第六章自测题

第六章自测题

【题目】

求直线 $y = 0$ 与曲线 $y = x^2$ 及它在(1, 1)点处的法线所围图形面积和该图形绕 $y$ 轴旋转所得旋转体体积.

【解析】

曲线 $y = x^2$ 在 $(1, 1)$ 点处切线斜率 $k = y'(1) = 2$，法线斜率 $k_N = -\frac{1}{2}$。法线方程为：$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$。法线与 $x$ 轴（$y = 0$）的交点：$0 = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \implies x = 3$。图形被分割为两部分：在 $[0, 1]$ 上上方为抛物线，在 $[1, 3]$ 上上方为法线。面积为：
$$A = \int_0^1 x^2 dx + \int_1^3 \left(-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\right)dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 + \left[-\frac{x^2}{4} + \frac{3}{2}x\right]_1^3 = \frac{1}{3} + \left[\left(-\frac{9}{4} + \frac{9}{2}\right) - \left(-\frac{1}{4} + \frac{3}{2}\right)\right] = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$$
绕 $y$ 轴旋转体积（柱壳法）：
$$V_y = 2\pi \int_0^1 x(x^2)dx + 2\pi \int_1^3 x\left(-\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}\right)dx$$

第一部分：$2\pi \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{\pi}{2}$；
第二部分：$2\pi \left[-\frac{x^3}{6} + \frac{3x^2}{4}\right]_1^3 = 2\pi \left[\left(-\frac{27}{6} + \frac{27}{4}\right) - \left(-\frac{1}{6} + \frac{3}{4}\right)\right] = 2\pi \left[\frac{9}{4} - \frac{7}{12}\right] = 2\pi \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3}\pi$。相加得： $$V_y = \frac{\pi}{2} + \frac{10\pi}{3} = \frac{23}{6}\pi$$

【题目】

求曲线 $y = e^{x}, y = e^{-x}$ 与直线 $x = 1$ 所围平面图形的的面积以及该图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积.

【解析】

求交点：$e^x = e^{-x} \implies x = 0, y = 1$。在 $[0, 1]$ 上 $e^x \geq e^{-x}$，面积为：
$$A = \int_0^1 (e^x - e^{-x})dx = \left[e^x + e^{-x}\right]_0^1 = \left(e + \frac{1}{e}\right) - 2 = e + \frac{1}{e} - 2$$
绕 $x$ 轴旋转体体积：
$$V_x = \pi \int_0^1 \left[(e^x)^2 - (e^{-x})^2\right]dx = \pi \int_0^1 (e^{2x} - e^{-2x})dx = \pi \left[\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2}\right]_0^1 = \frac{\pi}{2}\left(e^2 + \frac{1}{e^2} - 2\right)$$

【题目】

在曲线 $y = x^{2}\ (x \geq 0)$ 上一点 $M$ 处作切线，使得切线，曲线及 $x$ 轴所围成的面积为 $\frac{2}{3}$ ，求： 1）切点 $M$ 的坐标； 2）过切点 $M$ 的切线方程； 3）上述平面图形绕 $x$ 轴旋转一周得到的旋转体的体积.

【解析】

设切点坐标为 $M(x_0, x_0^2)\ (x_0 > 0)$。切线斜率 $k = y'(x_0) = 2x_0$。切线方程为：$y - x_0^2 = 2x_0(x - x_0) \implies y = 2x_0 x - x_0^2$。切线与 $x$ 轴交点为 $\left(\frac{x_0}{2}, 0\right)$。面积为抛物线下方面积减去三角形面积：
$$S = \int_0^{x_0} x^2 dx - \frac{1}{2}\left(x_0 - \frac{x_0}{2}\right)x_0^2 = \frac{x_0^3}{3} - \frac{x_0^3}{4} = \frac{x_0^3}{12}$$
已知 $S = \frac{2}{3}$：
$$\frac{x_0^3}{12} = \frac{2}{3} \implies x_0^3 = 8 \implies x_0 = 2$$
切点 $M$ 的坐标为 (2, 4)。
切线斜率 $k = 2(2) = 4$。切线方程为：
$$y - 4 = 4(x - 2) \implies y = 4x - 4$$
绕 $x$ 轴旋转体体积为抛物线旋转体积减去圆锥体积：
$$V_x = \pi \int_0^2 (x^2)^2 dx - \frac{1}{3}\pi R^2 h = \pi \int_0^2 x^4 dx - \frac{1}{3}\pi (4)^2 (2 - 1) = \pi \cdot \frac{32}{5} - \frac{16\pi}{3} = \pi\left(\frac{96 - 80}{15}\right) = \frac{16}{15}\pi$$

第六章 自测题