第二章导数与微分 | YHK's life

习题2.1 导数的概念

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 填空题

【题目】

设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处可导，则 $\lim_{h\to0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{h}=$ ____；
设 $f'(x_{0}) = -1$ ，则 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{f(x_{0}) - f(x_{0} + x)} =$ ____ ;
曲线 $y = x - \frac{1}{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线方程为 ____，法线方程为 ____；
曲线 $y = x - \ln x$ 在点 ____ 处具有水平切线.

【解析】

拆项利用导数定义：
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0 - h)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{[f(x_0 + h) - f(x_0)] - [f(x_0 - h) - f(x_0)]}{h}$$

$$= \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} + \lim_{h\to 0}\frac{f(x_0 - h) - f(x_0)}{-h} = f'(x_0) + f'(x_0) = 2f'(x_0)$$
将式子变形为导数差商定义的倒数形式：
$$\lim_{x\to 0}\frac{x}{f(x_0) - f(x_0 + x)} = \lim_{x\to 0}\frac{-1}{\frac{f(x_0 + x) - f(x_0)}{x}} = \frac{-1}{f'(x_0)} = \frac{-1}{-1} = 1$$
当 $x = 1$ 时，$y = 1 - \frac{1}{1} = 0$，切点坐标为 $(1, 0)$。求导数：$y' = 1 + \frac{1}{x^2}$。在 $x = 1$ 处的切线斜率 $k = y'(1) = 1 + 1 = 2$。
- 切线方程：$y - 0 = 2(x - 1) \implies y = 2x - 2$；
- 法线斜率 $k_N = -\frac{1}{k} = -\frac{1}{2}$，法线方程：$y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 1) \implies y = -\frac{1}{2}(x - 1)$。
水平切线意味着导数等于 0：
$$y' = 1 - \frac{1}{x} = 0 \implies x = 1$$
当 $x = 1$ 时，$y = 1 - \ln 1 = 1$。故曲线在点 (1, 1) 处具有水平切线。

2. 函数在点处的导数讨论

【题目】

讨论 $y = |\sin x|$ 在 $x = 0$ 点的可导性.

【解析】

根据导数的单侧导数定义，考察在 $x = 0$ 处的左右导数：

右导数：当 $x \to 0^+$ 时，$\sin x > 0$，$|\sin x| = \sin x$， $$f'_+(0) = \lim_{x\to 0^+}\frac{|\sin x| - 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x} = 1$$
左导数：当 $x \to 0^-$ 时，$\sin x < 0$，$|\sin x| = -\sin x$， $$f'_-(0) = \lim_{x\to 0^-}\frac{|\sin x| - 0}{x - 0} = \lim_{x\to 0^-}\frac{-\sin x}{x} = -1$$

因为左导数与右导数不相等（$-1 \neq 1$），所以函数 $y = |\sin x|$ 在 $x = 0$ 处不可导。

3. 分段函数可导性与参数确定

【题目】

已知函数 $f(x) = \begin{cases} x, & x \leq 1 \\ ax^2 + b, & x > 1 \end{cases}$ 在 $x = 1$ 处可导，求 $a, b$ ，并求出 $f'(1)$ .

【解析】

函数在 $x = 1$ 处可导的前提是必须在 $x = 1$ 处连续：

连续性条件：
$$f(1) = 1,\quad \lim_{x\to 1^-} f(x) = 1,\quad \lim_{x\to 1^+} f(x) = a(1)^2 + b = a + b$$
由连续性得：$a + b = 1$。
可导性条件：
- 左导数： $$f'_-(1) = \lim_{x\to 1^-}\frac{x - 1}{x - 1} = 1$$
- 右导数： $$f'_+(1) = \lim_{x\to 1^+}\frac{(ax^2 + b) - 1}{x - 1}$$ 将 $b = 1 - a$ 代入分子：$(ax^2 + 1 - a) - 1 = a(x^2 - 1) = a(x - 1)(x + 1)$。 $$f'_+(1) = \lim_{x\to 1^+}\frac{a(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x\to 1^+} a(x + 1) = 2a$$ 由于在 $x = 1$ 处可导，必有 $f'_-(1) = f'_+(1)$： $$2a = 1 \implies a = \frac{1}{2}$$ 代入连续性方程得： $$b = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$

因此，$a = \frac{1}{2},\ b = \frac{1}{2},\ f'(1) = 1$。

4. 分段函数的导函数求解

【题目】

设函数 $f(x) = \begin{cases} \frac{2}{3} x^3, & x \leq 1 \\ x^2, & x > 1 \end{cases}$ ，求 $f'(x)$ .

【解析】

当 $x < 1$ 时：
$$f'(x) = \left(\frac{2}{3}x^3\right)' = 2x^2$$
当 $x > 1$ 时：
$$f'(x) = (x^2)' = 2x$$
考察分界点 $x = 1$ 处的连续性与可导性：
- 函数值：$f(1) = \frac{2}{3}(1)^3 = \frac{2}{3}$；
- 右极限：$\lim_{x\to 1^+} f(x) = \lim_{x\to 1^+} x^2 = 1$。因为 $\lim_{x\to 1^+} f(x) = 1 \neq f(1) = \frac{2}{3}$，所以函数在 $x = 1$ 处不连续。由于可导必连续，函数在 $x = 1$ 处不连续，故在 $x = 1$ 处导数不存在。

综上所述：

$$f'(x) = \begin{cases} 2x^2, & x < 1, \\ \text{不存在}, & x = 1, \\ 2x, & x > 1. \end{cases}$$

习题2.2 求导法则

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 填空题

【题目】

$y = \sqrt[3]{x} \sin x + a^{x} e^{x}$ ，则 $y' =$ ____ ;
$f(t)=\frac{\sin t}{1+\cos t}$ ，则 $f'(t)=$ ____；
$f(x)=\sqrt{\sin 2x}$ ，则 $f'(x)=$ ____；
若 $\frac{d}{dx}[f(x)]=g(x), h(x)=x^{2}$ ，则 $\frac{d}{dx}f[h(x)]=$ ____.

【解析】

利用乘法求导法则分别求导：
$$(\sqrt[3]{x}\sin x)' = (x^{\frac{1}{3}})'\sin x + x^{\frac{1}{3}}(\sin x)' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\sin x + \sqrt[3]{x}\cos x$$

$$(a^x e^x)' = (a^x)'e^x + a^x(e^x)' = a^x \ln a \cdot e^x + a^x e^x = a^x e^x(\ln a + 1)$$
相加得：
$$y' = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}\sin x + \sqrt[3]{x}\cos x + a^x e^x (\ln a + 1)$$
利用商的求导法则：
$$f'(t) = \frac{(\sin t)'(1 + \cos t) - \sin t(1 + \cos t)'}{(1 + \cos t)^2} = \frac{\cos t(1 + \cos t) - \sin t(-\sin t)}{(1 + \cos t)^2}$$

$$= \frac{\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t}{(1 + \cos t)^2} = \frac{1 + \cos t}{(1 + \cos t)^2} = \frac{1}{1 + \cos t}$$
利用复合函数求导法则：
$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\sin 2x}} \cdot (\sin 2x)' = \frac{1}{2\sqrt{\sin 2x}} \cdot 2\cos 2x = \frac{\cos 2x}{\sqrt{\sin 2x}}$$
利用复合函数求导法则：
$$\frac{d}{dx}f[h(x)] = f'[h(x)] \cdot h'(x) = f'(x^2) \cdot (2x)$$
已知 $f'(x) = g(x)$，故 $f'(x^2) = g(x^2)$。因此：
$$\frac{d}{dx}f[h(x)] = 2xg(x^2)$$

2. 求函数在给定点的导数

【题目】

1） $\rho = \theta \sin \theta +\frac{1}{2}\cos \theta$ ，求 $\frac{d\rho}{d\theta}\big|_{\theta = \frac{\pi}{4}};$

2） $f(x) = \arctan{\frac{1 + x}{1 - x}}$ ，求 $y^{\prime}|_{x = 0}.$

【解析】

求导数：
$$\frac{d\rho}{d\theta} = (\theta)'\sin\theta + \theta(\sin\theta)' - \frac{1}{2}\sin\theta = \sin\theta + \theta\cos\theta - \frac{1}{2}\sin\theta = \frac{1}{2}\sin\theta + \theta\cos\theta$$
代入 $\theta = \frac{\pi}{4}$：
$$\left.\frac{d\rho}{d\theta}\right|_{\theta = \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}}{4}\left(1 + \frac{\pi}{2}\right)$$
法一（化简后求导）：当 $x < 1$ 时，利用反三角函数恒等式 $\arctan\frac{1 + x}{1 - x} = \arctan 1 + \arctan x = \frac{\pi}{4} + \arctan x$。因此：
$$f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \implies f'(0) = 1$$
法二（直接复合求导）：
$$f'(x) = \frac{1}{1 + \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)^2} \cdot \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)' = \frac{(1 - x)^2}{(1 - x)^2 + (1 + x)^2} \cdot \frac{1(1 - x) - (1 + x)(-1)}{(1 - x)^2}$$

$$= \frac{2}{2(1 + x^2)} = \frac{1}{1 + x^2} \implies f'(0) = 1$$

3. 求下列函数的导数

【题目】

$y = \left(\arcsin \frac{x}{2}\right)^2;$
$y = \ln(\sec x + \tan x);$
$y = \cos x^{2} \sin^{2} \frac{1}{x};$
$y = \ln[\ln^{2}(\ln^{3}x)].$

【解析】

利用复合函数求导法则：
$$y' = 2\arcsin\frac{x}{2} \cdot \left(\arcsin\frac{x}{2}\right)' = 2\arcsin\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2\arcsin\frac{x}{2}}{\sqrt{4 - x^2}}$$
利用复合函数求导法则：
$$y' = \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot (\sec x + \tan x)' = \frac{\sec x\tan x + \sec^2 x}{\sec x + \tan x} = \frac{\sec x(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x} = \sec x$$
利用乘法求导法则与链式法则：
$$y' = (\cos x^2)' \sin^2\frac{1}{x} + \cos x^2 (\sin^2\frac{1}{x})'$$
- $(\cos x^2)' = -\sin x^2 \cdot 2x = -2x\sin x^2$；
- $(\sin^2\frac{1}{x})' = 2\sin\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{x^2}\sin\frac{2}{x}$。因此： $$y' = -2x\sin x^2\sin^2\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\sin\frac{2}{x}\cos x^2$$
先利用对数运算法则化简解析式：
$$y = \ln\left\{[\ln(\ln^3 x)]^2\right\} = 2\ln[\ln(\ln^3 x)]$$
再逐层应用复合求导法则：
$$y' = 2 \cdot \frac{1}{\ln(\ln^3 x)} \cdot [\ln(\ln^3 x)]' = 2 \cdot \frac{1}{\ln(\ln^3 x)} \cdot \frac{1}{\ln^3 x} \cdot (\ln^3 x)'$$
因为 $(\ln^3 x)' = 3\ln^2 x \cdot \frac{1}{x}$，代入得：
$$y' = \frac{2}{\ln(\ln^3 x)} \cdot \frac{1}{\ln^3 x} \cdot \frac{3\ln^2 x}{x} = \frac{6}{x\ln x\ln(\ln^3 x)}$$

4. 抽象复合函数的导数

【题目】

设 $f(u)$ 为可导函数，求下列函数的导数 $\frac{dy}{dx}$：

$y = f(\sin^2 x) + \sin f^2 (x);$
$y = f(e^{x}) e^{f(x)};$
$y = \sqrt{x} f\left(e^{\cos \sqrt{x}}\right).$

【解析】

分别对两项求导：
- 第一项：$[f(\sin^2 x)]' = f'(\sin^2 x) \cdot 2\sin x\cos x = \sin 2x f'(\sin^2 x)$；
- 第二项：$[\sin f^2(x)]' = \cos[f^2(x)] \cdot [f^2(x)]' = \cos[f^2(x)] \cdot 2f(x)f'(x) = 2f(x)f'(x)\cos f^2(x)$。因此： $$\frac{dy}{dx} = \sin 2x f'(\sin^2 x) + 2f(x)f'(x)\cos f^2(x)$$
利用乘法求导法则：
$$\frac{dy}{dx} = [f(e^x)]' e^{f(x)} + f(e^x) [e^{f(x)}]'$$

$$= f'(e^x)e^x \cdot e^{f(x)} + f(e^x) \cdot e^{f(x)}f'(x) = e^{f(x)}\left[e^x f'(e^x) + f'(x)f(e^x)\right]$$
利用乘法求导法则与链式法则：
$$\frac{dy}{dx} = (\sqrt{x})' f\left(e^{\cos\sqrt{x}}\right) + \sqrt{x} \left[f\left(e^{\cos\sqrt{x}}\right)\right]'$$

$$= \frac{1}{2\sqrt{x}} f\left(e^{\cos\sqrt{x}}\right) + \sqrt{x} f'\left(e^{\cos\sqrt{x}}\right) \cdot e^{\cos\sqrt{x}} \cdot (-\sin\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

$$= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{\sqrt{x}}f\left(e^{\cos\sqrt{x}}\right) - e^{\cos\sqrt{x}}\sin\sqrt{x}f'\left(e^{\cos\sqrt{x}}\right)\right]$$

5. 抽象函数的导数计算

【题目】

设函数 $\varphi(x)$ 在 x=a 处连续， $f(x)=(x-a)\varphi(x)$ ，求 $f'(a)$ .

【解析】

直接利用导数的定义计算：

$$f'(a) = \lim_{x\to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$

因为 $f(a) = (a - a)\varphi(a) = 0$，且 $f(x) = (x - a)\varphi(x)$，代入得：

$$f'(a) = \lim_{x\to a}\frac{(x - a)\varphi(x) - 0}{x - a} = \lim_{x\to a}\varphi(x)$$

又因为已知 $\varphi(x)$ 在 $x = a$ 处连续，所以 $\lim_{x\to a}\varphi(x) = \varphi(a)$。因此：

$$f'(a) = \varphi(a)$$

习题2.3 高阶导数

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 填空题

【题目】

设 $y = \cos x^2$ ，则 $\frac{d^2y}{dx^2} =$ ____；
设 $y = 2x^{2} + \ln x$ ，则 $y''|_{x=1} =$ ____ ;
设 $y = a^{kx}$ ，则 $y^{(n)} =$ ____ .

【解析】

一阶导数：$y' = -\sin x^2 \cdot (x^2)' = -2x\sin x^2$。二阶导数：

$$\frac{d^2y}{dx^2} = (-2x)'\sin x^2 + (-2x)(\sin x^2)' = -2\sin x^2 - 2x(\cos x^2 \cdot 2x) = -2\sin x^2 - 4x^2 \cos x^2$$

一阶导数：$y' = 4x + \frac{1}{x}$。二阶导数：$y'' = 4 - \frac{1}{x^2}$。将 $x = 1$ 代入：$y''|_{x=1} = 4 - \frac{1}{1^2} = 3$。

一阶导数：$y' = a^{kx} \cdot \ln a \cdot k = (k\ln a) a^{kx}$。二阶导数：$y'' = (k\ln a)^2 a^{kx}$。由数学归纳法可知，$n$ 阶导数为：

$$y^{(n)} = (k\ln a)^n a^{kx}$$

2. 求函数的一阶、二阶导数

【题目】

$y = e^{-\frac{1}{x}};$
$y = e^{x} \ln x + x \cos^{2} x;$
$y = x^{2}f\left(\frac{1}{x}\right),\ f(u)$ 二阶可导.

【解析】

一阶导数： $$y' = e^{-\frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x}\right)' = e^{-\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2} e^{-\frac{1}{x}}$$
二阶导数： $$y'' = \left(\frac{1}{x^2}\right)' e^{-\frac{1}{x}} + \frac{1}{x^2} \left(e^{-\frac{1}{x}}\right)' = -\frac{2}{x^3} e^{-\frac{1}{x}} + \frac{1}{x^2} \left(\frac{1}{x^2} e^{-\frac{1}{x}}\right)$$ $$= e^{-\frac{1}{x}}\left(\frac{1}{x^4} - \frac{2}{x^3}\right) = \frac{1}{x^4} e^{-\frac{1}{x}}(1 - 2x)$$

一阶导数： $$(e^x\ln x)' = e^x\ln x + \frac{1}{x}e^x$$ $$(x\cos^2 x)' = \cos^2 x + x \cdot 2\cos x(-\sin x) = \cos^2 x - x\sin 2x$$ 因此： $$y' = e^x\ln x + \frac{1}{x}e^x + \cos^2 x - x\sin 2x$$
二阶导数： $$(e^x\ln x + \frac{1}{x}e^x)' = \left(e^x\ln x + \frac{1}{x}e^x\right) + \left(\frac{1}{x}e^x - \frac{1}{x^2}e^x\right) = e^x\ln x + \frac{2}{x}e^x - \frac{1}{x^2}e^x$$ $$(\cos^2 x - x\sin 2x)' = -\sin 2x - (\sin 2x + 2x\cos 2x) = -2\sin 2x - 2x\cos 2x$$ 因此： $$y'' = e^x\ln x + \frac{2}{x}e^x - \frac{1}{x^2}e^x - 2\sin 2x - 2x\cos 2x$$

一阶导数： $$y' = (x^2)' f\left(\frac{1}{x}\right) + x^2 \left[f\left(\frac{1}{x}\right)\right]' = 2x f\left(\frac{1}{x}\right) + x^2 \left[f'\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)\right]$$ $$= 2x f\left(\frac{1}{x}\right) - f'\left(\frac{1}{x}\right)$$
二阶导数： $$y'' = [2x]' f\left(\frac{1}{x}\right) + 2x \left[f\left(\frac{1}{x}\right)\right]' - \left[f'\left(\frac{1}{x}\right)\right]'$$ $$= 2f\left(\frac{1}{x}\right) + 2x \left[f'\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)\right] - \left[f''\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)\right]$$ $$= 2f\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{2}{x}f'\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x^2}f''\left(\frac{1}{x}\right)$$

3. 求下列函数的 $n$ 阶导数

【题目】

$y = x \ln x\ (n \geq 2);$
$y = xe^{x}.$

【解析】

逐次求导寻找规律：
$$y' = \ln x + 1$$

$$y'' = \frac{1}{x} = x^{-1}$$

$$y''' = -x^{-2} = (-1)^1 \cdot 1! \cdot x^{-2}$$

$$y^{(4)} = 2x^{-3} = (-1)^2 \cdot 2! \cdot x^{-3}$$
一般地，当 $n \geq 2$ 时，利用对数导数公式或归纳法得：
$$y^{(n)} = (-1)^{n-2} (n - 2)! x^{-(n-1)} = \frac{(-1)^n (n - 2)!}{x^{n - 1}}$$
利用莱布尼茨公式 $(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}$：设 $u = x$，$v = e^x$。则 $u' = 1$，$u'' = 0$；$v^{(n)} = e^x$。代入得：
$$y^{(n)} = x(e^x)^{(n)} + n(x)' (e^x)^{(n-1)} = x e^x + n e^x = e^x(x + n)$$

4. 高阶导数莱布尼茨公式计算

【题目】

$y = x^{2} \sin 2x$ ，求 $y^{(50)}$ .

【解析】

利用莱布尼茨公式 $(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}$：设 $u = x^2$，$v = \sin 2x$。 $u' = 2x$，$u'' = 2$，$u^{(k)} = 0\ (k \geq 3)$。对于 $v = \sin 2x$，其 $k$ 阶导数公式为：

$$v^{(k)} = 2^k \sin\left(2x + k \cdot \frac{\pi}{2}\right)$$

在 $n = 50$ 阶展开式中，只有前三项非零：

$$y^{(50)} = C_{50}^0 u v^{(50)} + C_{50}^1 u' v^{(49)} + C_{50}^2 u'' v^{(48)}$$

分别计算各项：

$v^{(50)} = 2^{50} \sin\left(2x + 50 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 2^{50} \sin(2x + 25\pi) = -2^{50} \sin 2x$；
$v^{(49)} = 2^{49} \sin\left(2x + 49 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 2^{49} \sin\left(2x + 24\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 2^{49} \cos 2x$；
$v^{(48)} = 2^{48} \sin\left(2x + 48 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 2^{48} \sin(2x + 24\pi) = 2^{48} \sin 2x$；
组合数：$C_{50}^1 = 50$，$C_{50}^2 = \frac{50 \times 49}{2} = 1225$。

代入组合式整理：

$$y^{(50)} = x^2 (-2^{50} \sin 2x) + 50(2x)(2^{49} \cos 2x) + 1225(2)(2^{48} \sin 2x)$$

$$= -2^{50} x^2 \sin 2x + 50 \cdot 2^{50} x \cos 2x + 1225 \cdot 2^{49} \sin 2x$$

提出公因式 $2^{50}$：

$$y^{(50)} = 2^{50}\left(-x^2 \sin 2x + 50x \cos 2x + \frac{1225}{2}\sin 2x\right)$$

习题2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 填空题

【题目】

若 $y = x \ln y$ ，则 $\frac{dy}{dx} =$ ____ ;
若 $y = x^{\sin x}\ (x > 0)$ ，则 $\frac{dy}{dx} =$ ____ ;
若 $\begin{cases}x = \sin t\\ y = \cos 2t\end{cases}$ ，则 $\frac{dy}{dx}\bigg|_{t=\frac{\pi}{4}}=$ ____；
曲线 $\begin{cases}x = \frac{t^{2}}{2}\\ y = 1 - t\end{cases}$ 在点 $(2,-1)$ 处的切线方程为 ____.

【解析】

方程两边对 $x$ 求导：
$$y' = \ln y + x \cdot \frac{y'}{y} \implies y'\left(1 - \frac{x}{y}\right) = \ln y \implies y' \cdot \frac{y - x}{y} = \ln y$$
解得：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{y\ln y}{y - x}$$
两边取自然对数：$\ln y = \sin x \ln x$。两边对 $x$ 求导：
$$\frac{y'}{y} = \cos x \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$$
两边同乘 $y = x^{\sin x}$：
$$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$$
参数方程求导：
$$\frac{dx}{dt} = \cos t,\quad \frac{dy}{dt} = -2\sin 2t = -4\sin t\cos t$$

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{-4\sin t\cos t}{\cos t} = -4\sin t$$
代入 $t = \frac{\pi}{4}$：
$$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=\frac{\pi}{4}} = -4\sin\frac{\pi}{4} = -4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$$
确定切点对应的参数值 $t$：由 $x = \frac{t^2}{2} = 2$ 且 $y = 1 - t = -1$，解得 $t = 2$。求导数：
$$\frac{dx}{dt} = t,\quad \frac{dy}{dt} = -1 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{t}$$
在 $t = 2$ 处的切线斜率：$k = -\frac{1}{2}$。切线方程为：
$$y - (-1) = -\frac{1}{2}(x - 2) \implies y + 1 = -\frac{1}{2}x + 1 \implies y = -\frac{x}{2}$$

2. 求函数的一阶导数 $\frac{dy}{dx}$

【题目】

$y = \sqrt{x\sin\frac{x}{2}\sqrt{1 - e^{2x}}};$
$y = y(x)$ 由方程 $xy = e^{x + y}$ 确定.

【解析】

采用对数求导法。两边取绝对值的自然对数：
$$\ln y = \frac{1}{2}\left[\ln x + \ln\sin\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\ln(1 - e^{2x})\right]$$
两边对 $x$ 求导：
$$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{x} + \frac{1}{\sin\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{-2e^{2x}}{1 - e^{2x}}\right] = \frac{1}{4}\left(\frac{2}{x} + \cot\frac{x}{2} - \frac{2e^{2x}}{1 - e^{2x}}\right)$$
两边乘回 $y$：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}\sqrt{x\sin\frac{x}{2}\sqrt{1 - e^{2x}}}\left(\frac{2}{x} + \cot\frac{x}{2} - \frac{2e^{2x}}{1 - e^{2x}}\right)$$
方程 $xy = e^{x + y}$ 两边对 $x$ 求导：
$$y + xy' = e^{x + y}(1 + y')$$
移项整理：
$$y - e^{x + y} = y'(e^{x + y} - x) \implies \frac{dy}{dx} = \frac{e^{x + y} - y}{x - e^{x + y}}$$

3. 求一阶导数和二阶导数

【题目】

$y = 1 - xe^{-y};$
$\begin{cases} x = f'(t) \\ y = tf'(t) - f(t) \end{cases}$ ，其中 $f''(t)$ 存在且不为零；
$\begin{cases} x = a\cos t \\ y = b\sin t \end{cases}$ .

【解析】

一阶导数：两边对 $x$ 求导， $$y' = -e^{-y} - x(-e^{-y}y') = -e^{-y} + xe^{-y}y' \implies y'(1 - xe^{-y}) = -e^{-y}$$ 由原方程知 $1 - xe^{-y} = y$，代入得： $$y \cdot y' = -e^{-y} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{ye^y}$$
二阶导数：对 $y'$ 再次对 $x$ 求导， $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-\frac{e^{-y}}{y}\right) = -\frac{(-e^{-y}y')y - e^{-y}y'}{y^2} = \frac{y'e^{-y}(y + 1)}{y^2}$$ 将 $y' = -\frac{e^{-y}}{y}$ 代入： $$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{e^{-y}}{y} \cdot \frac{e^{-y}(1 + y)}{y^2} = -\frac{1 + y}{y^3 e^{2y}}$$

一阶导数： $$\frac{dx}{dt} = f''(t),\quad \frac{dy}{dt} = 1 \cdot f'(t) + tf''(t) - f'(t) = tf''(t)$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{tf''(t)}{f''(t)} = t$$
二阶导数： $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{(t)'_t}{f''(t)} = \frac{1}{f''(t)}$$

一阶导数： $$\frac{dx}{dt} = -a\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = b\cos t$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{b\cos t}{-a\sin t} = -\frac{b}{a}\cot t$$
二阶导数： $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(-\frac{b}{a}\cot t\right)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{b}{a}\csc^2 t}{-a\sin t} = -\frac{b}{a^2}\csc^3 t$$

4. 切线与法线方程

【题目】

求曲线 $\begin{cases} x = 2e^{t} \\ y = e^{-t} \end{cases}$ 在 t = 0 处的切线方程和法线方程.

【解析】

当 $t = 0$ 时，$x_0 = 2e^0 = 2$，$y_0 = e^0 = 1$。切点为 $(2, 1)$。
求导数与斜率： $$\frac{dx}{dt} = 2e^t,\quad \frac{dy}{dt} = -e^{-t} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-e^{-t}}{2e^t} = -\frac{1}{2}e^{-2t}$$ 在 $t = 0$ 处，切线斜率 $k = -\frac{1}{2}$。
切线方程： $$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 2) \implies y = -\frac{x}{2} + 2$$
法线斜率 $k_N = -\frac{1}{k} = 2$。法线方程： $$y - 1 = 2(x - 2) \implies y = 2x - 3$$

5. 平行法线与切点确定

【题目】

曲线 $\begin{cases} x = t^2 / 2 \\ y = 1 - t \end{cases}$ 上哪一点的法线与直线 $y = -2x + 1$ 平行？并求出曲线在该点的法线方程.

【解析】

求参数导数：
$$\frac{dx}{dt} = t,\quad \frac{dy}{dt} = -1 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{t}$$
曲线在对应参数 $t$ 处的法线斜率：
$$k_N = -\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = t$$
已知法线与直线 $y = -2x + 1$ 平行，其斜率相等，故：
$$t = -2$$
计算切点坐标：
$$x = \frac{(-2)^2}{2} = 2,\quad y = 1 - (-2) = 3$$
因此，该点坐标为 (2, 3)。
法线方程：
$$y - 3 = -2(x - 2) \implies y = -2x + 7$$

习题2.5 函数的微分

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 填空题

【题目】

若 $y = x^{3} - x, x = 2, \Delta x = 0.1$ ，则 dy = ____；
设函数 $y = f(x)$ 可导，且 $f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ ，则 $df\left(\frac{1}{x}\right) =$ ____；
若 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 的某一个邻域内有定义，且 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 3\Delta x + o(\Delta x)$ ，则 $f'(x_0) =$ ____.

【解析】

导数 $y' = 3x^2 - 1$。在 $x = 2$ 处，$y'(2) = 3(2)^2 - 1 = 11$。微分：$dy = y'(2)\Delta x = 11 \times 0.1 = 1.1$。
由微分形式不变性：
$$df\left(\frac{1}{x}\right) = f'\left(\frac{1}{x}\right) d\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 1} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) dx = \frac{x^2}{1 + x^2} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) dx = -\frac{dx}{1 + x^2}$$
根据函数可微与导数的关系，$\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$ 中的线性主部系数 $A$ 即为 $f'(x_0)$。故 $f'(x_0) = 3$。

2. 求下列函数的微分

【题目】

$y = x \sin 2x;$
$y = \arctan \frac{1 - x^2}{1 + x^2};$
$y = \tan^{2}(1 + 2x^{2}).$

【解析】

先求导数：
$$y' = \sin 2x + x \cdot 2\cos 2x = \sin 2x + 2x\cos 2x$$
微分为：
$$dy = (\sin 2x + 2x\cos 2x)dx$$
化简解析式：令 $u = x^2 \geq 0$，
$$y = \arctan\frac{1 - u}{1 + u} = \arctan 1 - \arctan u = \frac{\pi}{4} - \arctan(x^2)$$
求导数：
$$y' = -\frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot (x^2)' = -\frac{2x}{1 + x^4}$$
微分为：
$$dy = \frac{-2x}{1 + x^4}dx$$
复合求导：
$$y' = 2\tan(1 + 2x^2) \cdot \sec^2(1 + 2x^2) \cdot (1 + 2x^2)' = 2\tan(1 + 2x^2)\sec^2(1 + 2x^2) \cdot (4x)$$

$$= 8x\tan(1 + 2x^2)\sec^2(1 + 2x^2)$$
微分为：
$$dy = 8x\tan(1 + 2x^2)\sec^2(1 + 2x^2)dx$$

3. 微分凑微分填空

【题目】

将适当函数填入下列括号内，使等式成立：

$d(\quad) = \frac{1}{\sqrt{x}} dx;$

2） $d(\quad) = \sin 3xdx;$

$d(\quad) = \sec^2 2xdx;$
$d(\quad) = e^{-2x}dx;$
$d(\quad) = \frac{1}{1 - x} dx;$
$d\ln \tan \frac{x}{2} = (\quad)\mathrm{d}x.$

【解析】

$\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} + C$，故填：$2\sqrt{x} + C$。
$\int \sin 3x dx = -\frac{1}{3}\cos 3x + C$，故填：$-\frac{1}{3}\cos 3x + C$。
$\int \sec^2 2x dx = \frac{1}{2}\tan 2x + C$，故填：$\frac{1}{2}\tan 2x + C$。
$\int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C$，故填：$-\frac{1}{2}e^{-2x} + C$。
$\int \frac{1}{1 - x} dx = -\ln|1 - x| + C$，故填：$-\ln(1 - x) + C$。
求微商：
$$\left(\ln\tan\frac{x}{2}\right)' = \frac{1}{\tan\frac{x}{2}} \cdot \sec^2\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}} = \frac{1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = \frac{1}{\sin x} = \csc x$$
故括号内填：$\csc x$。

第二章自测题

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

1. 计算下列各题

【题目】

$y=e^{\tan\frac{1}{x}}\sin\frac{1}{x}$ ，求 $y'$ ;
$y=\frac{1}{4}\ln\frac{1+x}{1-x}-\frac{1}{2}\arctan x$ ，求 $y', y''$ ;
$y = x^{\sin x} + f(\sin^{2} x)$ ，其中 f 可微，求 dy；
$\arcsin x \cdot \ln y - e^{2x} + \tan y = 0\ (0 < y < \frac{\pi}{2})$ ，求 $\left. \frac{dy}{dx} \right|_{x=0}$ ;
$\ln \sqrt{x^2 + y^2} = \arctan \frac{y}{x}$ 确定了函数 $y = y(x)$ ，求 $y', y''$ ；
设函数 $y = y(x)$ 由参数方程 $\begin{cases} x = \ln \sqrt{1 + t^2} \\ y = \arctan t \end{cases}$ 确定，求 $\frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}$ .

【解析】

利用乘法求导法则：
$$y' = \left(e^{\tan\frac{1}{x}}\right)' \sin\frac{1}{x} + e^{\tan\frac{1}{x}} \left(\sin\frac{1}{x}\right)'$$

$$= e^{\tan\frac{1}{x}} \cdot \sec^2\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) \sin\frac{1}{x} + e^{\tan\frac{1}{x}} \cdot \cos\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)$$

$$= -\frac{1}{x^2} e^{\tan\frac{1}{x}}\left(\sin\frac{1}{x}\sec^2\frac{1}{x} + \cos\frac{1}{x}\right)$$
化简后求导：$y = \frac{1}{4}[\ln(1 + x) - \ln(1 - x)] - \frac{1}{2}\arctan x$。
- 一阶导数： $$y' = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 - x}\right) - \frac{1}{2(1 + x^2)} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1 - x^2} - \frac{1}{2(1 + x^2)} = \frac{1}{2(1 - x^2)} - \frac{1}{2(1 + x^2)}$$ $$= \frac{(1 + x^2) - (1 - x^2)}{2(1 - x^4)} = \frac{x^2}{1 - x^4}$$
- 二阶导数： $$y'' = \frac{(x^2)'(1 - x^4) - x^2(1 - x^4)'}{(1 - x^4)^2} = \frac{2x(1 - x^4) - x^2(-4x^3)}{(1 - x^4)^2} = \frac{2x - 2x^5 + 4x^5}{(1 - x^4)^2} = \frac{2x(1 + x^4)}{(1 - x^4)^2}$$
分别求各项微分：
- 第一项 $u = x^{\sin x} \implies \ln u = \sin x\ln x \implies du = x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right)dx$；
- 第二项 $v = f(\sin^2 x) \implies dv = f'(\sin^2 x) \cdot 2\sin x\cos x dx = \sin 2x f'(\sin^2 x) dx$。因此： $$dy = \left[x^{\sin x}\left(\cos x\ln x + \frac{\sin x}{x}\right) + \sin 2x f'(\sin^2 x)\right]dx$$

当 $x = 0$ 时，$\arcsin 0 \cdot \ln y - e^0 + \tan y = 0 \implies -1 + \tan y = 0$。因为 $0 < y < \frac{\pi}{2}$，得 $y = \frac{\pi}{4}$。
方程两边对 $x$ 求导： $$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\ln y + \arcsin x \cdot \frac{y'}{y} - 2e^{2x} + \sec^2 y \cdot y' = 0$$ 代入 $x = 0, y = \frac{\pi}{4}$： $$1 \cdot \ln\frac{\pi}{4} + 0 - 2 + \sec^2\frac{\pi}{4} \cdot y' = 0$$ 因为 $\sec\frac{\pi}{4} = \sqrt{2} \implies \sec^2\frac{\pi}{4} = 2$， $$\ln\frac{\pi}{4} - 2 + 2y' = 0 \implies 2y' = 2 - \ln\frac{\pi}{4} = 2 - \ln\pi + \ln 4 = 2 + 2\ln 2 - \ln\pi$$ $$y' = 1 + \ln 2 - \frac{1}{2}\ln\pi$$

方程两边对 $x$ 隐函数求导：
$$\frac{1}{2}\ln(x^2 + y^2) = \arctan\frac{y}{x}$$

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{2x + 2yy'}{x^2 + y^2} = \frac{1}{1 + \left(\frac{y}{x}\right)^2} \cdot \frac{y'x - y}{x^2} \implies \frac{x + yy'}{x^2 + y^2} = \frac{xy' - y}{x^2 + y^2}$$
两边消去公分母 $x^2 + y^2$：
$$x + yy' = xy' - y \implies y'(x - y) = x + y \implies y' = \frac{x + y}{x - y}$$
求二阶导数：
$$y'' = \frac{(x + y)'(x - y) - (x + y)(x - y)'}{(x - y)^2} = \frac{(1 + y')(x - y) - (x + y)(1 - y')}{(x - y)^2} = \frac{2(xy' - y)}{(x - y)^2}$$
代入 $y' = \frac{x + y}{x - y}$：
$$xy' - y = x\left(\frac{x + y}{x - y}\right) - y = \frac{x^2 + xy - xy + y^2}{x - y} = \frac{x^2 + y^2}{x - y}$$
代入得：
$$y'' = \frac{2(x^2 + y^2)}{(x - y)^3}$$
参数方程求导：
$$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2t}{1 + t^2} = \frac{t}{1 + t^2},\quad \frac{dy}{dt} = \frac{1}{1 + t^2}$$
- 一阶导数： $$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{1 + t^2}}{\frac{t}{1 + t^2}} = \frac{1}{t}$$
- 二阶导数： $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t}\right)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{-\frac{1}{t^2}}{\frac{t}{1 + t^2}} = -\frac{1 + t^2}{t^3}$$

2. 分段函数导数

【题目】

$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{1 - e^{\frac{1}{x}}}, & x\neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ ，求 $f'(x)$ .

【解析】

当 $x \neq 0$ 时，直接利用商的求导法则：
$$f'(x) = \frac{1 \cdot (1 - e^{\frac{1}{x}}) - x \cdot \left[-e^{\frac{1}{x}} \left(-\frac{1}{x^2}\right)\right]}{\left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)^2} = \frac{1 - e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x}e^{\frac{1}{x}}}{\left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)^2}$$
当 $x = 0$ 时，利用导数定义考察左右导数：
- 右导数： $$f'_+(0) = \lim_{x\to 0^+}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x\to 0^+}\frac{\frac{x}{1 - e^{\frac{1}{x}}}}{x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{1 - e^{\frac{1}{x}}}$$ 当 $x \to 0^+$ 时，$\frac{1}{x} \to +\infty \implies e^{\frac{1}{x}} \to +\infty$，所以 $f'_+(0) = 0$。
- 左导数： $$f'_-(0) = \lim_{x\to 0^-}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{1 - e^{\frac{1}{x}}}$$ 当 $x \to 0^-$ 时，$\frac{1}{x} \to -\infty \implies e^{\frac{1}{x}} \to 0$，所以 $f'_-(0) = \frac{1}{1 - 0} = 1$。因为左右导数不相等（$0 \neq 1$），故在 $x = 0$ 处导数不存在。

综合可得：

$$f'(x) = \begin{cases} \frac{1 - e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x}e^{\frac{1}{x}}}{\left(1 - e^{\frac{1}{x}}\right)^2}, & x\neq 0, \\ \text{不存在}, & x = 0. \end{cases}$$

3. 利用导数定义求导

【题目】

设函数 $f(x) = \begin{cases} g(x)\cos \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ , $g(0) = g'(0) = 0$ ，求 $f'(0)$ .

【解析】

按导数定义计算：

$$f'(0) = \lim_{x\to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x\to 0}\frac{g(x)\cos\frac{1}{x} - 0}{x} = \lim_{x\to 0}\left(\frac{g(x)}{x} \cdot \cos\frac{1}{x}\right)$$

因为 $g(0) = 0$，所以：

$$\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = g'(0) = 0$$

即 $\frac{g(x)}{x}$ 是当 $x \to 0$ 时的无穷小量。又因为 $\cos\frac{1}{x}$ 是有界量（$\left|\cos\frac{1}{x}\right| \leq 1$），由“无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量”得：

$$f'(0) = 0$$

4. 导数定义与对称增量

【题目】

设函数 $f(x) = \varphi (a + bx) - \varphi (a - bx)$ ，其中 $\varphi (x)$ 在 $x = a$ 处可导，求 $f'(0)$ .

【解析】

直接利用导数定义计算：

$$f'(0) = \lim_{x\to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$$

因为 $f(0) = \varphi(a) - \varphi(a) = 0$，所以：

$$f'(0) = \lim_{x\to 0}\frac{\varphi(a + bx) - \varphi(a - bx)}{x}$$

拆项整理：

$$f'(0) = \lim_{x\to 0}\left[b \cdot \frac{\varphi(a + bx) - \varphi(a)}{bx} + b \cdot \frac{\varphi(a - bx) - \varphi(a)}{-bx}\right]$$

因为 $\varphi(x)$ 在 $x = a$ 处可导，所以当 $x \to 0$ 时，$\frac{\varphi(a + bx) - \varphi(a)}{bx} \to \varphi'(a)$，且 $\frac{\varphi(a - bx) - \varphi(a)}{-bx} \to \varphi'(a)$。因此：

$$f'(0) = b\varphi'(a) + b\varphi'(a) = 2b\varphi'(a)$$

5. 分式函数的 $n$ 阶导数

【题目】

已知函数 $y = \frac{1}{x^2 - 3x + 2}$ ，求 $y^{(n)}$ .

【解析】

将分母因式分解并化为部分分式：

$$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$$

$$\frac{1}{x^2 - 3x + 2} = \frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x - 1} = (x - 2)^{-1} - (x - 1)^{-1}$$

利用函数 $(x + c)^{-1}$ 的 $n$ 阶导数公式：

$$\left[(x + c)^{-1}\right]^{(n)} = (-1)^n n! (x + c)^{-(n + 1)}$$

分别求导得：

$$\left[(x - 2)^{-1}\right]^{(n)} = (-1)^n n! (x - 2)^{-(n + 1)}$$

$$\left[(x - 1)^{-1}\right]^{(n)} = (-1)^n n! (x - 1)^{-(n + 1)}$$

因此：

$$y^{(n)} = (-1)^n n!\left[(x - 2)^{-n - 1} - (x - 1)^{-n - 1}\right]$$

第二章 导数与微分 | YHK's life

习题2.1 导数的概念

1. 填空题

2. 函数在点处的导数讨论

3. 分段函数可导性与参数确定

4. 分段函数的导函数求解

习题2.2 求导法则

1. 填空题

2. 求函数在给定点的导数

3. 求下列函数的导数

4. 抽象复合函数的导数

5. 抽象函数的导数计算

习题2.3 高阶导数

1. 填空题

2. 求函数的一阶、二阶导数

3. 求下列函数的 $n$ 阶导数

4. 高阶导数莱布尼茨公式计算

习题2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

1. 填空题

2. 求函数的一阶导数 $\frac{dy}{dx}$

3. 求一阶导数和二阶导数

4. 切线与法线方程

5. 平行法线与切点确定

习题2.5 函数的微分

1. 填空题

2. 求下列函数的微分

3. 微分凑微分填空

第二章 自测题

1. 计算下列各题

2. 分段函数导数

3. 利用导数定义求导

4. 导数定义与对称增量

5. 分式函数的 $n$ 阶导数

第二章导数与微分 | YHK's life

第二章自测题