习题4.1 不定积分的概念与性质
1. 填空题
【题目】
1）设 $\int f(x)dx = \ln x + C$ ，则 $f(x) =$ ____；
2）设 $\frac{1}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $f'(x)=$ ____；
3）若 $f(x)$ 的一个原函数是 $\sin x$ ，则 $\int f'(x)dx=$ ____；
4）设 $f'(x)$ 存在且连续，则 $\left[\int df(x)\right]' =$ ____；
$\int (2^x +\pi)dx =$ ____；
$\int \frac{x^2}{1 + x^2} dx =$ ____；
$\int 3^{x}e^{x}dx =$ ____；
$\int \left(\frac{3}{1 + x^2} -\frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}\right)dx =$ ____；
$\int \tan^2 x dx =$ ____；
$\int \cos^2\frac{x}{2} dx =$ ____.
【解析】
根据不定积分的定义，被积函数是原函数的导数：
$$f(x) = (\ln x + C)' = \frac{1}{x}$$由已知 $\int f(x)dx = \frac{1}{x} + C$，得 $f(x) = \left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}$。 因此：
$$f'(x) = \left(-\frac{1}{x^2}\right)' = \frac{2}{x^3}$$由已知 $f(x) = (\sin x)' = \cos x$。 由原函数与求导关系：
$$\int f'(x)dx = f(x) + C = \cos x + C$$先积分后微分：
$$\int df(x) = f(x) + C \implies \left[\int df(x)\right]' = [f(x) + C]' = f'(x)$$利用基本积分公式：
$$\int (2^x + \pi)dx = \frac{2^x}{\ln 2} + \pi x + C$$分子加减常数 1：
$$\int \frac{x^2}{1 + x^2}dx = \int \frac{(1 + x^2) - 1}{1 + x^2}dx = \int \left(1 - \frac{1}{1 + x^2}\right)dx = x - \arctan x + C$$合并同底指数：$3^x e^x = (3e)^x$。
$$\int 3^x e^x dx = \int (3e)^x dx = \frac{(3e)^x}{\ln(3e)} + C = \frac{3^x e^x}{\ln 3 + 1} + C$$逐项积分：
$$\int \left(\frac{3}{1 + x^2} - \frac{2}{\sqrt{1 - x^2}}\right)dx = 3\arctan x - 2\arcsin x + C$$利用三角恒等式 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$：
$$\int \tan^2 x dx = \int (\sec^2 x - 1)dx = \tan x - x + C$$利用降幂公式 $\cos^2\frac{x}{2} = \frac{1 + \cos x}{2}$：
$$\int \cos^2\frac{x}{2} dx = \int \frac{1 + \cos x}{2} dx = \frac{1}{2}(x + \sin x) + C$$
2. 计算下列各题
【题目】
$\int \frac{1 + 2x^2}{x^2(1 + x^2)} dx;$
$\int e^{x}\left(1 - \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\right)dx;$
$\int (\tan x + \cot x)^2 dx;$
$\int \frac{\cos 2x}{\cos^2 x \sin^2 x} dx.$
【解析】
拆分分子 $1 + 2x^2 = (1 + x^2) + x^2$：
$$\frac{1 + 2x^2}{x^2(1 + x^2)} = \frac{1 + x^2}{x^2(1 + x^2)} + \frac{x^2}{x^2(1 + x^2)} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{1 + x^2}$$积分得：
$$\int \left(\frac{1}{x^2} + \frac{1}{1 + x^2}\right)dx = -\frac{1}{x} + \arctan x + C = \arctan x - \frac{1}{x} + C$$展开被积函数：
$$e^x\left(1 - \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\right) = e^x - \frac{1}{\sqrt{x}} = e^x - x^{-\frac{1}{2}}$$积分得：
$$\int \left(e^x - x^{-\frac{1}{2}}\right)dx = e^x - 2x^{\frac{1}{2}} + C = e^x - 2\sqrt{x} + C$$展开被积函数：
$$(\tan x + \cot x)^2 = \tan^2 x + 2\tan x\cot x + \cot^2 x = (\sec^2 x - 1) + 2 + (\csc^2 x - 1) = \sec^2 x + \csc^2 x$$积分得：
$$\int (\sec^2 x + \csc^2 x)dx = \tan x - \cot x + C$$利用二倍角公式 $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$：
$$\frac{\cos 2x}{\cos^2 x \sin^2 x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x} - \frac{1}{\cos^2 x} = \csc^2 x - \sec^2 x$$积分得：
$$\int (\csc^2 x - \sec^2 x)dx = -\cot x - \tan x + C$$
3. 求曲线方程应用题
【题目】
一曲线过点 $\left(e^{2}, 3\right)$ ，且在任一点处切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线方程.
【解析】
根据题设，曲线在任一点 $(x, y)$ 处的切线斜率满足微分方程：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$$积分求通解：
$$y = \int \frac{1}{x}dx = \ln|x| + C$$因为曲线经过点 $(e^2, 3)$（横坐标 $x = e^2 > 0$）：
$$3 = \ln(e^2) + C = 2 + C \implies C = 1$$因此，该曲线方程为：
$$y = \ln x + 1$$