + C$
(7) 配方法：$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4x-x^2}} = \int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4-(x-2)^2}} = \arcsin \frac{x-2}{2} + C$
(8) 基本公式：$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{4+x^2}} = \ln(x + \sqrt{x^2+4}) + C$
(9) 基本公式：$\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^2-4}} = \ln|x + \sqrt{x^2-4}| + C$
(10) 三角换元法(或分部积分)：令 $x=2\sin t$，解得 $\int \sqrt{4-x^2}\mathrm{d}x = \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + 2\arcsin \frac{x}{2} + C$
方法比较总结： 题组列举了被积函数形态相近但解法截然不同的典型积分。解题时需根据分母或根号内表达式的特征灵活选用直接套用基本公式（如2, 6, 8, 9）、凑微分（如1, 3）、代数变形/部分分式（如4, 5）、配方法（如7）以及三角换元（如10）。
思考题 4.7
题目：
如何求 $\int x^2 \sin x \mathrm{d}x$ ?
解答过程：
对于多项式与三角函数的乘积，应使用两次分部积分法，每次消去一阶 $x$ 的幂次。
$$\int x^2 \sin x \mathrm{d}x = \int x^2 \mathrm{d}(-\cos x)$$$$= -x^2 \cos x - \int (-\cos x) \mathrm{d}(x^2)$$$$= -x^2 \cos x + 2 \int x \cos x \mathrm{d}x$$对剩余的积分再次使用分部积分：
$$\int x \cos x \mathrm{d}x = \int x \mathrm{d}(\sin x) = x \sin x - \int \sin x \mathrm{d}x = x \sin x + \cos x$$将结果代回原式：
$$\int x^2 \sin x \mathrm{d}x = -x^2 \cos x + 2(x \sin x + \cos x) + C$$$$= -x^2 \cos x + 2x \sin x + 2\cos x + C$$思考题 4.8
题目：
求不定积分 $\int \sin \sqrt{2x-1} \mathrm{d}x$.
解答过程：
首先使用变量代换法消除根号，然后使用分部积分法。
令 $t = \sqrt{2x-1}$，则 $t^2 = 2x-1 \implies x = \frac{t^2+1}{2}$，从而 $\mathrm{d}x = t \mathrm{d}t$。
将原积分转换为对 $t$ 的积分：
$$\int \sin \sqrt{2x-1} \mathrm{d}x = \int \sin t \cdot t \mathrm{d}t = \int t \sin t \mathrm{d}t$$利用分部积分法：
$$\int t \sin t \mathrm{d}t = \int t \mathrm{d}(-\cos t) = -t \cos t - \int (-\cos t) \mathrm{d}t = -t \cos t + \sin t + C$$最后回代 $t = \sqrt{2x-1}$：
$$\int \sin \sqrt{2x-1} \mathrm{d}x = -\sqrt{2x-1} \cos(\sqrt{2x-1}) + \sin(\sqrt{2x-1}) + C$$思考题 4.9
题目：
如何求 $\int \frac{x-2}{(x^2+2x+3)^2} \mathrm{d}x$ ?
解答过程：
首先对分母内的二次式进行配方，然后通过拆项分离出凑微分项与反正切积分项。
由于 $x^2+2x+3 = (x+1)^2+2$，令 $u = x+1$，则 $x = u-1, \mathrm{d}x = \mathrm{d}u$，原积分化为：
$$\int \frac{u-1-2}{(u^2+2)^2} \mathrm{d}u = \int \frac{u}{(u^2+2)^2} \mathrm{d}u - 3 \int \frac{1}{(u^2+2)^2} \mathrm{d}u$$分为两部分计算：
第一部分（凑微分法）：
$$\int \frac{u}{(u^2+2)^2} \mathrm{d}u = \frac{1}{2} \int (u^2+2)^{-2} \mathrm{d}(u^2+2) = -\frac{1}{2(u^2+2)}$$第二部分（降幂法/分部积分法构造递推）：
由恒等变形 $\frac{1}{u^2+2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(u^2+2)-u^2}{u^2+2}$ 导出：
$$\int \frac{1}{u^2+2} \mathrm{d}u = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2+2} \mathrm{d}u + \frac{1}{2} \int u \cdot \frac{u}{(u^2+2)^2} \mathrm{d}u$$对后一项积分 $\int u \cdot \frac{u}{(u^2+2)^2} \mathrm{d}u$ 分部得出：
$$\int \frac{1}{(u^2+2)^2} \mathrm{d}u = \frac{u}{4(u^2+2)} + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u^2+2} \mathrm{d}u = \frac{u}{4(u^2+2)} + \frac{1}{4\sqrt{2}} \arctan \frac{u}{\sqrt{2}}$$将两部分合并：
$$I = -\frac{1}{2(u^2+2)} - 3 \left( \frac{u}{4(u^2+2)} + \frac{1}{4\sqrt{2}} \arctan \frac{u}{\sqrt{2}} \right) + C$$$$= -\frac{3u+2}{4(u^2+2)} - \frac{3\sqrt{2}}{8} \arctan \frac{u}{\sqrt{2}} + C$$最后回代 $u = x+1, u^2+2 = x^2+2x+3$：
$$\int \frac{x-2}{(x^2+2x+3)^2} \mathrm{d}x = -\frac{3x+5}{4(x^2+2x+3)} - \frac{3\sqrt{2}}{8} \arctan \frac{x+1}{\sqrt{2}} + C$$思考题 4.10
题目：
如何求 $\int \frac{\mathrm{d}x}{x^4+1}$ ?
解答过程：
这是一个经典的对称有理函数积分技巧，通过代数恒等变形将分子拆分，然后上下同除以 $x^2$。
$$\int \frac{1}{x^4+1} \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \frac{(x^2+1) - (x^2-1)}{x^4+1} \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \frac{x^2+1}{x^4+1} \mathrm{d}x - \frac{1}{2} \int \frac{x^2-1}{x^4+1} \mathrm{d}x$$分子分母同除以 $x^2$：
$$= \frac{1}{2} \int \frac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}} \mathrm{d}x - \frac{1}{2} \int \frac{1-\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}} \mathrm{d}x$$配凑分母：
$$= \frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}(x-\frac{1}{x})}{(x-\frac{1}{x})^2+2} - \frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}(x+\frac{1}{x})}{(x+\frac{1}{x})^2-2}$$对于前一项，令 $u = x - \frac{1}{x}$，积分形式为 $\int \frac{\mathrm{d}u}{u^2+(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{u}{\sqrt{2}}$。
对于后一项，令 $v = x + \frac{1}{x}$，积分形式为 $\int \frac{\mathrm{d}v}{v^2-(\sqrt{2})^2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\ln\left|\frac{v-\sqrt{2}}{v+\sqrt{2}}\right|$。
代入可得最终结果：
$$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^4+1} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \arctan \frac{x^2-1}{\sqrt{2}x} - \frac{1}{4\sqrt{2}} \ln \frac{x^2-\sqrt{2}x+1}{x^2+\sqrt{2}x+1} + C$$(注：对数项也可写为 $+ \frac{1}{4\sqrt{2}} \ln \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1}$)