习题2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数

1. 填空题

【题目】

1. 若 $y = x \ln y$ ，则 $\frac{dy}{dx} =$ ____ ;

2. 若 $y = x^{\sin x}\ (x > 0)$ ，则 $\frac{dy}{dx} =$ ____ ;

3. 若 $\begin{cases}x = \sin t\\ y = \cos 2t\end{cases}$ ，则 $\frac{dy}{dx}\bigg|_{t=\frac{\pi}{4}}=$ ____；

4. 曲线 $\begin{cases}x = \frac{t^{2}}{2}\\ y = 1 - t\end{cases}$ 在点 $(2,-1)$ 处的切线方程为 ____.

【解析】

1. 方程两边对 $x$ 求导：

   $$y' = \ln y + x \cdot \frac{y'}{y} \implies y'\left(1 - \frac{x}{y}\right) = \ln y \implies y' \cdot \frac{y - x}{y} = \ln y$$

   解得：

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{y\ln y}{y - x}$$

2. 两边取自然对数：$\ln y = \sin x \ln x$。两边对 $x$ 求导：

   $$\frac{y'}{y} = \cos x \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$$

   两边同乘 $y = x^{\sin x}$：

   $$\frac{dy}{dx} = x^{\sin x}\left(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}\right)$$

3. 参数方程求导：

   $$\frac{dx}{dt} = \cos t,\quad \frac{dy}{dt} = -2\sin 2t = -4\sin t\cos t$$
   $$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{-4\sin t\cos t}{\cos t} = -4\sin t$$

   代入 $t = \frac{\pi}{4}$：

   $$\left.\frac{dy}{dx}\right|_{t=\frac{\pi}{4}} = -4\sin\frac{\pi}{4} = -4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -2\sqrt{2}$$

4. 确定切点对应的参数值 $t$： 由 $x = \frac{t^2}{2} = 2$ 且 $y = 1 - t = -1$，解得 $t = 2$。 求导数：

   $$\frac{dx}{dt} = t,\quad \frac{dy}{dt} = -1 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{t}$$

   在 $t = 2$ 处的切线斜率：$k = -\frac{1}{2}$。 切线方程为：

   $$y - (-1) = -\frac{1}{2}(x - 2) \implies y + 1 = -\frac{1}{2}x + 1 \implies y = -\frac{x}{2}$$

2. 求函数的一阶导数 $\frac{dy}{dx}$

【题目】

1. $y = \sqrt{x\sin\frac{x}{2}\sqrt{1 - e^{2x}}};$

2. $y = y(x)$ 由方程 $xy = e^{x + y}$ 确定.

【解析】

1. 采用对数求导法。两边取绝对值的自然对数：

   $$\ln y = \frac{1}{2}\left[\ln x + \ln\sin\frac{x}{2} + \frac{1}{2}\ln(1 - e^{2x})\right]$$

   两边对 $x$ 求导：

   $$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{x} + \frac{1}{\sin\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{-2e^{2x}}{1 - e^{2x}}\right] = \frac{1}{4}\left(\frac{2}{x} + \cot\frac{x}{2} - \frac{2e^{2x}}{1 - e^{2x}}\right)$$

   两边乘回 $y$：

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{4}\sqrt{x\sin\frac{x}{2}\sqrt{1 - e^{2x}}}\left(\frac{2}{x} + \cot\frac{x}{2} - \frac{2e^{2x}}{1 - e^{2x}}\right)$$

2. 方程 $xy = e^{x + y}$ 两边对 $x$ 求导：

   $$y + xy' = e^{x + y}(1 + y')$$

   移项整理：

   $$y - e^{x + y} = y'(e^{x + y} - x) \implies \frac{dy}{dx} = \frac{e^{x + y} - y}{x - e^{x + y}}$$

3. 求一阶导数和二阶导数

【题目】

1. $y = 1 - xe^{-y};$

2. $\begin{cases} x = f'(t) \\ y = tf'(t) - f(t) \end{cases}$ ，其中 $f''(t)$ 存在且不为零；

3. $\begin{cases} x = a\cos t \\ y = b\sin t \end{cases}$ .

【解析】

• 一阶导数：两边对 $x$ 求导， $$y' = -e^{-y} - x(-e^{-y}y') = -e^{-y} + xe^{-y}y' \implies y'(1 - xe^{-y}) = -e^{-y}$$ 由原方程知 $1 - xe^{-y} = y$，代入得： $$y \cdot y' = -e^{-y} \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{ye^y}$$
• 二阶导数：对 $y'$ 再次对 $x$ 求导， $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-\frac{e^{-y}}{y}\right) = -\frac{(-e^{-y}y')y - e^{-y}y'}{y^2} = \frac{y'e^{-y}(y + 1)}{y^2}$$ 将 $y' = -\frac{e^{-y}}{y}$ 代入： $$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{e^{-y}}{y} \cdot \frac{e^{-y}(1 + y)}{y^2} = -\frac{1 + y}{y^3 e^{2y}}$$

• 一阶导数： $$\frac{dx}{dt} = f''(t),\quad \frac{dy}{dt} = 1 \cdot f'(t) + tf''(t) - f'(t) = tf''(t)$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{tf''(t)}{f''(t)} = t$$
• 二阶导数： $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{(t)'_t}{f''(t)} = \frac{1}{f''(t)}$$

• 一阶导数： $$\frac{dx}{dt} = -a\sin t,\quad \frac{dy}{dt} = b\cos t$$ $$\frac{dy}{dx} = \frac{b\cos t}{-a\sin t} = -\frac{b}{a}\cot t$$
• 二阶导数： $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\frac{d}{dt}\left(-\frac{b}{a}\cot t\right)}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{b}{a}\csc^2 t}{-a\sin t} = -\frac{b}{a^2}\csc^3 t$$

4. 切线与法线方程

【题目】

求曲线 $\begin{cases} x = 2e^{t} \\ y = e^{-t} \end{cases}$ 在 t = 0 处的切线方程和法线方程.

【解析】

1. 当 $t = 0$ 时，$x_0 = 2e^0 = 2$，$y_0 = e^0 = 1$。切点为 $(2, 1)$。
2. 求导数与斜率： $$\frac{dx}{dt} = 2e^t,\quad \frac{dy}{dt} = -e^{-t} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{-e^{-t}}{2e^t} = -\frac{1}{2}e^{-2t}$$ 在 $t = 0$ 处，切线斜率 $k = -\frac{1}{2}$。
3. 切线方程： $$y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 2) \implies y = -\frac{x}{2} + 2$$
4. 法线斜率 $k_N = -\frac{1}{k} = 2$。法线方程： $$y - 1 = 2(x - 2) \implies y = 2x - 3$$

5. 平行法线与切点确定

【题目】

曲线 $\begin{cases} x = t^2 / 2 \\ y = 1 - t \end{cases}$ 上哪一点的法线与直线 $y = -2x + 1$ 平行？并求出曲线在该点的法线方程.

【解析】

1. 求参数导数：

   $$\frac{dx}{dt} = t,\quad \frac{dy}{dt} = -1 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{t}$$

   曲线在对应参数 $t$ 处的法线斜率：

   $$k_N = -\frac{1}{\frac{dy}{dx}} = t$$

2. 已知法线与直线 $y = -2x + 1$ 平行，其斜率相等，故：

   $$t = -2$$

3. 计算切点坐标：

   $$x = \frac{(-2)^2}{2} = 2,\quad y = 1 - (-2) = 3$$

   因此，该点坐标为 (2, 3)。

4. 法线方程：

   $$y - 3 = -2(x - 2) \implies y = -2x + 7$$