第四章不定积分 | YHK's life

习题4.1 不定积分的概念与性质

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 填空题

【题目】

1）设 $\int f(x)dx = \ln x + C$ ，则 $f(x) =$ ____；

2）设 $\frac{1}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $f'(x)=$ ____；

3）若 $f(x)$ 的一个原函数是 $\sin x$ ，则 $\int f'(x)dx=$ ____；

4）设 $f'(x)$ 存在且连续，则 $\left[\int df(x)\right]' =$ ____；

$\int (2^x +\pi)dx =$ ____；
$\int \frac{x^2}{1 + x^2} dx =$ ____；
$\int 3^{x}e^{x}dx =$ ____；
$\int \left(\frac{3}{1 + x^2} -\frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}\right)dx =$ ____；
$\int \tan^2 x dx =$ ____；
$\int \cos^2\frac{x}{2} dx =$ ____.

【解析】

根据不定积分的定义，被积函数是原函数的导数：
$$f(x) = (\ln x + C)' = \frac{1}{x}$$
由已知 $\int f(x)dx = \frac{1}{x} + C$，得 $f(x) = \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$。因此：
$$f'(x) = \left(-\frac{1}{x^2}\right)' = \frac{2}{x^3}$$
由已知 $f(x) = (\sin x)' = \cos x$。由原函数与求导关系：
$$\int f'(x)dx = f(x) + C = \cos x + C$$
先积分后微分：
$$\int df(x) = f(x) + C \implies \left[\int df(x)\right]' = [f(x) + C]' = f'(x)$$
利用基本积分公式：
$$\int (2^x + \pi)dx = \frac{2^x}{\ln 2} + \pi x + C$$
分子加减常数 1：
$$\int \frac{x^2}{1 + x^2}dx = \int \frac{(1 + x^2) - 1}{1 + x^2}dx = \int \left(1 - \frac{1}{1 + x^2}\right)dx = x - \arctan x + C$$
合并同底指数：$3^x e^x = (3e)^x$。
$$\int 3^x e^x dx = \int (3e)^x dx = \frac{(3e)^x}{\ln(3e)} + C = \frac{3^x e^x}{\ln 3 + 1} + C$$
逐项积分：
$$\int \left(\frac{3}{1 + x^2} - \frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}\right)dx = 3\arctan x - 2\arcsin x + C$$
利用三角恒等式 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$：
$$\int \tan^2 x dx = \int (\sec^2 x - 1)dx = \tan x - x + C$$
利用降幂公式 $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$：
$$\int \cos^2\frac{x}{2} dx = \int \frac{1 + \cos x}{2} dx = \frac{1}{2}(x + \sin x) + C$$

2. 计算下列各题

【题目】

$\int \frac{1 + 2x^2}{x^2(1 + x^2)} dx;$
$\int e^{x}\left(1 - \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\right)dx;$
$\int (\tan x + \cot x)^2 dx;$
$\int \frac{\cos 2x}{\cos^2 x \sin^2 x} dx.$

【解析】

拆分分子 $1 + 2x^2 = (1 + x^2) + x^2$：
$$\frac{1 + 2x^2}{x^2(1 + x^2)} = \frac{1 + x^2}{x^2(1 + x^2)} + \frac{x^2}{x^2(1 + x^2)} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{1 + x^2}$$
积分得：
$$\int \left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{1 + x^2}\right)dx = -\frac{1}{x} + \arctan x + C = \arctan x - \frac{1}{x} + C$$
展开被积函数：
$$e^x\left(1 - \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\right) = e^x - \frac{1}{\sqrt{x}} = e^x - x^{-\frac{1}{2}}$$
积分得：
$$\int \left(e^x - x^{-\frac{1}{2}}\right)dx = e^x - 2x^{\frac{1}{2}} + C = e^x - 2\sqrt{x} + C$$
展开被积函数：
$$(\tan x + \cot x)^2 = \tan^2 x + 2\tan x\cot x + \cot^2 x = (\sec^2 x - 1) + 2 + (\csc^2 x - 1) = \sec^2 x + \csc^2 x$$
积分得：
$$\int (\sec^2 x + \csc^2 x)dx = \tan x - \cot x + C$$
利用二倍角公式 $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$：
$$\frac{\cos 2x}{\cos^2 x \sin^2 x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x} = \csc^2 x - \sec^2 x$$
积分得：
$$\int (\csc^2 x - \sec^2 x)dx = -\cot x - \tan x + C$$

3. 求曲线方程应用题

【题目】

一曲线过点 $\left(e^{2}, 3\right)$ ，且在任一点处切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程.

【解析】

根据题设，曲线在任一点 $(x, y)$ 处的切线斜率满足微分方程：

$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$$

积分求通解：

$$y = \int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$$

因为曲线经过点 $(e^2, 3)$（横坐标 $x = e^2 > 0$）：

$$3 = \ln(e^2) + C = 2 + C \implies C = 1$$

因此，该曲线方程为：

$$y = \ln x + 1$$

习题4.2 换元积分法

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 填空题

【题目】

$\int e^{3t}dt =$ ____；
$\int xe^{x^2}dx =$ ____；
$\int (3 - 2x)^{3}dx =$ ____；
$\int \frac{1}{1 - 2x} dx =$ ____；
$\int \frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)} dx =$ ____；
$\int \frac{x}{\sqrt{2 - 3x^2}} dx =$ ____；
$\int \frac{\sin x}{\cos^3 x} dx =$ ____；
$\int \frac{1}{x^2} \sin \frac{1}{x} dx =$ ____；

9）设 $\int f(x)dx = x^2 + C$ ，则 $\int xf(1 - x^2)dx =$ ____.

【解析】

$\int e^{3t}dt = \frac{1}{3}\int e^{3t}d(3t) = \frac{1}{3}e^{3t} + C$.
$\int xe^{x^2}dx = \frac{1}{2}\int e^{x^2}d(x^2) = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$.
$\int (3 - 2x)^3 dx = -\frac{1}{2}\int (3 - 2x)^3 d(3 - 2x) = -\frac{1}{8}(3 - 2x)^4 + C$.
$\int \frac{1}{1 - 2x} dx = -\frac{1}{2}\int \frac{d(1 - 2x)}{1 - 2x} = -\frac{1}{2}\ln|1 - 2x| + C$.
凑微分：$\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2d(\sqrt{x})$。
$$\int \frac{1}{\sqrt{x}(1 + x)}dx = 2\int \frac{d(\sqrt{x})}{1 + (\sqrt{x})^2} = 2\arctan\sqrt{x} + C$$
$\int \frac{x}{\sqrt{2 - 3x^2}}dx = -\frac{1}{6}\int (2 - 3x^2)^{-\frac{1}{2}}d(2 - 3x^2) = -\frac{1}{6} \cdot 2(2 - 3x^2)^{\frac{1}{2}} + C = -\frac{1}{3}\sqrt{2 - 3x^2} + C$.
$\int \frac{\sin x}{\cos^3 x}dx = -\int \cos^{-3} x d(\cos x) = -\frac{\cos^{-2} x}{-2} + C = \frac{1}{2}\sec^2 x + C$.
$\int \frac{1}{x^2}\sin\frac{1}{x}dx = -\int \sin\frac{1}{x}d\left(\frac{1}{x}\right) = \cos\frac{1}{x} + C$.
令 $u = 1 - x^2$，则 $du = -2xdx \implies xdx = -\frac{1}{2}du$。
$$\int x f(1 - x^2)dx = -\frac{1}{2}\int f(u)du$$
已知 $\int f(u)du = u^2 + C$，故：
$$-\frac{1}{2}(u^2) + C = -\frac{1}{2}(1 - x^2)^2 + C$$

2. 计算下列各题

【题目】

$\int \sin^5 x\cos xdx;$
$\int \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 5} dx;$
$\int \frac{f'(x)}{1 + f^2(x)} dx;$
$\int \frac{1}{e^x + e^{-x}} dx;$
$\int \left(\frac{(\arctan x)^{2}}{1 + x^{2}} + x \sqrt{1 - x^{2}}\right) dx;$
$\int \left(\frac{e^{\arccos x}}{\sqrt{1 - x^2}} +\frac{1}{\sqrt{\tan x}\cos^2x}\right)dx.$

【解析】

凑微分：$\cos x dx = d(\sin x)$。
$$\int \sin^5 x\cos xdx = \int \sin^5 x d(\sin x) = \frac{1}{6}\sin^6 x + C$$
凑微分：$d(x^2 + 2x + 5) = (2x + 2)dx = 2(x + 1)dx$。
$$\int \frac{x + 1}{x^2 + 2x + 5}dx = \frac{1}{2}\int \frac{d(x^2 + 2x + 5)}{x^2 + 2x + 5} = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 2x + 5) + C = \ln\sqrt{x^2 + 2x + 5} + C$$
凑微分：$f'(x)dx = df(x)$。
$$\int \frac{df(x)}{1 + f^2(x)} = \arctan f(x) + C$$
分子分母同乘 $e^x$：
$$\int \frac{e^x}{e^{2x} + 1}dx = \int \frac{d(e^x)}{(e^x)^2 + 1} = \arctan e^x + C$$
分开积分：
- $\int \frac{(\arctan x)^2}{1 + x^2}dx = \int (\arctan x)^2 d(\arctan x) = \frac{1}{3}(\arctan x)^3$；
- $\int x\sqrt{1 - x^2}dx = -\frac{1}{2}\int (1 - x^2)^{\frac{1}{2}}d(1 - x^2) = -\frac{1}{3}(1 - x^2)^{\frac{3}{2}}$。因此： $$\int \left(\frac{(\arctan x)^2}{1 + x^2} + x\sqrt{1 - x^2}\right)dx = \frac{1}{3}(\arctan x)^3 - \frac{1}{3}(1 - x^2)^{\frac{3}{2}} + C$$
分开积分：
- $\int \frac{e^{\arccos x}}{\sqrt{1 - x^2}}dx = -\int e^{\arccos x}d(\arccos x) = -e^{\arccos x}$；
- $\int \frac{1}{\sqrt{\tan x}\cos^2 x}dx = \int (\tan x)^{-\frac{1}{2}}d(\tan x) = 2\sqrt{\tan x}$。因此： $$-e^{\arccos x} + 2\sqrt{\tan x} + C$$

3. 第二类换元积分法

【题目】

$\int \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx\ (a > 0);$
$\int \frac{1}{\sqrt{(x^2 + 1)^3}} dx;$
$\int \frac{1}{1 + \sqrt{1 - x^2}} dx;$
$\int \frac{1}{\sqrt{e^x + 2}} dx.$

【解析】

三角代换：令 $x = a\sin t\ (t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}))$，则 $dx = a\cos t dt$，$\sqrt{a^2 - x^2} = a\cos t$。
$$\int \frac{a^2\sin^2 t}{a\cos t} \cdot a\cos t dt = a^2\int \sin^2 t dt = \frac{a^2}{2}\int (1 - \cos 2t)dt = \frac{a^2}{2}\left(t - \frac{1}{2}\sin 2t\right) + C$$

$$= \frac{a^2}{2}(t - \sin t\cos t) + C = \frac{a^2}{2}\left(\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{a}\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}\right) + C = \frac{a^2}{2}\left(\arcsin\frac{x}{a} - \frac{x}{a^2}\sqrt{a^2 - x^2}\right) + C$$
三角代换：令 $x = \tan t\ (t \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}))$，则 $dx = \sec^2 t dt$，$\sqrt{x^2 + 1} = \sec t$。
$$\int \frac{\sec^2 t}{\sec^3 t}dt = \int \cos t dt = \sin t + C$$
根据直角三角形辅助图，$\sin t = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$。故：
$$\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} + C$$
三角代换：令 $x = \sin t\ (t \in [0, \frac{\pi}{2}))$，则 $dx = \cos t dt$，$\sqrt{1 - x^2} = \cos t$。
$$\int \frac{\cos t}{1 + \cos t}dt = \int \frac{(1 + \cos t) - 1}{1 + \cos t}dt = \int \left(1 - \frac{1}{2\cos^2\frac{t}{2}}\right)dt = t - \tan\frac{t}{2} + C$$
利用半角正切公式 $\tan\frac{t}{2} = \frac{\sin t}{1 + \cos t} = \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}}$，且 $t = \arcsin x$：
$$\arcsin x - \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x^2}} + C$$
根式代换：令 $u = \sqrt{e^x + 2} > \sqrt{2}$，则 $u^2 = e^x + 2 \implies e^x = u^2 - 2$。两边微分：$e^x dx = 2u du \implies dx = \frac{2u}{u^2 - 2}du$。
$$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{2u}{u^2 - 2}du = 2\int \frac{du}{u^2 - 2} = \frac{2}{2\sqrt{2}}\ln\left|\frac{u - \sqrt{2}}{u + \sqrt{2}}\right| + C = \frac{1}{\sqrt{2}}\ln\left(\frac{\sqrt{e^x + 2} - \sqrt{2}}{\sqrt{e^x + 2} + \sqrt{2}}\right) + C$$

习题4.3 分部积分法

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 填空题

【题目】

$\int x\sin xdx =$ ____；
$\int \ln x dx =$ ____;
$\int \arcsin x dx =$ ____；
$\int e^{\sqrt[3]{x}}dx =$ ____；

5）设 $F'(x) = f(x)$ ，则 $\int xf'(x)dx =$ ____.

【解析】

分部积分法：
$$\int x\sin x dx = -\int x d(\cos x) = -x\cos x + \int \cos x dx = -x\cos x + \sin x + C$$
分部积分法：
$$\int \ln x dx = x\ln x - \int x d(\ln x) = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}dx = x\ln x - x + C = x(\ln x - 1) + C$$
分部积分法：
$$\int \arcsin x dx = x\arcsin x - \int x d(\arcsin x) = x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}dx$$

$$= x\arcsin x + \frac{1}{2}\int (1 - x^2)^{-\frac{1}{2}}d(1 - x^2) = x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$$
换元后分部积分：令 $t = \sqrt[3]{x} \implies x = t^3, dx = 3t^2 dt$。
$$\int e^{\sqrt[3]{x}}dx = 3\int t^2 e^t dt = 3\int t^2 d(e^t) = 3\left[t^2 e^t - 2\int t e^t dt\right] = 3\left[t^2 e^t - 2(t e^t - e^t)\right] + C$$

$$= 3e^t(t^2 - 2t + 2) + C = 3e^{\sqrt[3]{x}}(\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} + 2) + C$$
分部积分法：
$$\int x f'(x)dx = \int x d(f(x)) = x f(x) - \int f(x)dx$$
因为 $F'(x) = f(x) \implies \int f(x)dx = F(x) + C$，故：
$$\int x f'(x)dx = x f(x) - F(x) + C$$

2. 计算下列各题

【题目】

$\int xe^{-2x}dx;$
$\int x^{2}\cos xdx;$
$\int \arctan \sqrt{x} dx;$
$\int e^{-x}\cos xdx;$
$\int e^{\sqrt{3x + 9}}dx;$
$\int \cos \ln x dx.$

【解析】

分部积分：
$$\int x e^{-2x}dx = -\frac{1}{2}\int x d(e^{-2x}) = -\frac{1}{2}\left[x e^{-2x} - \int e^{-2x}dx\right] = -\frac{1}{2}x e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C = -\frac{1}{2}e^{-2x}\left(x + \frac{1}{2}\right) + C$$
两次分部积分：
$$\int x^2\cos x dx = \int x^2 d(\sin x) = x^2\sin x - 2\int x\sin x dx$$

$$= x^2\sin x - 2[-x\cos x + \sin x] + C = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C$$
分部积分：
$$\int \arctan\sqrt{x} dx = x\arctan\sqrt{x} - \int x d(\arctan\sqrt{x}) = x\arctan\sqrt{x} - \int x \cdot \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}dx$$

$$= x\arctan\sqrt{x} - \frac{1}{2}\int \frac{\sqrt{x}}{1 + x}dx$$
令 $t = \sqrt{x}, x = t^2, dx = 2tdt$：
$$\frac{1}{2}\int \frac{t}{1 + t^2} \cdot 2tdt = \int \frac{t^2}{1 + t^2}dt = \int \left(1 - \frac{1}{1 + t^2}\right)dt = t - \arctan t = \sqrt{x} - \arctan\sqrt{x}$$
合并得：
$$x\arctan\sqrt{x} - (\sqrt{x} - \arctan\sqrt{x}) + C = (x + 1)\arctan\sqrt{x} - \sqrt{x} + C$$
循环分部积分：设 $I = \int e^{-x}\cos x dx$。
$$I = -\int \cos x d(e^{-x}) = -e^{-x}\cos x - \int e^{-x}\sin x dx$$

$$= -e^{-x}\cos x + \int \sin x d(e^{-x}) = -e^{-x}\cos x + e^{-x}\sin x - \int e^{-x}\cos x dx = e^{-x}(\sin x - \cos x) - I$$
解得：
$$I = \frac{1}{2}e^{-x}(\sin x - \cos x) + C$$
换元后分部积分：令 $t = \sqrt{3x + 9} \implies 3x + 9 = t^2 \implies dx = \frac{2}{3}t dt$。
$$\int e^{\sqrt{3x + 9}}dx = \frac{2}{3}\int t e^t dt = \frac{2}{3}(t e^t - e^t) + C = \frac{2}{3}(t - 1)e^t + C = \frac{2}{3}(\sqrt{3x + 9} - 1)e^{\sqrt{3x + 9}} + C$$
循环分部积分：令 $t = \ln x \implies x = e^t, dx = e^t dt$。
$$\int \cos\ln x dx = \int e^t \cos t dt$$
由指数与余弦乘积的积分标准结论：
$$\int e^t\cos t dt = \frac{e^t}{2}(\cos t + \sin t) + C = \frac{x}{2}(\cos\ln x + \sin\ln x) + C$$

习题4.4 有理函数的积分

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

计算下列不定积分

【题目】

$\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x - 10} dx;$
$\int \frac{x + 1}{x^2 - 2x + 5} dx;$
$\int \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}} dx;$
$\int \frac{1}{3 + \sin^2 x} dx.$

【解析】

观察分母导数：$(x^2 + 3x - 10)' = 2x + 3$。分子恰好是分母的微分：
$$\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x - 10}dx = \int \frac{d(x^2 + 3x - 10)}{x^2 + 3x - 10} = \ln|x^2 + 3x - 10| + C$$
配方分母：$x^2 - 2x + 5 = (x - 1)^2 + 4$。拆分分子 $x + 1 = (x - 1) + 2$：
$$\int \frac{x + 1}{x^2 - 2x + 5}dx = \int \frac{x - 1}{(x - 1)^2 + 4}dx + 2\int \frac{1}{(x - 1)^2 + 4}dx$$
- 第一部分：$\frac{1}{2}\int \frac{d((x - 1)^2 + 4)}{(x - 1)^2 + 4} = \frac{1}{2}\ln((x - 1)^2 + 4) = \frac{1}{2}\ln(x^2 - 2x + 5)$；
- 第二部分：$2 \cdot \frac{1}{2}\arctan\frac{x - 1}{2} = \arctan\frac{x - 1}{2}$。因此： $$\frac{1}{2}\ln|x^2 - 2x + 5| + \arctan\frac{x - 1}{2} + C$$
令 $u = \sqrt[4]{x} \implies x = u^4, dx = 4u^3 du$：
$$\int \frac{1}{u^2 + u} \cdot 4u^3 du = 4\int \frac{u^2}{u + 1}du = 4\int \frac{(u^2 - 1) + 1}{u + 1}du = 4\int \left(u - 1 + \frac{1}{u + 1}\right)du$$

$$= 4\left(\frac{u^2}{2} - u + \ln(u + 1)\right) + C = 2u^2 - 4u + 4\ln(u + 1) + C$$
代回 $u = \sqrt[4]{x}$（此时 $u^2 = \sqrt{x}$）：
$$2\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} + 4\ln(\sqrt[4]{x} + 1) + C$$
分子分母同除以 $\cos^2 x$：
$$\frac{1}{3 + \sin^2 x} = \frac{\sec^2 x}{3\sec^2 x + \tan^2 x} = \frac{\sec^2 x}{3(1 + \tan^2 x) + \tan^2 x} = \frac{\sec^2 x}{3 + 4\tan^2 x}$$
凑微分令 $u = \tan x, du = \sec^2 x dx$：
$$\int \frac{du}{3 + 4u^2} = \frac{1}{2}\int \frac{d(2u)}{(\sqrt{3})^2 + (2u)^2} = \frac{1}{2\sqrt{3}}\arctan\frac{2u}{\sqrt{3}} + C = \frac{1}{2\sqrt{3}}\arctan\frac{2\tan x}{\sqrt{3}} + C$$

第四章自测题

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

计算下列不定积分

【题目】

$\int \frac{1}{\sqrt[3]{2 - 3x}} dx$
$\int \frac{1}{x\ln x\ln\ln x} dx$
$\int \sin 2x\cos 3xdx$
$\int \frac{\arctan\sqrt{x}}{\sqrt{x}(1 + x)} dx$
$\int \frac{1 + \ln x}{(x\ln x)^2} dx$
$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\tan \sqrt{x}\sec^3\sqrt{x} dx$
$\int \frac{\sqrt[3]{x}}{x\left(\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}\right)} dx$
$\int \sin \sqrt{x} dx;$
$\int \frac{1}{x + \sqrt{1 - x^2}} dx.$

【解析】

凑微分：
$$\int (2 - 3x)^{-\frac{1}{3}}dx = -\frac{1}{3}\int (2 - 3x)^{-\frac{1}{3}}d(2 - 3x) = -\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2}(2 - 3x)^{\frac{2}{3}} + C = -\frac{1}{2}(2 - 3x)^{\frac{2}{3}} + C$$
逐层凑微分：
$$\int \frac{1}{x\ln x\ln\ln x}dx = \int \frac{d(\ln x)}{\ln x \ln(\ln x)} = \int \frac{d(\ln\ln x)}{\ln\ln x} = \ln|\ln\ln x| + C$$
积化和差公式 $\sin 2x\cos 3x = \frac{1}{2}[\sin 5x - \sin x]$：
$$\int \sin 2x\cos 3x dx = \frac{1}{2}\int (\sin 5x - \sin x)dx = -\frac{1}{10}\cos 5x + \frac{1}{2}\cos x + C = \frac{1}{2}\cos x - \frac{1}{10}\cos 5x + C$$
凑微分：$d(\arctan\sqrt{x}) = \frac{1}{1 + (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}dx = \frac{dx}{2\sqrt{x}(1 + x)}$。
$$\int \frac{\arctan\sqrt{x}}{\sqrt{x}(1 + x)}dx = 2\int \arctan\sqrt{x} d(\arctan\sqrt{x}) = (\arctan\sqrt{x})^2 + C$$
观察微分：$d(x\ln x) = (\ln x + 1)dx$。
$$\int \frac{1 + \ln x}{(x\ln x)^2}dx = \int (x\ln x)^{-2}d(x\ln x) = -(x\ln x)^{-1} + C = -\frac{1}{x\ln x} + C$$
凑微分：令 $t = \sqrt{x}, dt = \frac{dx}{2\sqrt{x}}$。
$$\int \frac{1}{\sqrt{x}}\tan\sqrt{x}\sec^3\sqrt{x}dx = 2\int \sec^2 t \cdot \sec t\tan t dt = 2\int \sec^2 t d(\sec t) = \frac{2}{3}\sec^3 t + C = \frac{2}{3}\sec^3\sqrt{x} + C$$
化简被积函数并换元：分子分母同除以 $\sqrt[3]{x}$ 得 $\frac{1}{x(x^{\frac{1}{6}} + 1)}$。令 $t = \sqrt[6]{x} \implies x = t^6, dx = 6t^5 dt$：
$$\int \frac{6t^5}{t^6(t + 1)}dt = 6\int \frac{1}{t(t + 1)}dt = 6\int \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{t + 1}\right)dt = 6(\ln|t| - \ln|t + 1|) + C$$
因为 $6\ln|t| = \ln|t^6| = \ln x$，所以：
$$\ln x - 6\ln(1 + \sqrt[6]{x}) + C$$
换元后分部积分：令 $t = \sqrt{x} \implies x = t^2, dx = 2tdt$。
$$\int \sin\sqrt{x} dx = 2\int t\sin t dt = -2\int t d(\cos t) = -2[t\cos t - \sin t] + C = -2\sqrt{x}\cos\sqrt{x} + 2\sin\sqrt{x} + C$$
三角代换：令 $x = \sin t\ (t \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}))$，则 $dx = \cos t dt$，$\sqrt{1 - x^2} = \cos t$。
$$\int \frac{\cos t}{\sin t + \cos t}dt$$
利用对称拆项法：
$$\cos t = \frac{1}{2}[(\cos t + \sin t) + (\cos t - \sin t)]$$

$$\int \frac{\cos t}{\sin t + \cos t}dt = \frac{1}{2}\int 1 dt + \frac{1}{2}\int \frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t}dt = \frac{1}{2}t + \frac{1}{2}\ln|\sin t + \cos t| + C$$
代回 $t = \arcsin x$：
$$\frac{1}{2}\left(\arcsin x + \ln|x + \sqrt{1 - x^2}|\right) + C$$

第四章 不定积分 | YHK's life

习题4.1 不定积分的概念与性质

1. 填空题

2. 计算下列各题

3. 求曲线方程应用题

习题4.2 换元积分法

1. 填空题

2. 计算下列各题

3. 第二类换元积分法

习题4.3 分部积分法

1. 填空题

2. 计算下列各题

习题4.4 有理函数的积分

计算下列不定积分

第四章 自测题

计算下列不定积分

第四章不定积分 | YHK's life

第四章自测题