习题6.3 定积分在物理学上的应用
1. 计算变力作功
【题目】
1）设一根弹簧原长为 $10 \, cm$ ，若拉长到 $11 \, cm$ 需作功为 $60 \, J$ ，求把弹簧从原长拉伸到 $12 \, cm$ 需作多少功；
2）一圆柱形储水池高 4 米，底面圆的半径为 2 米，池内盛满了水，试求把池内的水吸出池外需作多少功.
【解析】
设伸长量为 $x\ (\mathrm{m})$，由胡克定律弹性力 $F(x) = kx$。 原长拉伸到 $11\,\mathrm{cm}$ 时伸长量 $x_1 = 0.01\,\mathrm{m}$：
$$W_1 = \int_0^{0.01} kx dx = \frac{1}{2}k(0.01)^2 = 60 \implies k = \frac{120}{10^{-4}} = 1.2 \times 10^6\,\mathrm{N/m}$$从原长拉伸到 $12\,\mathrm{cm}$ 时伸长量 $x_2 = 0.02\,\mathrm{m}$：
$$W_2 = \int_0^{0.02} kx dx = \frac{1}{2}k(0.02)^2 = \frac{1}{2}(1.2 \times 10^6)(4 \times 10^{-4}) = 240\,\mathrm{J}$$取垂直向下为 $x$ 轴正方向，水池顶面为 $x = 0$，底面为 $x = 4$。 在深度 $x$ 处厚度为 $dx$ 的薄水层的体积为 $dV = \pi R^2 dx = \pi (2)^2 dx = 4\pi dx\ (\mathrm{m^3})$。 该薄层重力为 $dG = \rho g dV = 1000g \cdot 4\pi dx = 4000\pi g dx\ (\mathrm{N})$。 将其抽至水池外提升高度为 $x$，所作微元功为：
$$dW = x \cdot dG = 4000\pi g x dx$$积分求总功：
$$W = \int_0^4 4000\pi g x dx = 4000\pi g \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4 = 32000\pi g\,\mathrm{J} = 32\pi g\,\mathrm{kJ}$$
2. 水压力计算
【题目】
一矩形闸门, 高为 2 米, 底边长为 4 米, 水面与闸门的上底边相齐, 计算闸门一侧所受的水压力.
【解析】
以水面为 $x = 0$，竖直向下为 $x$ 轴正方向。闸门深处在 $x \in [0, 2]$ 范围。 在深度 $x$ 处取微元宽度 $dx$，微元面积为 $dA = 4dx$。 在深度 $x$ 处的水压强为 $p = \rho g x$。 薄片所受压力微元为：
$$dF = p dA = \rho g x \cdot 4dx = 4\rho g x dx$$积分求总水压力：
$$F = \int_0^2 4\rho g x dx = 4\rho g \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^2 = 8\rho g = 8 \times 1000g\,\mathrm{N} = 8g\,\mathrm{kN}$$3. 阻力作功与钉入深度
【题目】
用锤子将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与击入木板的深度成正比，击打第一次，铁钉击入木板 1 厘米。若每次锤子击铁钉所作的功相同，再击第二次，铁钉又击入多少厘米？
【解析】
阻力大小为 $F(x) = kx$（$x$ 为击入深度，单位为 $\mathrm{cm}$）。 击打第一次所作的功为克服阻力所作的功：
$$W_1 = \int_0^1 kx dx = \frac{1}{2}k(1)^2 = \frac{1}{2}k$$设第二次击打后总击入深度为 $x_2\,\mathrm{cm}$。由于两次作功相同，前两次击打所作的总功为 $2W_1$：
$$W_{\text{总}} = \int_0^{x_2} kx dx = \frac{1}{2}k x_2^2 = 2W_1 = 2\left(\frac{1}{2}k\right) = k$$解得：
$$x_2^2 = 2 \implies x_2 = \sqrt{2}\,\mathrm{cm}$$因此第二次又击入的深度为：
$$\Delta x = x_2 - 1 = (\sqrt{2} - 1)\,\mathrm{cm}$$