习题2.3 高阶导数
1. 填空题
【题目】
设 $y = \cos x^2$ ，则 $\frac{d^2y}{dx^2} =$ ____；
设 $y = 2x^{2} + \ln x$ ，则 $y''|_{x=1} =$ ____ ;
设 $y = a^{kx}$ ，则 $y^{(n)} =$ ____ .
【解析】
一阶导数：$y' = -\sin x^2 \cdot (x^2)' = -2x\sin x^2$。 二阶导数：
$$\frac{d^2y}{dx^2} = (-2x)'\sin x^2 + (-2x)(\sin x^2)' = -2\sin x^2 - 2x(\cos x^2 \cdot 2x) = -2\sin x^2 - 4x^2 \cos x^2$$一阶导数：$y' = 4x + \frac{1}{x}$。 二阶导数：$y'' = 4 - \frac{1}{x^2}$。 将 $x = 1$ 代入：$y''|_{x=1} = 4 - \frac{1}{1^2} = 3$。
一阶导数：$y' = a^{kx} \cdot \ln a \cdot k = (k\ln a) a^{kx}$。 二阶导数：$y'' = (k\ln a)^2 a^{kx}$。 由数学归纳法可知，$n$ 阶导数为：
$$y^{(n)} = (k\ln a)^n a^{kx}$$2. 求函数的一阶、二阶导数
【题目】
$y = e^{-\frac{1}{x}};$
$y = e^{x} \ln x + x \cos^{2} x;$
$y = x^{2}f\left(\frac{1}{x}\right),\ f(u)$ 二阶可导.
【解析】
- 一阶导数： $$y' = e^{-\frac{1}{x}} \cdot \left(-\frac{1}{x}\right)' = e^{-\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{1}{x^2} e^{-\frac{1}{x}}$$
- 二阶导数： $$y'' = \left(\frac{1}{x^2}\right)' e^{-\frac{1}{x}} + \frac{1}{x^2} \left(e^{-\frac{1}{x}}\right)' = -\frac{2}{x^3} e^{-\frac{1}{x}} + \frac{1}{x^2} \left(\frac{1}{x^2} e^{-\frac{1}{x}}\right)$$ $$= e^{-\frac{1}{x}}\left(\frac{1}{x^4} - \frac{2}{x^3}\right) = \frac{1}{x^4} e^{-\frac{1}{x}}(1 - 2x)$$
- 一阶导数： $$(e^x\ln x)' = e^x\ln x + \frac{1}{x}e^x$$ $$(x\cos^2 x)' = \cos^2 x + x \cdot 2\cos x(-\sin x) = \cos^2 x - x\sin 2x$$ 因此： $$y' = e^x\ln x + \frac{1}{x}e^x + \cos^2 x - x\sin 2x$$
- 二阶导数： $$(e^x\ln x + \frac{1}{x}e^x)' = \left(e^x\ln x + \frac{1}{x}e^x\right) + \left(\frac{1}{x}e^x - \frac{1}{x^2}e^x\right) = e^x\ln x + \frac{2}{x}e^x - \frac{1}{x^2}e^x$$ $$(\cos^2 x - x\sin 2x)' = -\sin 2x - (\sin 2x + 2x\cos 2x) = -2\sin 2x - 2x\cos 2x$$ 因此： $$y'' = e^x\ln x + \frac{2}{x}e^x - \frac{1}{x^2}e^x - 2\sin 2x - 2x\cos 2x$$
- 一阶导数： $$y' = (x^2)' f\left(\frac{1}{x}\right) + x^2 \left[f\left(\frac{1}{x}\right)\right]' = 2x f\left(\frac{1}{x}\right) + x^2 \left[f'\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)\right]$$ $$= 2x f\left(\frac{1}{x}\right) - f'\left(\frac{1}{x}\right)$$
- 二阶导数： $$y'' = [2x]' f\left(\frac{1}{x}\right) + 2x \left[f\left(\frac{1}{x}\right)\right]' - \left[f'\left(\frac{1}{x}\right)\right]'$$ $$= 2f\left(\frac{1}{x}\right) + 2x \left[f'\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)\right] - \left[f''\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)\right]$$ $$= 2f\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{2}{x}f'\left(\frac{1}{x}\right) + \frac{1}{x^2}f''\left(\frac{1}{x}\right)$$
3. 求下列函数的 $n$ 阶导数
【题目】
$y = x \ln x\ (n \geq 2);$
$y = xe^{x}.$
【解析】
逐次求导寻找规律：
$$y' = \ln x + 1$$$$y'' = \frac{1}{x} = x^{-1}$$$$y''' = -x^{-2} = (-1)^1 \cdot 1! \cdot x^{-2}$$$$y^{(4)} = 2x^{-3} = (-1)^2 \cdot 2! \cdot x^{-3}$$一般地，当 $n \geq 2$ 时，利用对数导数公式或归纳法得：
$$y^{(n)} = (-1)^{n-2} (n - 2)! x^{-(n-1)} = \frac{(-1)^n (n - 2)!}{x^{n - 1}}$$利用莱布尼茨公式 $(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}$： 设 $u = x$，$v = e^x$。则 $u' = 1$，$u'' = 0$；$v^{(n)} = e^x$。 代入得：
$$y^{(n)} = x(e^x)^{(n)} + n(x)' (e^x)^{(n-1)} = x e^x + n e^x = e^x(x + n)$$
4. 高阶导数莱布尼茨公式计算
【题目】
$y = x^{2} \sin 2x$ ，求 $y^{(50)}$ .
【解析】
利用莱布尼茨公式 $(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}$： 设 $u = x^2$，$v = \sin 2x$。 $u' = 2x$，$u'' = 2$，$u^{(k)} = 0\ (k \geq 3)$。 对于 $v = \sin 2x$，其 $k$ 阶导数公式为：
$$v^{(k)} = 2^k \sin\left(2x + k \cdot \frac{\pi}{2}\right)$$在 $n = 50$ 阶展开式中，只有前三项非零：
$$y^{(50)} = C_{50}^0 u v^{(50)} + C_{50}^1 u' v^{(49)} + C_{50}^2 u'' v^{(48)}$$分别计算各项：
- $v^{(50)} = 2^{50} \sin\left(2x + 50 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 2^{50} \sin(2x + 25\pi) = -2^{50} \sin 2x$；
- $v^{(49)} = 2^{49} \sin\left(2x + 49 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 2^{49} \sin\left(2x + 24\pi + \frac{\pi}{2}\right) = 2^{49} \cos 2x$；
- $v^{(48)} = 2^{48} \sin\left(2x + 48 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 2^{48} \sin(2x + 24\pi) = 2^{48} \sin 2x$；
- 组合数：$C_{50}^1 = 50$，$C_{50}^2 = \frac{50 \times 49}{2} = 1225$。
代入组合式整理：
$$y^{(50)} = x^2 (-2^{50} \sin 2x) + 50(2x)(2^{49} \cos 2x) + 1225(2)(2^{48} \sin 2x)$$$$= -2^{50} x^2 \sin 2x + 50 \cdot 2^{50} x \cos 2x + 1225 \cdot 2^{49} \sin 2x$$提出公因式 $2^{50}$：
$$y^{(50)} = 2^{50}\left(-x^2 \sin 2x + 50x \cos 2x + \frac{1225}{2}\sin 2x\right)$$