第六章定积分的应用 | YHK's life

习题6.2 定积分在几何学上应用

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 求平面图形面积

【题目】

1） $y=\frac{1}{x}$ 与直线 y=x 及 x=2；

2）抛物线 $y = -x^{2} + 4x - 3$ 及其在点 $(0, -3)$ 处的切线与直线 x = 3.

【解析】

求交点：$\frac{1}{x} = x \implies x^2 = 1$。在第一象限交点为 $(1, 1)$。积分区间为 $[1, 2]$，在区间上 $x \geq \frac{1}{x}$：
$$S = \int_1^2 \left(x - \frac{1}{x}\right)dx = \left[\frac{x^2}{2} - \ln x\right]_1^2 = \left(2 - \ln 2\right) - \left(\frac{1}{2} - 0\right) = \frac{3}{2} - \ln 2$$
抛物线导数：$y' = -2x + 4$。在点 $(0, -3)$ 处切线斜率 $k = y'(0) = 4$。切线方程为：$y - (-3) = 4(x - 0) \implies y = 4x - 3$。在区间 $[0, 3]$ 上，切线位于抛物线上方：
$$S = \int_0^3 [(4x - 3) - (-x^2 + 4x - 3)]dx = \int_0^3 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9$$

2. 极坐标图形面积

【题目】

求圆 $\rho=3\cos\theta$ 与心形线 $\rho=1+\cos\theta$ 所围公共部分的面积.

【解析】

利用对称性，图形关于极轴对称。求交点角度：

$$3\cos\theta = 1 + \cos\theta \implies 2\cos\theta = 1 \implies \cos\theta = \frac{1}{2} \implies \theta = \pm\frac{\pi}{3}$$

由极坐标图形轮廓：

当 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$ 时，心形线在内侧，面积由心形线确定；
当 $\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 时，圆在内侧，面积由圆确定。上半部分面积为： $$S_1 = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{3}}(1 + \cos\theta)^2 d\theta + \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(3\cos\theta)^2 d\theta$$
第一部分：$\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{3}}(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta)d\theta = \frac{1}{2}\left[\theta + 2\sin\theta + \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}\left[\frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{8}\right] = \frac{\pi}{4} + \frac{9\sqrt{3}}{16}$；
第二部分：$\frac{9}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta d\theta = \frac{9}{4}\left[\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{9}{4}\left[\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right) + \left(0 - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right] = \frac{3\pi}{8} - \frac{9\sqrt{3}}{16}$。相加得上半部分面积：$S_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{8} = \frac{5\pi}{8}$。总面积为： $$S = 2S_1 = \frac{5}{4}\pi$$

3. 旋转体体积

【题目】

1）由 $y = x^{2}, x = y^{2}$ 所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体体积；

2）由 $y = x^{2}, x = 2, y = 0$ 所围图形，分别绕 $x$ 轴及 $y$ 轴旋转，计算所得旋转体体积.

【解析】

交点为 $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$。绕 $x$ 轴旋转，外半径 $y_1 = \sqrt{x}$，内半径 $y_2 = x^2$：
$$V = \pi \int_0^1 [(\sqrt{x})^2 - (x^2)^2]dx = \pi \int_0^1 (x - x^4)dx = \pi \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right) = \frac{3}{10}\pi$$

绕 $x$ 轴旋转： $$V_x = \pi \int_0^2 (x^2)^2 dx = \pi \int_0^2 x^4 dx = \pi \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^2 = \frac{32}{5}\pi$$ (注：参考答案记为 $\frac{32}{7}\pi$ 系排版笔误，标准积分为 $\frac{32}{5}\pi$)
绕 $y$ 轴旋转（柱壳法）： $$V_y = 2\pi \int_0^2 x \cdot x^2 dx = 2\pi \int_0^2 x^3 dx = 2\pi \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = 8\pi$$

4. 已知截面面积求立体体积

【题目】

计算底面是半径为 $R$ 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面积都是等边三角形的立体体积.

【解析】

以固定直径所在直线为 $x$ 轴，底面圆方程为 $x^2 + y^2 \leq R^2$。在点 $x \in [-R, R]$ 处，垂直于 $x$ 轴的截线长度（等边三角形的底边长）为：

$$L(x) = 2\sqrt{R^2 - x^2}$$

以 $L(x)$ 为边长的等边三角形面积为：

$$A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} [L(x)]^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4(R^2 - x^2) = \sqrt{3}(R^2 - x^2)$$

沿 $x$ 轴积分求立体体积：

$$V = \int_{-R}^R A(x)dx = \sqrt{3}\int_{-R}^R (R^2 - x^2)dx = 2\sqrt{3}\left[R^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_0^R = 2\sqrt{3}\left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) = \frac{4\sqrt{3}}{3}R^3$$

5. 平面曲线弧长

【题目】

计算星形线 $x = \cos^3 t, y = \sin^3 t$ 对应于 $t = 0$ 到 $t = \frac{\pi}{2}$ 一段弧的弧长.

【解析】

求微商：

$$\frac{dx}{dt} = -3\cos^2 t\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = 3\sin^2 t\cos t$$

弧微分：

$$\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{9\cos^4 t\sin^2 t + 9\sin^4 t\cos^2 t} = 3\sin t\cos t\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = 3\sin t\cos t$$

积分计算弧长：

$$s = \int_0^{\frac{\pi}{2}}3\sin t\cos t dt = \frac{3}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin 2t dt = \frac{3}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos 2t\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{3}{4}(1 - (-1)) = \frac{3}{2}$$

6. 极坐标曲线全长

【题目】

求心形线 $\rho=1+\cos\theta$ 的全长.

【解析】

利用对称性，心形线关于极轴对称。求导数：$\rho' = -\sin\theta$。极坐标弧微分公式：

$$ds = \sqrt{\rho^2 + (\rho')^2}d\theta = \sqrt{(1 + \cos\theta)^2 + (-\sin\theta)^2}d\theta = \sqrt{1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta}d\theta = \sqrt{2(1 + \cos\theta)}d\theta = 2\cos\frac{\theta}{2}d\theta$$

全长为上半部分弧长的 2 倍：

$$s = 2\int_0^\pi 2\cos\frac{\theta}{2}d\theta = 4\left[2\sin\frac{\theta}{2}\right]_0^\pi = 8(1 - 0) = 8$$

习题6.3 定积分在物理学上的应用

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 计算变力作功

【题目】

1）设一根弹簧原长为 $10 \, cm$ ，若拉长到 $11 \, cm$ 需作功为 $60 \, J$ ，求把弹簧从原长拉伸到 $12 \, cm$ 需作多少功；

2）一圆柱形储水池高 4 米，底面圆的半径为 2 米，池内盛满了水，试求把池内的水吸出池外需作多少功.

【解析】

设伸长量为 $x\ (\mathrm{m})$，由胡克定律弹性力 $F(x) = kx$。原长拉伸到 $11\,\mathrm{cm}$ 时伸长量 $x_1 = 0.01\,\mathrm{m}$：
$$W_1 = \int_0^{0.01} kx dx = \frac{1}{2}k(0.01)^2 = 60 \implies k = \frac{120}{10^{-4}} = 1.2 \times 10^6\,\mathrm{N/m}$$
从原长拉伸到 $12\,\mathrm{cm}$ 时伸长量 $x_2 = 0.02\,\mathrm{m}$：
$$W_2 = \int_0^{0.02} kx dx = \frac{1}{2}k(0.02)^2 = \frac{1}{2}(1.2 \times 10^6)(4 \times 10^{-4}) = 240\,\mathrm{J}$$
取垂直向下为 $x$ 轴正方向，水池顶面为 $x = 0$，底面为 $x = 4$。在深度 $x$ 处厚度为 $dx$ 的薄水层的体积为 $dV = \pi R^2 dx = \pi (2)^2 dx = 4\pi dx\ (\mathrm{m^3})$。该薄层重力为 $dG = \rho g dV = 1000g \cdot 4\pi dx = 4000\pi g dx\ (\mathrm{N})$。将其抽至水池外提升高度为 $x$，所作微元功为：
$$dW = x \cdot dG = 4000\pi g x dx$$
积分求总功：
$$W = \int_0^4 4000\pi g x dx = 4000\pi g \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 32000\pi g\,\mathrm{J} = 32\pi g\,\mathrm{kJ}$$

2. 水压力计算

【题目】

一矩形闸门, 高为 2 米, 底边长为 4 米, 水面与闸门的上底边相齐, 计算闸门一侧所受的水压力.

【解析】

以水面为 $x = 0$，竖直向下为 $x$ 轴正方向。闸门深处在 $x \in [0, 2]$ 范围。在深度 $x$ 处取微元宽度 $dx$，微元面积为 $dA = 4dx$。在深度 $x$ 处的水压强为 $p = \rho g x$。薄片所受压力微元为：

$$dF = p dA = \rho g x \cdot 4dx = 4\rho g x dx$$

积分求总水压力：

$$F = \int_0^2 4\rho g x dx = 4\rho g \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = 8\rho g = 8 \times 1000g\,\mathrm{N} = 8g\,\mathrm{kN}$$

3. 阻力作功与钉入深度

【题目】

用锤子将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与击入木板的深度成正比，击打第一次，铁钉击入木板 1 厘米。若每次锤子击铁钉所作的功相同，再击第二次，铁钉又击入多少厘米？

【解析】

阻力大小为 $F(x) = kx$（$x$ 为击入深度，单位为 $\mathrm{cm}$）。击打第一次所作的功为克服阻力所作的功：

$$W_1 = \int_0^1 kx dx = \frac{1}{2}k(1)^2 = \frac{1}{2}k$$

设第二次击打后总击入深度为 $x_2\,\mathrm{cm}$。由于两次作功相同，前两次击打所作的总功为 $2W_1$：

$$W_{\text{总}} = \int_0^{x_2} kx dx = \frac{1}{2}k x_2^2 = 2W_1 = 2\left(\frac{1}{2}k\right) = k$$

解得：

$$x_2^2 = 2 \implies x_2 = \sqrt{2}\,\mathrm{cm}$$

因此第二次又击入的深度为：

$$\Delta x = x_2 - 1 = (\sqrt{2} - 1)\,\mathrm{cm}$$

第六章自测题

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 面积与绕 y 轴旋转体体积

【题目】

求直线 $y = 0$ 与曲线 $y = x^2$ 及它在(1, 1)点处的法线所围图形面积和该图形绕 $y$ 轴旋转所得旋转体体积.

【解析】

曲线 $y = x^2$ 在 $(1, 1)$ 点处切线斜率 $k = y'(1) = 2$，法线斜率 $k_N = -\frac{1}{2}$。法线方程为：$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$。法线与 $x$ 轴（$y = 0$）的交点：$0 = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \implies x = 3$。图形被分割为两部分：在 $[0, 1]$ 上上方为抛物线，在 $[1, 3]$ 上上方为法线。面积为：
$$A = \int_0^1 x^2 dx + \int_1^3 \left(-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\right)dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 + \left[-\frac{x^2}{4} + \frac{3}{2}x\right]_1^3 = \frac{1}{3} + \left[\left(-\frac{9}{4} + \frac{9}{2}\right) - \left(-\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\right)\right] = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$$
绕 $y$ 轴旋转体积（柱壳法）：
$$V_y = 2\pi \int_0^1 x(x^2)dx + 2\pi \int_1^3 x\left(-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\right)dx$$

第一部分：$2\pi \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{\pi}{2}$；
第二部分：$2\pi \left[-\frac{x^3}{6} + \frac{3x^2}{4}\right]_1^3 = 2\pi \left[\left(-\frac{27}{6} + \frac{27}{4}\right) - \left(-\frac{1}{6} + \frac{3}{4}\right)\right] = 2\pi \left[\frac{9}{4} - \frac{7}{12}\right] = 2\pi \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3}\pi$。相加得： $$V_y = \frac{\pi}{2} + \frac{10\pi}{3} = \frac{23}{6}\pi$$

2. 面积与绕 x 轴旋转体体积

【题目】

求曲线 $y = e^{x}, y = e^{-x}$ 与直线 $x = 1$ 所围平面图形的的面积以及该图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积.

【解析】

求交点：$e^x = e^{-x} \implies x = 0, y = 1$。在 $[0, 1]$ 上 $e^x \geq e^{-x}$，面积为：
$$A = \int_0^1 (e^x - e^{-x})dx = \left[e^x + e^{-x}\right]_0^1 = \left(e + \frac{1}{e}\right) - 2 = e + \frac{1}{e} - 2$$
绕 $x$ 轴旋转体体积：
$$V_x = \pi \int_0^1 \left[(e^x)^2 - (e^{-x})^2\right]dx = \pi \int_0^1 (e^{2x} - e^{-2x})dx = \pi \left[\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}\right]_0^1 = \frac{\pi}{2}\left(e^2 + \frac{1}{e^2} - 2\right)$$

3. 切线、面积与旋转体积综合题

【题目】

在曲线 $y = x^{2}\ (x \geq 0)$ 上一点 $M$ 处作切线，使得切线，曲线及 $x$ 轴所围成的面积为 $\frac{2}{3}$ ，求： 1）切点 $M$ 的坐标； 2）过切点 $M$ 的切线方程； 3）上述平面图形绕 $x$ 轴旋转一周得到的旋转体的体积.

【解析】

设切点坐标为 $M(x_0, x_0^2)\ (x_0 > 0)$。切线斜率 $k = y'(x_0) = 2x_0$。切线方程为：$y - x_0^2 = 2x_0(x - x_0) \implies y = 2x_0 x - x_0^2$。切线与 $x$ 轴交点为 $\left(\frac{x_0}{2}, 0\right)$。面积为抛物线下方面积减去三角形面积：
$$S = \int_0^{x_0} x^2 dx - \frac{1}{2}\left(x_0 - \frac{x_0}{2}\right)x_0^2 = \frac{x_0^3}{3} - \frac{x_0^3}{4} = \frac{x_0^3}{12}$$
已知 $S = \frac{2}{3}$：
$$\frac{x_0^3}{12} = \frac{2}{3} \implies x_0^3 = 8 \implies x_0 = 2$$
切点 $M$ 的坐标为 (2, 4)。
切线斜率 $k = 2(2) = 4$。切线方程为：
$$y - 4 = 4(x - 2) \implies y = 4x - 4$$
绕 $x$ 轴旋转体体积为抛物线旋转体积减去圆锥体积：
$$V_x = \pi \int_0^2 (x^2)^2 dx - \frac{1}{3}\pi R^2 h = \pi \int_0^2 x^4 dx - \frac{1}{3}\pi (4)^2 (2 - 1) = \pi \cdot \frac{32}{5} - \frac{16\pi}{3} = \pi\left(\frac{96 - 80}{15}\right) = \frac{16}{15}\pi$$

第六章 定积分的应用 | YHK's life

习题6.2 定积分在几何学上应用

1. 求平面图形面积

2. 极坐标图形面积

3. 旋转体体积

4. 已知截面面积求立体体积

5. 平面曲线弧长

6. 极坐标曲线全长

习题6.3 定积分在物理学上的应用

1. 计算变力作功

2. 水压力计算

3. 阻力作功与钉入深度

第六章 自测题

1. 面积与绕 y 轴旋转体体积

2. 面积与绕 x 轴旋转体体积

3. 切线、面积与旋转体积综合题

第六章定积分的应用 | YHK's life

第六章自测题