第11章 无穷级数

思考题 11.1

题目： 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 至少有一个是发散的，则逐项相加所得的新级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(u_n + v_n)$ 是否发散？

解答：

不一定发散，需要分情况讨论：

1. 若两个级数都发散，新级数可能收敛。例如：取 $u_n = 1$，$v_n = -1$，显然 $\sum_{n=1}^{\infty} 1$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)$ 都是发散的，但逐项相加后 $u_n + v_n = 0$，新级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 0$ 是收敛的。

2. 若两个级数中一个收敛、另一个发散，则新级数必定发散。可利用反证法：假设 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，$\sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 发散，且新级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(u_n + v_n)$ 收敛。根据收敛级数的性质，差级数 $\sum_{n=1}^{\infty} [(u_n + v_n) - u_n] = \sum_{n=1}^{\infty} v_n$ 也应当收敛，这与已知条件矛盾。

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思考题 11.2

题目： 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\ln 3)^n}{2^n}$ 的和.

解答：

这是一个公比为 $q = \frac{\ln 3}{2}$ 的等比级数（几何级数）。

因为自然对数 $\ln 3 \approx 1.0986 < 2$，所以公比的绝对值 $|q| = \frac{\ln 3}{2} < 1$，满足等比级数的收敛条件。

该级数的首项为 $a_1 = \frac{\ln 3}{2}$。根据无穷等比级数求和公式 $S = \frac{a_1}{1 - q}$，可得：

$$S = \frac{\frac{\ln 3}{2}}{1 - \frac{\ln 3}{2}} = \frac{\ln 3}{2 - \ln 3}$$

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思考题 11.3

题目： 讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a^n n!}{n^n} \ (a>0)$ 的敛散性.

解答：

记一般项为 $u_n = \frac{a^n n!}{n^n}$，利用达朗贝尔判别法（比值判别法）进行讨论：

$$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{a^n n!} = \lim_{n \to \infty} a \cdot \left( \frac{n}{n+1} \right)^n = \lim_{n \to \infty} \frac{a}{(1 + \frac{1}{n})^n} = \frac{a}{e}$$

• 当 $\frac{a}{e} < 1$，即 $0 < a < e$ 时，级数收敛。

• 当 $\frac{a}{e} > 1$，即 $a > e$ 时，级数发散。

• 当 $a = e$ 时，比值极限为 1，需单独判断。此时 $u_n = \frac{e^n n!}{n^n}$。根据斯特林公式（Stirling’s approximation）$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$，可知当 $n \to \infty$ 时，$u_n \sim \sqrt{2\pi n}$。显然 $\lim_{n \to \infty} u_n \neq 0$，不满足级数收敛的必要条件，故级数发散。

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思考题 11.4

题目： 设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，能否推得 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 收敛？反之是否成立？

解答：

• 正向推导成立。 因为 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，根据级数收敛的必要条件，必有 $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$。因此，存在正整数 $N$，当 $n > N$ 时，满足 $0 < u_n < 1$。此时有 $0 < u_n^2 < u_n$。根据正项级数的比较判别法，由大级数 $\sum u_n$ 收敛即可推得小级数 $\sum u_n^2$ 也收敛。

• 反之不成立。 反例：取 $u_n = \frac{1}{n}$。级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是 $p=2$ 的 $p$ 级数，是收敛的；但原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是调和级数，是发散的。

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思考题 11.5

题目： 判断下列交错级数的敛散性，以及各项取绝对值后所成的正项级数是否收敛.

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}$； (2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n!}$； (3) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{10^n}$.

解答：

• (1) 取绝对值后的级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$（调和级数），该正项级数发散。而原交错级数满足莱布尼茨判别法条件（$\frac{1}{n}$ 单调递减且趋于 0），原级数收敛。因此，该级数为条件收敛。

• (2) 取绝对值后的级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}$。由比值判别法，$\lim_{n \to \infty} \frac{1/(n+1)!}{1/n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0 < 1$，该正项级数收敛。因此，原交错级数绝对收敛。

• (3) 取绝对值后的级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{10^n}$。由比值判别法，$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{10^{n+1}} \cdot \frac{10^n}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{10} \frac{n+1}{n} = \frac{1}{10} < 1$，该正项级数收敛。因此，原交错级数绝对收敛。

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思考题 11.6

题目： 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2^n} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2}$ 的敛散性？

解答：

考察其各项取绝对值后的正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |u_n| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2}$。

利用柯西根值判别法：

$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|u_n|} = \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{2^n} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2} \right]^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \frac{e}{2}$$

因为 $e \approx 2.718$，所以 $\rho = \frac{e}{2} > 1$。

根据根值判别法，绝对值级数发散，且原级数的一般项的极限 $\lim_{n \to \infty} u_n \neq 0$。因此，原级数发散。

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思考题 11.7

题目：

(1) 幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在点 $x = x_0 \ (x_0 \neq 0)$ 处收敛，在点 $x = -x_0$ 处是否收敛？

(2) 幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在点 $x = x_0$ 处条件收敛，收敛半径 $R$ 的值为多大？

(3) 幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-1)^n$ 在点 $x = -2$ 处条件收敛，收敛半径 $R$ 的值为多大？

解答：

• (1) 不一定收敛。 根据阿贝尔定理，若级数在 $x = x_0$ 处收敛，则对于满足 $|x| < |x_0|$ 的一切 $x$，级数绝对收敛。但点 $x = -x_0$ 可能恰好位于收敛区间的端点上（此时收敛半径 $R = |x_0|$），在端点处幂级数可能收敛也可能发散。例如：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 在 $x = -1$ 处收敛，但在 $x = 1$ 处发散。

• (2) $R = |x_0|$。 若在 $x = x_0$ 处条件收敛，意味着它既不能在内部（否则会绝对收敛），也不能在外部（否则会发散），所以该点必定在收敛区间的边界上，因此收敛半径为其到展开中心（$x=0$）的距离，即 $R = |x_0|$。

• (3) $R = 3$。 该幂级数的展开中心为 $x = 1$。在点 $x = -2$ 处条件收敛，说明 $x = -2$ 位于收敛边界上。收敛半径等于边界点到展开中心的距离，即 $R = |-2 - 1| = |-3| = 3$。

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思考题 11.8

题目： 幂级数逐项求导或逐项积分后，收敛半径保持不变，收敛域是否也保持不变？

解答：

不一定保持不变。

逐项求导或逐项积分不仅不会改变级数的收敛半径 $R$，也不会改变其开收敛区间 $(-R, R)$ 内的绝对收敛性。但是，在收敛区间的端点处（即 $x = \pm R$），级数的敛散性可能会发生改变，从而导致收敛域（包含端点的区间）发生变化。

例如：幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 的收敛域为 $[-1, 1)$；

• 逐项求导后得到 $\sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1}$，收敛域缩减为 $(-1, 1)$；

• 逐项积分后得到 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}$，收敛域扩大为 $[-1, 1]$。

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思考题 11.9

题目： 函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处“有泰勒级数”与“能展开成泰勒级数”有何不同？

解答：

• 有泰勒级数： 仅指函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处存在任意阶导数，从而可以形式上写出该函数的泰勒级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n$。但这并不保证该级数在 $x_0$ 以外的点收敛，也不保证即使收敛其和函数等于原函数 $f(x)$。

• 能展开成泰勒级数： 指不仅能写出泰勒级数，而且在点 $x_0$ 的某个邻域内，该泰勒级数必定收敛，且收敛的和函数完全等于原函数 $f(x)$ 本身。其充要条件是泰勒公式的拉格朗日余项 $R_n(x)$ 满足 $\lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0$。

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思考题 11.10

题目： 如何利用间接展开法求 $\arctan x$ 的幂级数展开式？

解答：

利用导数函数及逐项积分的性质进行间接展开。具体步骤如下：

1. 首先求 $\arctan x$ 的导数：$(\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2}$。

2. 将导数变形并利用常用几何级数 $\frac{1}{1 - q} = \sum_{n=0}^{\infty} q^n \ (|q|<1)$ 的形式进行展开：

$$\frac{1}{1 + x^2} = \frac{1}{1 - (-x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}$$

（收敛区间为 $|-x^2| < 1$，即 $x \in (-1, 1)$）。

3. 对上式在区间 $[0, x]$ 上进行逐项积分（积分在收敛区间内有效）：

$$\arctan x = \int_0^x \frac{1}{1+t^2} dt = \int_0^x \left( \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^{2n} \right) dt$$$$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \int_0^x t^{2n} dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$$

经过验证，当 $x = \pm 1$ 时级数也条件收敛，故其收敛域为 $[-1, 1]$。

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