习题2.2 求导法则
1. 填空题
【题目】
$y = \sqrt[3]{x} \sin x + a^{x} e^{x}$ ，则 $y' =$ ____ ;
$f(t)=\frac{\sin t}{1+\cos t}$ ，则 $f'(t)=$ ____；
$f(x)=\sqrt{\sin 2x}$ ，则 $f'(x)=$ ____；
若 $\frac{d}{dx}[f(x)]=g(x), h(x)=x^{2}$ ，则 $\frac{d}{dx}f[h(x)]=$ ____.
【解析】
利用乘法求导法则分别求导：
$$(\sqrt[3]{x}\sin x)' = (x^{\frac{1}{3}})'\sin x + x^{\frac{1}{3}}(\sin x)' = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\sin x + \sqrt[3]{x}\cos x$$$$(a^x e^x)' = (a^x)'e^x + a^x(e^x)' = a^x \ln a \cdot e^x + a^x e^x = a^x e^x(\ln a + 1)$$相加得：
$$y' = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}\sin x + \sqrt[3]{x}\cos x + a^x e^x (\ln a + 1)$$利用商的求导法则：
$$f'(t) = \frac{(\sin t)'(1 + \cos t) - \sin t(1 + \cos t)'}{(1 + \cos t)^2} = \frac{\cos t(1 + \cos t) - \sin t(-\sin t)}{(1 + \cos t)^2}$$$$= \frac{\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t}{(1 + \cos t)^2} = \frac{1 + \cos t}{(1 + \cos t)^2} = \frac{1}{1 + \cos t}$$利用复合函数求导法则：
$$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\sin 2x}} \cdot (\sin 2x)' = \frac{1}{2\sqrt{\sin 2x}} \cdot 2\cos 2x = \frac{\cos 2x}{\sqrt{\sin 2x}}$$利用复合函数求导法则：
$$\frac{d}{dx}f[h(x)] = f'[h(x)] \cdot h'(x) = f'(x^2) \cdot (2x)$$已知 $f'(x) = g(x)$，故 $f'(x^2) = g(x^2)$。因此：
$$\frac{d}{dx}f[h(x)] = 2xg(x^2)$$
2. 求函数在给定点的导数
【题目】
1） $\rho = \theta \sin \theta +\frac{1}{2}\cos \theta$ ，求 $\frac{d\rho}{d\theta}\big|_{\theta = \frac{\pi}{4}};$
2） $f(x) = \arctan{\frac{1 + x}{1 - x}}$ ，求 $y^{\prime}|_{x = 0}.$
【解析】
求导数：
$$\frac{d\rho}{d\theta} = (\theta)'\sin\theta + \theta(\sin\theta)' - \frac{1}{2}\sin\theta = \sin\theta + \theta\cos\theta - \frac{1}{2}\sin\theta = \frac{1}{2}\sin\theta + \theta\cos\theta$$代入 $\theta = \frac{\pi}{4}$：
$$\left.\frac{d\rho}{d\theta}\right|_{\theta = \frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{sqrt{2}}{2} + \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}\pi}{8} = \frac{\sqrt{2}}{4}\left(1 + \frac{\pi}{2}\right)$$法一（化简后求导）： 当 $x < 1$ 时，利用反三角函数恒等式 $\arctan\frac{1 + x}{1 - x} = \arctan 1 + \arctan x = \frac{\pi}{4} + \arctan x$。 因此：
$$f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \implies f'(0) = 1$$法二（直接复合求导）：
$$f'(x) = \frac{1}{1 + \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)^2} \cdot \left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)' = \frac{(1 - x)^2}{(1 - x)^2 + (1 + x)^2} \cdot \frac{1(1 - x) - (1 + x)(-1)}{(1 - x)^2}$$$$= \frac{2}{2(1 + x^2)} = \frac{1}{1 + x^2} \implies f'(0) = 1$$
3. 求下列函数的导数
【题目】
$y = \left(\arcsin \frac{x}{2}\right)^2;$
$y = \ln(\sec x + \tan x);$
$y = \cos x^{2} \sin^{2} \frac{1}{x};$
$y = \ln[\ln^{2}(\ln^{3}x)].$
【解析】
利用复合函数求导法则：
$$y' = 2\arcsin\frac{x}{2} \cdot \left(\arcsin\frac{x}{2}\right)' = 2\arcsin\frac{x}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{x}{2}\right)^2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2\arcsin\frac{x}{2}}{\sqrt{4 - x^2}}$$利用复合函数求导法则：
$$y' = \frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot (\sec x + \tan x)' = \frac{\sec x\tan x + \sec^2 x}{\sec x + \tan x} = \frac{\sec x(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x} = \sec x$$利用乘法求导法则与链式法则：
$$y' = (\cos x^2)' \sin^2\frac{1}{x} + \cos x^2 (\sin^2\frac{1}{x})'$$- $(\cos x^2)' = -\sin x^2 \cdot 2x = -2x\sin x^2$；
- $(\sin^2\frac{1}{x})' = 2\sin\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{1}{x^2}\sin\frac{2}{x}$。 因此： $$y' = -2x\sin x^2\sin^2\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\sin\frac{2}{x}\cos x^2$$
先利用对数运算法则化简解析式：
$$y = \ln\left\{[\ln(\ln^3 x)]^2\right\} = 2\ln[\ln(\ln^3 x)]$$再逐层应用复合求导法则：
$$y' = 2 \cdot \frac{1}{\ln(\ln^3 x)} \cdot [\ln(\ln^3 x)]' = 2 \cdot \frac{1}{\ln(\ln^3 x)} \cdot \frac{1}{\ln^3 x} \cdot (\ln^3 x)'$$因为 $(\ln^3 x)' = 3\ln^2 x \cdot \frac{1}{x}$，代入得：
$$y' = \frac{2}{\ln(\ln^3 x)} \cdot \frac{1}{\ln^3 x} \cdot \frac{3\ln^2 x}{x} = \frac{6}{x\ln x\ln(\ln^3 x)}$$
4. 抽象复合函数的导数
【题目】
设 $f(u)$ 为可导函数，求下列函数的导数 $\frac{dy}{dx}$：
$y = f(\sin^2 x) + \sin f^2 (x);$
$y = f(e^{x}) e^{f(x)};$
$y = \sqrt{x} f\left(e^{\cos \sqrt{x}}\right).$
【解析】
分别对两项求导：
- 第一项：$[f(\sin^2 x)]' = f'(\sin^2 x) \cdot 2\sin x\cos x = \sin 2x f'(\sin^2 x)$；
- 第二项：$[\sin f^2(x)]' = \cos[f^2(x)] \cdot [f^2(x)]' = \cos[f^2(x)] \cdot 2f(x)f'(x) = 2f(x)f'(x)\cos f^2(x)$。 因此： $$\frac{dy}{dx} = \sin 2x f'(\sin^2 x) + 2f(x)f'(x)\cos f^2(x)$$
利用乘法求导法则：
$$\frac{dy}{dx} = [f(e^x)]' e^{f(x)} + f(e^x) [e^{f(x)}]'$$$$= f'(e^x)e^x \cdot e^{f(x)} + f(e^x) \cdot e^{f(x)}f'(x) = e^{f(x)}\left[e^x f'(e^x) + f'(x)f(e^x)\right]$$利用乘法求导法则与链式法则：
$$\frac{dy}{dx} = (\sqrt{x})' f\left(e^{\cos\sqrt{x}}\right) + \sqrt{x} \left[f\left(e^{\cos\sqrt{x}}\right)\right]'$$$$= \frac{1}{2\sqrt{x}} f\left(e^{\cos\sqrt{x}}\right) + \sqrt{x} f'\left(e^{\cos\sqrt{x}}\right) \cdot e^{\cos\sqrt{x}} \cdot (-\sin\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$$$= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{\sqrt{x}}f\left(e^{\cos\sqrt{x}}\right) - e^{\cos\sqrt{x}}\sin\sqrt{x}f'\left(e^{\cos\sqrt{x}}\right)\right]$$
5. 抽象函数的导数计算
【题目】
设函数 $\varphi(x)$ 在 x=a 处连续， $f(x)=(x-a)\varphi(x)$ ，求 $f'(a)$ .
【解析】
直接利用导数的定义计算：
$$f'(a) = \lim_{x\to a}\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$因为 $f(a) = (a - a)\varphi(a) = 0$，且 $f(x) = (x - a)\varphi(x)$，代入得：
$$f'(a) = \lim_{x\to a}\frac{(x - a)\varphi(x) - 0}{x - a} = \lim_{x\to a}\varphi(x)$$又因为已知 $\varphi(x)$ 在 $x = a$ 处连续，所以 $\lim_{x\to a}\varphi(x) = \varphi(a)$。 因此：
$$f'(a) = \varphi(a)$$