习题6.2 定积分在几何学上应用
1. 求平面图形面积
【题目】
1） $y=\frac{1}{x}$ 与直线 y=x 及 x=2；
2）抛物线 $y = -x^{2} + 4x - 3$ 及其在点 $(0, -3)$ 处的切线与直线 x = 3.
【解析】
求交点：$\frac{1}{x} = x \implies x^2 = 1$。在第一象限交点为 $(1, 1)$。 积分区间为 $[1, 2]$，在区间上 $x \geq \frac{1}{x}$：
$$S = \int_1^2 \left(x - \frac{1}{x}\right)dx = \left[\frac{x^2}{2} - \ln x\right]_1^2 = \left(2 - \ln 2\right) - \left(\frac{1}{2} - 0\right) = \frac{3}{2} - \ln 2$$抛物线导数：$y' = -2x + 4$。在点 $(0, -3)$ 处切线斜率 $k = y'(0) = 4$。 切线方程为：$y - (-3) = 4(x - 0) \implies y = 4x - 3$。 在区间 $[0, 3]$ 上，切线位于抛物线上方：
$$S = \int_0^3 [(4x - 3) - (-x^2 + 4x - 3)]dx = \int_0^3 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9$$
2. 极坐标图形面积
【题目】
求圆 $\rho=3\cos\theta$ 与心形线 $\rho=1+\cos\theta$ 所围公共部分的面积.
【解析】
利用对称性，图形关于极轴对称。求交点角度：
$$3\cos\theta = 1 + \cos\theta \implies 2\cos\theta = 1 \implies \cos\theta = \frac{1}{2} \implies \theta = \pm\frac{\pi}{3}$$由极坐标图形轮廓：
- 当 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}$ 时，心形线在内侧，面积由心形线确定；
- 当 $\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 时，圆在内侧，面积由圆确定。 上半部分面积为： $$S_1 = \frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{3}}(1 + \cos\theta)^2 d\theta + \frac{1}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}(3\cos\theta)^2 d\theta$$
- 第一部分：$\frac{1}{2}\int_0^{\frac{\pi}{3}}(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta)d\theta = \frac{1}{2}\left[\theta + 2\sin\theta + \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{2}\left[\frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{3} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{8}\right] = \frac{\pi}{4} + \frac{9\sqrt{3}}{16}$；
- 第二部分：$\frac{9}{2}\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^2\theta d\theta = \frac{9}{4}\left[\theta + \frac{\sin 2\theta}{2}\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{9}{4}\left[\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right) + \left(0 - \frac{\sqrt{3}}{4}\right)\right] = \frac{3\pi}{8} - \frac{9\sqrt{3}}{16}$。 相加得上半部分面积：$S_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{8} = \frac{5\pi}{8}$。 总面积为： $$S = 2S_1 = \frac{5}{4}\pi$$
3. 旋转体体积
【题目】
1）由 $y = x^{2}, x = y^{2}$ 所围图形绕 x 轴旋转所得旋转体体积；
2）由 $y = x^{2}, x = 2, y = 0$ 所围图形，分别绕 $x$ 轴及 $y$ 轴旋转，计算所得旋转体体积.
【解析】
交点为 $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$。绕 $x$ 轴旋转，外半径 $y_1 = \sqrt{x}$，内半径 $y_2 = x^2$：
$$V = \pi \int_0^1 [(\sqrt{x})^2 - (x^2)^2]dx = \pi \int_0^1 (x - x^4)dx = \pi \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = \pi\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{5}\right) = \frac{3}{10}\pi$$
- 绕 $x$ 轴旋转： $$V_x = \pi \int_0^2 (x^2)^2 dx = \pi \int_0^2 x^4 dx = \pi \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^2 = \frac{32}{5}\pi$$ (注：参考答案记为 $\frac{32}{7}\pi$ 系排版笔误，标准积分为 $\frac{32}{5}\pi$)
- 绕 $y$ 轴旋转（柱壳法）： $$V_y = 2\pi \int_0^2 x \cdot x^2 dx = 2\pi \int_0^2 x^3 dx = 2\pi \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = 8\pi$$
4. 已知截面面积求立体体积
【题目】
计算底面是半径为 $R$ 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面积都是等边三角形的立体体积.
【解析】
以固定直径所在直线为 $x$ 轴，底面圆方程为 $x^2 + y^2 \leq R^2$。 在点 $x \in [-R, R]$ 处，垂直于 $x$ 轴的截线长度（等边三角形的底边长）为：
$$L(x) = 2\sqrt{R^2 - x^2}$$以 $L(x)$ 为边长的等边三角形面积为：
$$A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} [L(x)]^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4(R^2 - x^2) = \sqrt{3}(R^2 - x^2)$$沿 $x$ 轴积分求立体体积：
$$V = \int_{-R}^R A(x)dx = \sqrt{3}\int_{-R}^R (R^2 - x^2)dx = 2\sqrt{3}\left[R^2 x - \frac{x^3}{3}\right]_0^R = 2\sqrt{3}\left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) = \frac{4\sqrt{3}}{3}R^3$$5. 平面曲线弧长
【题目】
计算星形线 $x = \cos^3 t, y = \sin^3 t$ 对应于 $t = 0$ 到 $t = \frac{\pi}{2}$ 一段弧的弧长.
【解析】
求微商：
$$\frac{dx}{dt} = -3\cos^2 t\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = 3\sin^2 t\cos t$$弧微分：
$$\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{9\cos^4 t\sin^2 t + 9\sin^4 t\cos^2 t} = 3\sin t\cos t\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = 3\sin t\cos t$$积分计算弧长：
$$s = \int_0^{\frac{\pi}{2}}3\sin t\cos t dt = \frac{3}{2}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin 2t dt = \frac{3}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos 2t\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{3}{4}(1 - (-1)) = \frac{3}{2}$$6. 极坐标曲线全长
【题目】
求心形线 $\rho=1+\cos\theta$ 的全长.
【解析】
利用对称性，心形线关于极轴对称。求导数：$\rho' = -\sin\theta$。 极坐标弧微分公式：
$$ds = \sqrt{\rho^2 + (\rho')^2}d\theta = \sqrt{(1 + \cos\theta)^2 + (-\sin\theta)^2}d\theta = \sqrt{1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta}d\theta = \sqrt{2(1 + \cos\theta)}d\theta = 2\cos\frac{\theta}{2}d\theta$$全长为上半部分弧长的 2 倍：
$$s = 2\int_0^\pi 2\cos\frac{\theta}{2}d\theta = 4\left[2\sin\frac{\theta}{2}\right]_0^\pi = 8(1 - 0) = 8$$