第2章 导数与微分
思考题 2.1
题目： 已知函数 $f(x)=\begin{cases} \frac{2}{3}x^3, & x\leqslant 1, \\ x^2, & x>1, \end{cases}$ 问：函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处是否可导？
解答：
要判断函数在 $x=1$ 处是否可导，首先必须判断其在 $x=1$ 处是否连续。
计算 $x=1$ 处的左极限（或函数值）与右极限：
$f(1) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{2}{3}x^3 = \frac{2}{3}$
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x^2 = 1$
因为 $\lim_{x \to 1^-} f(x) \neq \lim_{x \to 1^+} f(x)$，所以函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处不连续。
根据可导必连续的定理，函数在某点不连续，则在该点必不可导。
结论： 函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处不可导。
思考题 2.2
题目： 设 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 连续，则 $\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0+h)}{h}$ 存在是 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 可导的什么条件？
解答：
该条件是 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 可导的充分必要条件（充要条件）。
证明必要性：
若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，设 $f'(x_0) = L$。则：
$$\begin{aligned} \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0+h)}{h} &= \lim_{h\to 0}\frac{[f(x_0+2h)-f(x_0)] - [f(x_0+h)-f(x_0)]}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+2h)-f(x_0)}{2h}\cdot 2 - \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \\ &= 2f'(x_0) - f'(x_0) = f'(x_0) \end{aligned}$$因此极限存在，且等于 $f'(x_0)$。必要性得证。
证明充分性：
不失一般性，平移坐标系设 $x_0 = 0$，且 $f(0) = 0$。已知 $f(x)$ 在 $0$ 处连续，且 $\lim_{h\to 0}\frac{f(2h)-f(h)}{h} = L$ 存在。
令 $\alpha(h) = \frac{f(2h)-f(h)}{h} - L$，则当 $h \to 0$ 时，$\alpha(h) \to 0$。
将上式改写为：$f(2h) - f(h) = Lh + h\alpha(h)$。
对于任意充分小的 $x \neq 0$，分别取 $h = \frac{x}{2}, \frac{x}{2^2}, \cdots, \frac{x}{2^n}$，得到以下等式：
$f(x) - f\left(\frac{x}{2}\right) = L\frac{x}{2} + \frac{x}{2}\alpha\left(\frac{x}{2}\right)$
$f\left(\frac{x}{2}\right) - f\left(\frac{x}{2^2}\right) = L\frac{x}{2^2} + \frac{x}{2^2}\alpha\left(\frac{x}{2^2}\right)$
$\cdots$
$f\left(\frac{x}{2^{n-1}}\right) - f\left(\frac{x}{2^n}\right) = L\frac{x}{2^n} + \frac{x}{2^n}\alpha\left(\frac{x}{2^n}\right)$
将这 $n$ 个等式相加，等号左边发生对消：
$f(x) - f\left(\frac{x}{2^n}\right) = L\sum_{k=1}^n \frac{x}{2^k} + x\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k}\alpha\left(\frac{x}{2^k}\right)$
因为 $f(x)$ 在 $0$ 处连续且 $f(0)=0$，令 $n \to \infty$，则 $f\left(\frac{x}{2^n}\right) \to 0$，$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} = 1$。
于是得到：$f(x) = Lx + x\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k}\alpha\left(\frac{x}{2^k}\right)$。
两边同除以 $x$：$\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{f(x)}{x} = L + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k}\alpha\left(\frac{x}{2^k}\right)$。
因为 $\lim_{h\to 0}\alpha(h)=0$，对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，当 $0 < |x| < \delta$ 时，对于所有 $k \geqslant 1$ 都有 $\left|\frac{x}{2^k}\right| < \delta$，从而 $\left|\alpha\left(\frac{x}{2^k}\right)\right| < \varepsilon$。
因此 $\left| \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k}\alpha\left(\frac{x}{2^k}\right) \right| \leqslant \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k}\varepsilon = \varepsilon$。
这表明 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = L$，即 $f'(x_0)$ 存在且等于 $L$。充分性得证。
思考题 2.3
题目： 设函数 $f(x)=(x-a)\varphi(x)$，已知 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 处连续，讨论 $f(x)$ 在 $x=a$ 处是否可导。
解答：
利用导数在某一点的定义进行判断：
$f'(a) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
由于 $f(a) = (a-a)\varphi(a) = 0$，代入上式得：
$f'(a) = \lim_{x\to a} \frac{(x-a)\varphi(x) - 0}{x-a} = \lim_{x\to a} \varphi(x)$
已知 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 处连续，根据连续的定义有 $\lim_{x\to a} \varphi(x) = \varphi(a)$。
因此，该极限存在且等于 $\varphi(a)$。
结论： 函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，且其导数值为 $f'(a) = \varphi(a)$。
思考题 2.4
题目： 如果曲线 $y=f(x)$ 有切线 $y=3x-1$，那么曲线 $y=f^{-1}(x)$ 必有的一条切线的方程是什么？
解答：
原曲线 $y=f(x)$ 上的切线方程为 $y=3x-1$。
互为反函数的两条曲线 $y=f(x)$ 与 $y=f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称。
因此，反函数曲线上对应的切线，就是原切线关于直线 $y=x$ 的对称直线。
求直线 $y=3x-1$ 关于 $y=x$ 对称的直线，只需将原方程中的 $x$ 和 $y$ 互换即可：
$x = 3y - 1$
解得：$y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$
结论： 曲线 $y=f^{-1}(x)$ 必有的一条切线方程是 $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$。
思考题 2.5
题目： 已知函数 $f(x)$ 任意阶可导，且 $f'(x)=[f(x)]^2$，求 $f^{(n)}(x)(n\geqslant 2)$。
解答：
我们通过逐阶求导寻找规律：
已知 $f'(x) = [f(x)]^2$。
求二阶导数：$f''(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}[f(x)]^2 = 2f(x) \cdot f'(x)$。将 $f'(x) = [f(x)]^2$ 代入，得：
$f''(x) = 2f(x) \cdot [f(x)]^2 = 2[f(x)]^3 = 2! [f(x)]^3$。
求三阶导数：$f'''(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{2[f(x)]^3\} = 6[f(x)]^2 \cdot f'(x) = 6[f(x)]^2 \cdot [f(x)]^2 = 6[f(x)]^4 = 3! [f(x)]^4$。
求四阶导数：$f^{(4)}(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{24[f(x)]^4\} = 24[f(x)]^3 \cdot f'(x) = 24[f(x)]^5 = 4! [f(x)]^5$。
利用数学归纳法可猜想并证明：
$f^{(n)}(x) = n! [f(x)]^{n+1}$ （对于 $n \geqslant 1$ 皆成立）。
结论： $f^{(n)}(x) = n! [f(x)]^{n+1}$。
思考题 2.6
题目： 设函数 $y(x)$ 由方程 $y-x-\mathrm{e}^x=0$ 确定，求其反函数的导数。
解答：
由已知方程可得 $y(x) = x + \mathrm{e}^x$。
其反函数为 $x=x(y)$，即 $x$ 作为因变量，$y$ 作为自变量。我们需要求的是反函数的导数 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}$。
首先计算原函数对 $x$ 的导数：
$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 1 + \mathrm{e}^x$
根据反函数求导法则，反函数的导数等于直接函数导数的倒数：
$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}} = \frac{1}{1+\mathrm{e}^x}$
（注：由于 $y = x + \mathrm{e}^x$ 是超越方程，无法将 $x$ 用 $y$ 的初等解析式显式表示出来，故结果保留 $x$ 即可，或可写作 $\frac{1}{1+y-x}$。）
结论： 其反函数的导数为 $\frac{1}{1+\mathrm{e}^x}$。
思考题 2.7
题目： 如何求由参数方程（2.27）确定的函数的三阶导数 $\frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}x^3}$？
解答：
假设参数方程（2.27）的标准形式为 $\begin{cases} x = \varphi(t) \\ y = \psi(t) \end{cases}$，且 $\varphi(t), \psi(t)$ 具有足够高阶的导数，$\varphi'(t) \neq 0$。
求导过程遵循参数方程求导链式法则 $\frac{\mathrm{d}(\cdot)}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\mathrm{d}(\cdot)}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}} = \frac{\frac{\mathrm{d}(\cdot)}{\mathrm{d}t}}{\varphi'(t)}$。
第一步：求一阶导数
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)}$$第二步：求二阶导数
$$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} \right)}{\varphi'(t)} = \frac{\psi''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3}$$第三步：求三阶导数
继续对二阶导数结果求 $x$ 的导数：
$$\frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}x^3} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}\right) = \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\psi''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3} \right)}{\varphi'(t)}$$设分子 $U(t) = \psi''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi''(t)$，对 $U(t)$ 求导：
$U'(t) = [\psi'''(t)\varphi'(t) + \psi''(t)\varphi''(t)] - [\psi''(t)\varphi''(t) + \psi'(t)\varphi'''(t)] = \psi'''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi'''(t)$
利用商的求导法则对二阶导进行 $t$ 的求导：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{U}{[\varphi']^3} \right) = \frac{U' \cdot [\varphi']^3 - U \cdot 3[\varphi']^2 \varphi''}{[\varphi']^6} = \frac{U'\varphi' - 3U\varphi''}{[\varphi']^4}$$最后除以 $\varphi'(t)$，得到三阶导数：
$$\frac{\mathrm{d}^3 y}{\mathrm{d}x^3} = \frac{[\psi'''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi'''(t)]\varphi'(t) - 3[\psi''(t)\varphi'(t) - \psi'(t)\varphi''(t)]\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^5}$$思考题 2.8
题目： 设 $y=1-x^2$，在 $x=1$ 处当 $\Delta x=0.1$ 时，$\Delta y - \mathrm{d}y$ 是多少？
解答：
1. 计算函数的增量 $\Delta y$：
$\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x)$
当 $x=1, \Delta x=0.1$ 时：
$f(1) = 1 - 1^2 = 0$
$f(1.1) = 1 - (1.1)^2 = 1 - 1.21 = -0.21$
$\Delta y = -0.21 - 0 = -0.21$
2. 计算函数的微分 $\mathrm{d}y$：
$\mathrm{d}y = y'(x) \mathrm{d}x = y'(x) \Delta x$
求导得 $y' = -2x$。
在 $x=1$ 处，微分：
$\mathrm{d}y = -2(1) \cdot (0.1) = -0.2$
3. 计算两者的差值：
$\Delta y - \mathrm{d}y = -0.21 - (-0.2) = -0.01$
结论： $\Delta y - \mathrm{d}y$ 的值为 $-0.01$。
思考题 2.9
题目： 设 $y=y(x)$ 是由方程 $x^3+y^3-\sin 3x + 6y = 0$ 确定的函数，利用微分的定义和微分形式的不变性两种方法计算 $\left. \mathrm{d}y \right|_{x=0}$。
解答：
首先确定在 $x=0$ 处的 $y$ 值。将 $x=0$ 代入原方程：
$0^3 + y^3 - \sin(0) + 6y = 0 \implies y^3 + 6y = 0 \implies y(y^2+6) = 0$
解得实数解 $y = 0$。即所求点为 $(0, 0)$。
方法一：利用微分的定义计算
由定义 $\mathrm{d}y = y'(x) \mathrm{d}x$。对方程两边同时对 $x$ 求导（隐函数求导）：
$3x^2 + 3y^2 \cdot y' - 3\cos 3x + 6y' = 0$
将 $x=0, y=0$ 代入上式：
$0 + 0 \cdot y' - 3\cos(0) + 6y' = 0 \implies -3 + 6y' = 0 \implies y' = \frac{1}{2}$
因此，$\left. \mathrm{d}y \right|_{x=0} = y'(0) \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}x$。
方法二：利用微分形式的不变性计算
对原方程两边同时直接取微分算子 $\mathrm{d}$：
$\mathrm{d}(x^3 + y^3 - \sin 3x + 6y) = \mathrm{d}(0)$
$3x^2 \mathrm{d}x + 3y^2 \mathrm{d}y - 3\cos 3x \mathrm{d}x + 6\mathrm{d}y = 0$
将 $x=0, y=0$ 代入上式微分方程中：
$3(0)^2 \mathrm{d}x + 3(0)^2 \mathrm{d}y - 3\cos(0) \mathrm{d}x + 6\mathrm{d}y = 0$
$0 + 0 - 3\mathrm{d}x + 6\mathrm{d}y = 0 \implies 6\mathrm{d}y = 3\mathrm{d}x \implies \mathrm{d}y = \frac{1}{2}\mathrm{d}x$
结论： 两种方法计算得到的 $\left. \mathrm{d}y \right|_{x=0}$ 均为 $\frac{1}{2}\mathrm{d}x$。
思考题 2.10
题目： 当 $|x|$ 很小时，试推导如下近似公式：
$\sin x \approx x$ （$x$ 为弧度）；
$\tan x \approx x$ （$x$ 为弧度）；
$(1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x$ ；
$\ln(1+x) \approx x$ ；
$\frac{1}{1-x} \approx 1+x$ 。
解答：
当 $|x|$ 很小（即 $x$ 趋向于 $0$）时，可以使用函数在 $x_0=0$ 处的一阶泰勒展开式（即线性近似）进行推导。
线性近似公式为：$f(x) \approx f(0) + f'(0) \cdot x$。
1. 推导 $\sin x \approx x$
设 $f(x) = \sin x$。
计算函数值：$f(0) = \sin 0 = 0$。
计算导函数及导数值：$f'(x) = \cos x \implies f'(0) = \cos 0 = 1$。
代入近似公式：$\sin x \approx 0 + 1 \cdot x = x$。
2. 推导 $\tan x \approx x$
设 $g(x) = \tan x$。
计算函数值：$g(0) = \tan 0 = 0$。
计算导函数及导数值：$g'(x) = \sec^2 x \implies g'(0) = \sec^2 0 = 1$。
代入近似公式：$\tan x \approx 0 + 1 \cdot x = x$。
结论： 得证当 $|x|$ 很小时，$\sin x \approx x$ 与 $\tan x \approx x$ 成立。
思考题 2.10 （续）
题目： 当 $|x|$ 很小时，试推导如下近似公式：
解答：
与前两问相同，当 $|x|$ 很小时（即 $x \to 0$），我们利用函数在 $x_0=0$ 处的一阶泰勒展开式（线性近似公式）进行推导：
$f(x) \approx f(0) + f'(0) \cdot x$
1. 推导 $(1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x$
设 $f(x) = (1+x)^\alpha$。
计算函数值：$f(0) = (1+0)^\alpha = 1$。
计算导函数：$f'(x) = \alpha(1+x)^{\alpha-1}$。
计算导数值：$f'(0) = \alpha(1+0)^{\alpha-1} = \alpha$。
代入近似公式：
$(1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha \cdot x = 1 + \alpha x$
2. 推导 $\ln(1+x) \approx x$
设 $g(x) = \ln(1+x)$。
计算函数值：$g(0) = \ln(1+0) = \ln 1 = 0$。
计算导函数：$g'(x) = \frac{1}{1+x}$。
计算导数值：$g'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$。
代入近似公式：
$\ln(1+x) \approx 0 + 1 \cdot x = x$
3. 推导 $\frac{1}{1-x} \approx 1+x$
设 $h(x) = \frac{1}{1-x} = (1-x)^{-1}$。
计算函数值：$h(0) = \frac{1}{1-0} = 1$。
计算导函数（利用复合函数求导法则）：$h'(x) = -1 \cdot (1-x)^{-2} \cdot (-1) = \frac{1}{(1-x)^2}$。
计算导数值：$h'(0) = \frac{1}{(1-0)^2} = 1$。
代入近似公式：
$\frac{1}{1-x} \approx 1 + 1 \cdot x = 1 + x$
结论： 得证当 $|x|$ 很小时，以上三个近似公式均成立。这些公式在物理海洋学或流体力学等领域的工程近似计算中非常常用。