习题5.4 反常积分
1. 指出下列运算是否正确
【题目】
若 $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$ ，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 0$ ；（ ）
$\because \int_{-1}^{1}\frac{1}{1 + x^2} dx = \int_{-1}^{1}\frac{d(\frac{1}{t})}{1 + (\frac{1}{t})^2} = \int_{-1}^{1}\frac{-dt}{1 + t^2} = -\int_{-1}^{1}\frac{dx}{1 + x^2},\therefore \int_{-1}^{1}\frac{dx}{1 + x^2} = 0;$ （ ）
积分 $\int_0^1\frac{1}{x^q} dx$ ，当 $0\leq q < 1$ 时收敛，当 $q\geq 1$ 时发散； （ ）
积分 $\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln^{a} x} dx$ ，当 $a > 1$ 时收敛，当 $a \leq 1$ 时发散. （ ）
【解析】
错误（×）。反常积分 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛要求 $\int_{-\infty}^0 f(x)dx$ 与 $\int_0^{+\infty}f(x)dx$ 分别收敛。对于 $f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，当 $x \to +\infty$ 时 $f(x) \to 1$，积分发散，故反常积分发散，不能简单由柯西主值得出等于 0。
错误（×）。换元 $x = \frac{1}{t}$ 在区间 $[-1, 1]$ 包含了无定义点 $t = 0$，破坏了定积分换元法中函数可导且单调光滑的条件。实际上原积分值为 $[\arctan x]_{-1}^1 = \frac{\pi}{2} \neq 0$。
正确（√）。对于瑕积分 $\int_0^1 \frac{1}{x^q}dx$（$x=0$ 为瑕点）：当 $q < 1$ 时收敛于 $\frac{1}{1 - q}$；当 $q \geq 1$ 时发散。
正确（√）。凑微分 $\int_2^{+\infty}\frac{d(\ln x)}{\ln^a x} = \int_{\ln 2}^{+\infty}\frac{du}{u^a}$：属于标准 $p$-积分形式，当且仅当 $a > 1$ 时收敛，$a \leq 1$ 时发散。
2. 反常积分审敛与计算
【题目】
$\int_{0}^{2}\frac{\ln x}{x}dx;$
$\int_0^1\frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx;$
$\int_0^{+\infty}\frac{x\cos x - \sin x}{x^2} dx;$
$\int_0^2\frac{1}{(1 - x)^2} dx;$
$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{x^2 + 4x + 5} dx.$
【解析】
$x = 0$ 为瑕点：
$$\int_\varepsilon^2 \frac{\ln x}{x}dx = \frac{1}{2}\left[\ln^2 x\right]_\varepsilon^2 = \frac{1}{2}(\ln^2 2 - \ln^2 \varepsilon)$$当 $\varepsilon \to 0^+$ 时，$\ln\varepsilon \to -\infty$，极限为无穷大。故该积分不收敛（发散）。
$x = 0$ 为瑕点。利用分部积分法：
$$\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}}dx = 2\int \ln x d(\sqrt{x}) = 2\sqrt{x}\ln x - 2\int \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x}dx = 2\sqrt{x}\ln x - 4\sqrt{x}$$计算瑕积分极限：
$$\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left[2\sqrt{x}\ln x - 4\sqrt{x}\right]_\varepsilon^1 = (0 - 4) - \lim_{\varepsilon\to 0^+}(2\sqrt{\varepsilon}\ln\varepsilon - 4\sqrt{\varepsilon}) = -4 - 0 = -4$$故积分收敛，积分值为 -4。
观察被积函数为微商公式：
$$\left(\frac{\sin x}{x}\right)' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$$因此：
$$\int_0^{+\infty}\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}dx = \left[\frac{\sin x}{x}\right]_0^{+\infty} = \lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x} - \lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x} = 0 - 1 = -1$$故积分收敛，积分值为 -1。
$x = 1 \in [0, 2]$ 为内瑕点： 必须分为 $\int_0^1 \frac{dx}{(1 - x)^2} + \int_1^2 \frac{dx}{(1 - x)^2}$。 对于前半段：$\lim_{b\to 1^-}\left[\frac{1}{1 - x}\right]_0^b = \lim_{b\to 1^-}\left(\frac{1}{1 - b} - 1\right) = +\infty$（发散）。 故原积分不收敛（发散）。
配方积分：$x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1$。
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(x + 2)^2 + 1} = [\arctan(x + 2)]_{-\infty}^{+\infty} = \frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi$$故积分收敛，积分值为 $\pi$。