习题4.4 有理函数的积分
计算下列不定积分
【题目】
$\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x - 10} dx;$
$\int \frac{x + 1}{x^2 - 2x + 5} dx;$
$\int \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[4]{x}} dx;$
$\int \frac{1}{3 + \sin^2 x} dx.$
【解析】
观察分母导数：$(x^2 + 3x - 10)' = 2x + 3$。分子恰好是分母的微分：
$$\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x - 10}dx = \int \frac{d(x^2 + 3x - 10)}{x^2 + 3x - 10} = \ln|x^2 + 3x - 10| + C$$配方分母：$x^2 - 2x + 5 = (x - 1)^2 + 4$。拆分分子 $x + 1 = (x - 1) + 2$：
$$\int \frac{x + 1}{x^2 - 2x + 5}dx = \int \frac{x - 1}{(x - 1)^2 + 4}dx + 2\int \frac{1}{(x - 1)^2 + 4}dx$$- 第一部分：$\frac{1}{2}\int \frac{d((x - 1)^2 + 4)}{(x - 1)^2 + 4} = \frac{1}{2}\ln((x - 1)^2 + 4) = \frac{1}{2}\ln(x^2 - 2x + 5)$；
- 第二部分：$2 \cdot \frac{1}{2}\arctan\frac{x - 1}{2} = \arctan\frac{x - 1}{2}$。 因此： $$\frac{1}{2}\ln|x^2 - 2x + 5| + \arctan\frac{x - 1}{2} + C$$
令 $u = \sqrt[4]{x} \implies x = u^4, dx = 4u^3 du$：
$$\int \frac{1}{u^2 + u} \cdot 4u^3 du = 4\int \frac{u^2}{u + 1}du = 4\int \frac{(u^2 - 1) + 1}{u + 1}du = 4\int \left(u - 1 + \frac{1}{u + 1}\right)du$$$$= 4\left(\frac{u^2}{2} - u + \ln(u + 1)\right) + C = 2u^2 - 4u + 4\ln(u + 1) + C$$代回 $u = \sqrt[4]{x}$（此时 $u^2 = \sqrt{x}$）：
$$2\sqrt{x} - 4\sqrt[4]{x} + 4\ln(\sqrt[4]{x} + 1) + C$$分子分母同除以 $\cos^2 x$：
$$\frac{1}{3 + \sin^2 x} = \frac{\sec^2 x}{3\sec^2 x + \tan^2 x} = \frac{\sec^2 x}{3(1 + \tan^2 x) + \tan^2 x} = \frac{\sec^2 x}{3 + 4\tan^2 x}$$凑微分令 $u = \tan x, du = \sec^2 x dx$：
$$\int \frac{du}{3 + 4u^2} = \frac{1}{2}\int \frac{d(2u)}{(\sqrt{3})^2 + (2u)^2} = \frac{1}{2\sqrt{3}}\arctan\frac{2u}{\sqrt{3}} + C = \frac{1}{2\sqrt{3}}\arctan\frac{2\tan x}{\sqrt{3}} + C$$