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Advanced Mathematics
习题册
第二章 导数与微分
习题2.5 函数的微分

习题2.5 函数的微分

1. 填空题

【题目】

  1. 若 $y = x^{3} - x, x = 2, \Delta x = 0.1$ ，则 dy = ____；

  2. 设函数 $y = f(x)$ 可导，且 $f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$ ，则 $df\left(\frac{1}{x}\right) =$ ____；

  3. 若 $y = f(x)$ 在 $x_0$ 的某一个邻域内有定义，且 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 3\Delta x + o(\Delta x)$ ，则 $f'(x_0) =$ ____.

【解析】

  1. 导数 $y' = 3x^2 - 1$。 在 $x = 2$ 处，$y'(2) = 3(2)^2 - 1 = 11$。 微分：$dy = y'(2)\Delta x = 11 \times 0.1 = 1.1$。

  2. 由微分形式不变性：

    $$df\left(\frac{1}{x}\right) = f'\left(\frac{1}{x}\right) d\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 1} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) dx = \frac{x^2}{1 + x^2} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) dx = -\frac{dx}{1 + x^2}$$

  3. 根据函数可微与导数的关系，$\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x)$ 中的线性主部系数 $A$ 即为 $f'(x_0)$。 故 $f'(x_0) = 3$。

2. 求下列函数的微分

【题目】

  1. $y = x \sin 2x;$

  2. $y = \arctan \frac{1 - x^2}{1 + x^2};$

  3. $y = \tan^{2}(1 + 2x^{2}).$

【解析】

  1. 先求导数：

    $$y' = \sin 2x + x \cdot 2\cos 2x = \sin 2x + 2x\cos 2x$$

    微分为：

    $$dy = (\sin 2x + 2x\cos 2x)dx$$

  2. 化简解析式：令 $u = x^2 \geq 0$，

    $$y = \arctan\frac{1 - u}{1 + u} = \arctan 1 - \arctan u = \frac{\pi}{4} - \arctan(x^2)$$

    求导数：

    $$y' = -\frac{1}{1 + (x^2)^2} \cdot (x^2)' = -\frac{2x}{1 + x^4}$$

    微分为：

    $$dy = \frac{-2x}{1 + x^4}dx$$

  3. 复合求导：

    $$y' = 2\tan(1 + 2x^2) \cdot \sec^2(1 + 2x^2) \cdot (1 + 2x^2)' = 2\tan(1 + 2x^2)\sec^2(1 + 2x^2) \cdot (4x)$$

    $$= 8x\tan(1 + 2x^2)\sec^2(1 + 2x^2)$$

    微分为：

    $$dy = 8x\tan(1 + 2x^2)\sec^2(1 + 2x^2)dx$$

3. 微分凑微分填空

【题目】

将适当函数填入下列括号内，使等式成立：

  1. $d(\quad) = \frac{1}{\sqrt{x}} dx;$

2） $d(\quad) = \sin 3xdx;$

  1. $d(\quad) = \sec^2 2xdx;$

  2. $d(\quad) = e^{-2x}dx;$

  3. $d(\quad) = \frac{1}{1 - x} dx;$

  4. $d\ln \tan \frac{x}{2} = (\quad)\mathrm{d}x.$

【解析】

  1. $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x} + C$，故填：$2\sqrt{x} + C$。

  2. $\int \sin 3x dx = -\frac{1}{3}\cos 3x + C$，故填：$-\frac{1}{3}\cos 3x + C$。

  3. $\int \sec^2 2x dx = \frac{1}{2}\tan 2x + C$，故填：$\frac{1}{2}\tan 2x + C$。

  4. $\int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}e^{-2x} + C$，故填：$-\frac{1}{2}e^{-2x} + C$。

  5. $\int \frac{1}{1 - x} dx = -\ln|1 - x| + C$，故填：$-\ln(1 - x) + C$。

  6. 求微商：

    $$\left(\ln\tan\frac{x}{2}\right)' = \frac{1}{\tan\frac{x}{2}} \cdot \sec^2\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\cos\frac{x}{2}}{2\sin\frac{x}{2}\cos^2\frac{x}{2}} = \frac{1}{2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}} = \frac{1}{\sin x} = \csc x$$

    故括号内填：$\csc x$。

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